3.1基本不等式与最大值最小值(1,2课时)

用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值，那 么用什么方法求最小值
a+b ≥ 2
ab ,当且仅当
上述不等式称为基本不等式,其中
a
2
b
称为a,b的
ab 算术平均数, 称为a,b的几何平均数.
注意：1．这个定理适用的范围：a R
2．语言表述：两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数。
对基本不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作
弦DEAB,则 CD2 CA CB ab
A．m＝1
B．m＝±1
C．m＝－1
D．m＝0
2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤4
B．ab≥4
C．ab≤1
D．ab≥1
[题后感悟] 基本不等式a＋2 b≥ ab(a≥0，b≥0)反映了 两个非负数的和与积之间的关系．对它的准确掌握要抓住以 下两个方面：
(1)定理成立的条件：a、b 都是非负数， (2)“当且仅当”的含义． ①当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab的等号成立， ②即仅a当＝ba⇒＝ab＋2时b，＝a＋a2bb；≥ ab的等号成立， 即a＋2 b＝ ab⇒a＝b.
④∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋xy＝－[－xy＋－yx]
≤－2 －xy－yx＝－2. • 其中正确的推导为( )
• A．①②
B．②③
• C．③④
D．①④
例2 已知x、y都是正数，求证：
(1)
yx xy
≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
练习
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( )
3.3（1） 基本不等式 （2）基本不等式的最大值与最小值
一.基本不等式
对于任意实数x,y,(x-y)2≥0总是成立的,即 x2 -2xy+y2 ≥0
所以 x2 + y2
2
≥ xy,当且仅当x=y 时等号成立
设 x a, y b, 则由这个不等式可得出以
下结论:
如果a,b都是正数，那么 a=b时,等号成立.
40
20 2x 5y 2 2x 5y, xy 10.
方法2:减元构造函数
构造法
(2)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
当且仅当a=b=2时,2a+2b取得最小值8.
(3)．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
y 2
x2 1 x2
2
x2
(4)．已知a、b是正数
ab
1
2
1
ab
注：变换形式再证
对这一不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB,过C作 CEOD于E,则在Rt△OCD中,由射影定理可知,
DC2 DE OD
即 DE DC2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
A
a
由DC≥DE,得
ab
1
2
1
ab
1 x2 2
2
，且a2+
1b2当且=1仅，当x
=
x+
1(x ≠ 0), x
证明：|y|≥
2.
练习
1．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ，求函
数的最小值．
x2
解：f (x) x 3 2 x2
x
•
x
3
2当且仅当
x x
2 x
3
2
即x 3时，函数的最小值是6。
大家把x = 2 + 3代入看一看，会有什么发现？ 用什么方法求该函数的最小值？
当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立
D
E
B
O Cb
D’
例5：设a,b均为正数,证明不等式:
a b a2 b2
2
2
注：1.采用放缩法证明，证明思想很重要。 2.在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足
对这一不等式的几何解释:课本p89思考交流
三.基本不等式链
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
D
从而, CD ab 而半径
A a OC b B
AO a b CD ab
E
2
当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立
例1 给出下面四个推导过程：
①∵a、b 为正实数，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2；
②∵x、y 为正实数，∴lgx＋lgy≥2 lgx·lgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a·a＝4；
求 u lg x lg y 的最大值.
想一想:错在哪里？
例5.已知函数 f (x) x 小值和此时x的取值．
1 x
(x
0)
，求函数的最
解 : f (x) x 1 2 x • 1 2当且仅当x 1
x
x
x
即x 1时函数取到最小值2.
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．
变式.（P91课本例3）已知 y
②仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab的等号成立， 即a＋2 b＝ ab⇒a＝b.
二.基本不等式的最大值与最小值
已知两个正数x，y，求x+y与积xy的 最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时， x+y有最小值 _2__p__ ； 积定和小
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，
积xy有最大值 _1__s_2_ .
则 2ab ab a b
ab
2
调和平均数 几何平均数 算术平均数
其中当且仅当a＝b时取等号.
a2 b2
2
加权平均 数或平方
平均数
下面请大家来研究下列几个问题:
(1)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值. 方法1:基本不等式法
2
2x 5y 2x 5y
xy
10.
10
4
和定积大
例3.下列函数中，最小值为2的有那些?
(1)
y x 4 x
(2)
来自百度文库
y 2e x e-x
(3) y log3 x log x 30 x 1
(4) y sinx 4 0 x
sinx
(5)
y
x2
4 x2
(6)
y
tan
x
4 tanx
0
x
2
例4.（P91课本例2）设x, y为正实数，且2x+5y=20，
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”. 当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例4：设a,b均为正数,证明不等式: