高考数学圆锥曲线专题：椭圆的定义与性质(一)
椭圆及其标准方程(一)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
解得a 2 10,b2 6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
练习（第49页）
1．如果椭圆
+
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，则点 P 到另一
个焦点的距离为
.
【详解】解：根据椭圆的定义
又椭圆
∴
+
+
+
= ，
是
回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
建立适当的平面直角坐标系
设点
列式
设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)
类比这个方法，
我们开始求椭圆
找出限制条件P(M)，并列出几何等式
的标准方程
代换
把坐标代入限制条件P(M) 列出方程
化简
化简方程
新知探究
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?
2
a
b
2
2
•F
2
O
x
•F
1
椭圆的标准方程:
标准方程
x2
y2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y
y
不
同
点
图
形
•
F1
O
M
•
F2
•F2
O
x
x
•F1
焦点坐标
相
同
点
M
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线椭圆的定义、性质及标准方程
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b +=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质知识要点：1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
圆锥曲线公式大全（高中珍藏版）
圆锥曲线公式大全1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质椭圆定义焦点位置椭圆的图象和性质若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 1|+|MF 2|=2ax 轴y图形o xy 轴y o x标准方程焦点坐标焦距顶点坐标a ,b ,c 的关系式长、短轴对称轴离心率范围x 2y 2+2=12a b F 1(-c, 0 ), F 2( c, 0 )|F 1F 2| = 2c(±a , 0 ), ( 0,±b )a 2 =b 2 +c 2y 2x 2+2=12a b F 1(0,-c, ), F 2( 0, c )(0,±a ), (±b , 0 )长轴长=2a ,短轴长=2b ，长半轴长=a ,短半轴长=b 无论椭圆是x 型还是y 型，椭圆的焦点总是落在长轴上关于x 轴、y 轴和原点对称e =c ( 0 <e < 1)，离心率越大，椭圆越扁，反之，越圆a-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b 2-b ≤x ≤b ，-a ≤y ≤a22、判断椭圆是x 型还是y 型只要看x 对应的分母大还是y 对应的分母大，若x 对应的分母大则x 型，若y 对应的分母大则y 型.22x 2y 23、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2+2=1，若为y a b y 2x 222型则可设为2+2=1，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx +ny =1a b 4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质双曲线的图象和性质若M为双曲线上任意一点，则有MF1-MF2=2a(2a<2c)双曲线定义若MF1-MF2=2a=2c,则点M的轨迹为两条射线若MF1-MF2=2a>2c,则点M无轨迹焦点位置x轴y轴图形标准方程焦点坐标焦距顶点坐标(±a, 0 )x2y2-2=12a bF1(-c, 0 ), F2( c, 0 )|F1F2| = 2cy2x2-2=12a bF1(0,-c, ), F2( 0, c )(0,±a )a,b,c的关系式椭圆形状长的像a,所以a是老大，a2 = b2 + c2；双曲线形状长的像c,所以c是老大，c2 = a2 + b2实轴、虚轴对称轴离心率范围渐近线实轴长=2a,虚轴长=2b，实半轴长=a,虚半轴长=b无论双曲线是x型还是y型，双曲线的焦点总是落在实轴上关于x轴、y轴和原点对称e=c(e >1)aa≤x或x≤-a,y∈R a≤y或y≤-a,x∈Ry=±bxay=±axb2、判断双曲线是x 型还是y 型只要看x 前的符号是正还是y 前的符号是正，若x 前的符号为正则x 型，若y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a 22222x 2y 23、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2-2=1，若a b y 2x 2为y 型则可设为2-2=1，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：a b mx 2-ny 2=1(mn <0)6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y =mx ，则可设双曲线方程为y 2-m 2x 2=λ(λ≠0)，而后把点坐标代入求解7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l :y =kx +b 的弦长公式：AB =(k 2+1)(x 1-x 2)2=(12+1)(y -y )122k 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理（3）使用弦长公式1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l (F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！2、（1）抛物线标准方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”，一次项为y ，则准线为”y=多少”!(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为y =ax (a ≠0),a>o,开口朝右；a<0,开口朝左；如果只知y 型，则设它为x =ay (a ≠0),a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解58---椭圆及其性质
高考数学复习考点知识与题型专题讲解8.5椭圆考试要求1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率 e ＝ca (0<e <1) a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示当2a ＝|F 1F 2|时，动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示由e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁平；e 越小，b 越大，椭圆越接近于圆．3．焦点弦的弦长最短是什么？提示焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为2b 2a.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 题组二教材改编2．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，若点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是____________． 答案x 225＋y 216＝1解析因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.3．若椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案4或8解析当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8.4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 答案x 216＋y 28＝1解析如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又△ABF 2的周长为16， 所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝16， 即4a ＝16，a ＝4，又e ＝c a ＝22，则c ＝22，b ＝a 2－c 2＝22，故椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.5．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 由题意可得点P 到x 轴的距离为1， 所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题组三易错自纠6．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是____________________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 解析由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.7．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为________．答案3或253解析若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m ，由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3. 若a 2＝m ，b 2＝5， 则c ＝m －5.由c a ＝105，即m －5m＝105，解得m ＝253.综上，m ＝3或253.8．已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为________；若直线y＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝________. 答案x 24＋y 2＝110解析由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，由点A (－2,0)，B (0,1)且焦点在x 轴上，得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2(x 1>0)，则⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，解得x 1＝2，y 1＝22，x 2＝－2，y 2＝－22，则|MN |＝(2＋2)2＋⎝⎛⎭⎫22＋222＝10.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用例1(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 答案A解析连接QA (图略)． 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |<|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32＝433.若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积．解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4)＝4a 2－16， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1 (1)设P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为________． 答案60°解析由椭圆x 216＋y 29＝1，可得2a ＝8，设||PF 1＝m ，||PF 2＝n ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2a ＝8，mn ＝12，4c 2＝28＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，化简可得cos ∠F 1PF 2＝12，∴∠F 1PF 2＝60°.(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案6＋26－ 2解析椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.题型二椭圆的标准方程例2 (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 答案D解析由题意可知椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可知c ＝1，e ＝c a ＝12，可得a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，可得b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．答案y 220＋x 24＝1解析方法一(待定系数法)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二(定义法)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． (2)椭圆的标准方程的两个应用①方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与x 2a 2＋y 2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．②与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A.x 2100＋y 284＝1B.x 225＋y 29＝1 C.x 284＋y 2100＝1D.x 29＋y 225＝1 答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝4，解得a ＝5，b 2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 29＋y 225＝1.(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，|F 1F 2|＝25， 所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.题型三椭圆的简单几何性质命题点1离心率例3 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为() A.23B.12C.13D.14 答案D解析如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是() A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案A解析由题设知，直线l ：x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c ,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a.又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A. 思维升华求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的最值(或范围)问题例4设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是()A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞) 答案A解析方法一设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x ,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan ∠AMB ＝tan120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m.又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).故选A. 方法二当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.思维升华利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca ＝2－1.故选A.(2)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案5解析设B (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，∴AP →＝(－x 1,1－y 1)，PB →＝(x 0，y 0－1)． ∵AP →＝2PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝2x 0，1－y 1＝2(y 0－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x 0，y 1＝3－2y 0，将A ，B 两点的坐标代入x 24＋y 2＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 204＋y 20＝m ，(－2x 0)24＋(3－2y 0)2＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝4m ，x 20＋(3－2y 0)2＝m ，两式相减，得y 0＝14m ＋34.∴x 20＝4m －4y 20＝－14m 2＋52m －94，m >1， ∴当m ＝－522×⎝⎛⎭⎫－14＝5时，x 20取得最大值，此时|x 0|最大． 课时精练1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是() A.x 225＋y 220＝1B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1D.x 280＋y 285＝1 答案B解析由9x 2＋4y 2＝36可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b ＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为() A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 答案D解析设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.4．(2021·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案D解析设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)， 由线段PF 1的中垂线过点F 2得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 5．(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2.5”的充要条件 答案CD解析对于A ，当1<k <4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k－1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，k －1>4－k ，解得2.5<k <4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件，所以C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1<k <2.5，所以D 正确．6．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m ()0<m <3与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[]6，12C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形 D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为 6 答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |， ∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6为定值，A 正确； △ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，因为|AF |＋|BF |为定值6，∴|AB |的取值范围是(0,6)， ∴△ABF 的周长的取值范围是(6,12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可解得A ⎝⎛⎭⎫－332，32，B ⎝⎛⎭⎫332，32，又∵F (6，0)，∴AF →·BF →＝⎝⎛⎭⎫6＋332⎝⎛⎭⎫6－332＋⎝⎛⎭⎫322＝0，∴AF ⊥BF ， ∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)， ∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确．7．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上任意一点．点A (3，m )⎝⎛⎭⎫m >165，B (－3,0)，则|P A |＋|PB |的最小值为________． 答案36＋m 2解析如图，点P 为线段AB 与椭圆的交点时|P A |＋|PB |最小，其最小值为|AB |＝62＋m 2＝36＋m 2.8．已知椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________________． 答案(－3,0)或(3,0)解析记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 由题意知a ＝5，b ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，等号成立， 即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. 所以此时点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 为椭圆的右焦点，AB 为过原点O 的弦，则△ABF 面积的最大值为________． 答案b a 2－b 2解析如图，设E 为椭圆的左焦点，则S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝S △AOF ＋S △AOE ＝S △AEF ≤ba 2－b 2.10．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 答案(3，15)解析不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15， 所以M 的坐标为(3，15)．11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴c 2a 2≥14， 即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明由(1)知mn ＝43b 2，∴12PF F S △＝12mn sin60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与椭圆的短轴长有关．13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为()A.3－1B ．2－3C.22D.32 答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝3c ＋c ＝2a ，∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1. 14．已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM |＝2.在△FF ′P 中，OM 綊12PF ′，所以|PF ′|＝4.根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PF |＝2.又因为|FF ′|＝4，所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝|MF ′||MF |＝|FF ′|2－|MF |2|MF |＝15， 即直线PF 的斜率是15.15．(多选)(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论正确的是()A ．卫星向径的取值范围是[]a －c ，a ＋cB ．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[]a －c ，a ＋c ，A 正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B 正确； a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误． 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．16．(2021·商洛模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝()2＋22＋()2－22＝23，所以c ＝3，从而b ＝22－()32＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)连接F 1Q ，如图所示，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a . 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.设|PF 1|＝m ，所以|QF 1|＝4a －2m ，|QF 2|＝2m －2a ， |PF 2|＝2a －m ，又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|QF 1|＝2|PF 1|， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋()2a －m 2＝4c 2，4a －2m ＝2m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝64m ，a ＝2＋24m ，所以e ＝c a ＝64m 2＋24m ＝6－ 3.。
高考数学复习考点题型专题讲解21 圆锥曲线的基本问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题21 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2B.2 2C.3D.3 2 答案 B解析 法一 由题意可知F (1，0)， 抛物线的准线方程为x ＝－1.设A (y 204，y 0)，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1，又|BF |＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得y24＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2). 不妨取A(1，2)，故|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝（－2）2＋22＝22，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )A.32B.22C.12D.13答案 A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以k AP·k AQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14(*).因为点P在椭圆C上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案 －3解析法一 依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.法二 依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________. 答案 13解析 如图，连接AF 1，DF 2，EF 2，因为C 的离心率为12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.因为|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2c ＝|F 1F 2|， 所以△AF 1F 2为等边三角形，又DE ⊥AF 2，所以直线DE 为线段AF 2的垂直平分线， 所以|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，且∠EF 1F 2＝30°， 所以直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，代入椭圆C 的方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，得13x 2＋8cx －32c 2＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c 213，所以|DE |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c 213＝48c 13＝6， 解得c ＝138，所以a ＝2c ＝134， 所以△ADE 的周长为|AD |＋|AE |＋|DE |＝|DF 2|＋|EF 2|＋|DE |＝4a ＝13.热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|).(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与虚轴的上端点，F (2，0)是双曲线C 的右焦点，直线AB 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为焦点，直线x －my－2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M (1，1)满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为________.答案 (1)x 22－y 22＝1 (2)y 2＝2x解析 (1)由题意得A (a ，0)，B (0，b )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，而k AB ＝－b a，∴－b 2a2＝－1，∴a ＝b ，又F (2，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线C 的标准方程为x 22－y 22＝1.(2)由已知直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为－1，所以m ＝－1，又M (1，1)在直线AB 上， ∴1＋1－2p ＝0，∴p ＝1. ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为________. 答案 (1)B (2)x 29－y 227＝1解析 (1)由抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4， 可得3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，故选B.(2)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a ＝3，离心率为2，所以c ＝6，则b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 227＝1.热点二 椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2(e >1). (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).考向1 离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.32C.12D.22(2)(2022·浙江卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2.若|FB |＝3|FA |，则双曲线的离心率是________. 答案 (1)A (2)364解析 (1)可画出如图所示图形.△MF 1F 2为等边三角形，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，QF 1⊥MF 2，∠F 1F 2Q ＝60°， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|QF 2|＝c ，|QF 1|＝3c ， ∴|QF 1|＋|QF 2|＝(3＋1)c ＝2a ，∴ca＝3－1， 即e ＝3－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F (－c ，0)且斜率为b 4a 的直线方程为y ＝b4a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 4a （x ＋c ），y ＝b a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c3，y ＝bc 3a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，bc 3a .因为|FB |＝3|FA |，所以FB →＝3FA →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，bc 3a ＝3(x 1＋c ，y 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5c9，y 1＝bc9a ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a .将⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 92a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 9a 2b 2＝1，结合离心率e ＝c a得e 2＝8124， 又e >1，所以双曲线的离心率为364. 考向2 椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2⊥x 轴，tan∠PF 1F 2＝34，则双曲线的渐近线方程为( )A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C ：x 218＋y 2b 2＝1(b 2<18且b >0)的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且S △ABC ＝2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为________.答案 (1)C (2)6解析 (1)因为点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a，|F 1F 2|＝2c ，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，整理得2b 2＝3ac ， 所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9＝0，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选C. (2)根据题意可得A (0，b )，C (0，－b )，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).连接BD ，由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可得，点A ，B ，C ，D 均在以BD 为直径的圆E (E 为BD 中点)上，又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，即圆心E 在x 轴上， 所以y 1＋y 2＝0. 又S △ABC ＝2S △ADC ， 所以x 1＝－2x 2，故圆心E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14，0，所以圆E 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －x 142＋y 2＝916x 21＋y 21，将(0，b )代入圆E 的方程，结合x 2118＋y 21b 2＝1可得b 2＝9，所以b ＝3，短轴长为6.规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在y 轴上，且△MF 1F 2为正三角形.若线段MF 2的中点恰好在双曲线E 的渐近线上，则E 的离心率等于( ) A.5B.2 C.3D. 2(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线l交椭圆C 于点A ，B ，且2|FO |＝|AB |，若∠BAF ＝π6，则椭圆C 的离心率是________. 答案 (1)B (2)3－1解析 (1)不妨设M 在y 轴的正半轴上， 设M (0，t )，t >0，由于△MF 1F 2为正三角形，所以t ＝3c ，故M (0，3c )，则MF 2的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2， 因为N 在渐近线y ＝b ax 上，所以3c 2＝b a ×c 2，即b a ＝3，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选B. (2)因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |， 所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F ′，连接BF ′，AF ′， 又因为2|OF |＝|AB |＝2c ， 可得四边形AFBF ′为矩形，在Rt△ABF 中，|AF |＝2c ·cos∠BAF ＝2c ·32＝3c ， |BF |＝2c ·sin∠BAF ＝2c ·12＝c ，∴|AF ′|＝|BF |＝c ，由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3－1.热点三 抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( ) A.18B.2 C.14D.4 (2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝FA → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4 答案 (1)B (2)ABC解析 (1)依题意F 点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M 在准线上的射影为K ， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， ∵FM →＝55MN →，∴|FM ||MN |＝55， 可得|MK ||MN |＝55， 则|KN |∶|KM |＝2∶1， ∴k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，∴－4p＝－2，求得p ＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确； ∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )A.4B.4 2C.8D.8 2(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3B.4C.5D.6答案(1)C (2)B解析(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ 是梯形ABDC 的中位线，又由抛物线的定义可知|AB |＝2|PQ |＝8，故选C. (2)由抛物线的方程可得焦点F (1，0)，渐近线的方程为：x ＝－1， 由AB →＝2BF →， 可得|AB ||BF |＝2， 如图所示：作BB ′垂直于准线于B ′， 而|BB ′||AB |＝22，∴∠ABB ′＝45°， 所以直线AB 的斜率为1， 所以直线AB 的方程为x ＝y ＋1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝y ＋1，整理可得：x 2－6x ＋1＝0，可得x 1＋x 2＝6，所以线段BC 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y 2－2x 2＝1的离心率是( )A.52B.62C.3D. 5 答案 B解析 双曲线方程化为y 21－x 212＝1，则a 2＝1，b 2＝12，从而e ＝1＋b 2a 2＝62，故选B. 2.设经过点F (1，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C解析 因为抛物线为y 2＝4x ，所以p ＝2， 设A ，B 两点横坐标为x 1，x 2， 因为线段AB 中点的横坐标为2， 则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝－2D.x ＝－4 答案 B解析 由抛物线的方程可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨设P 在x 轴上方，则y 2＝2p ×8，可得y p ＝4p ， 则S △OFP ＝12|OF |·y p ＝12×p2×4p ＝22，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p2＝－1，故选B.4.“1<k <5”是方程“x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为k ＝3时，x 2k －1＋y 25－k＝1表示圆，故充分性不成立.若x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆，则⎩⎨⎧k －1>0，5－k >0，k －1≠5－k ，∴1<k <5且k ≠3，∴必要性成立. 故“1<k <5”是“方程x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与x 轴正半轴所成夹角为π3，则C的离心率为( )A.233B.2C.3D.3 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ，由题意可得a b ＝tanπ3＝3， 则b a ＝33， 所以e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选A.6.(2022·西安二模)直线y ＝kx (k >0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在第一、第三象限分别交于P ，Q 两点，F 2是C 的右焦点，有|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3，且PF 2⊥QF 2，则C 的离心率是( ) A.3B. 6 C.3＋1 D.6＋1 答案 C解析 由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形， 又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形， ∴|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ， 又|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3， ∴|QF 2|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：x2a2＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝32，则M的方程为( )A.x22＋y2＝1 B.x23＋y2＝1C.x24＋y2＝1 D.x25＋y2＝1答案 B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝3，|AF|＝2|PF|＝ 3.∴|AF1|＋|AF|＝23＝2a，∴a＝ 3.∴椭圆M的方程为x23＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知C ，E 横坐标相等，|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ， 即|F 1E |－|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ， 同样圆心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°－θ2，在△CEF 2中，tan∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan∠OF 2D ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线l 的斜率为tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝21－12＝22，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，则( )A.C 的离心率为22B.△PF 1F 2的周长为5C.∠F 1PF 2<90°D.1≤|PF 1|≤3 答案 CD解析 对于A ，由椭圆方程知：a ＝2，c ＝4－3＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2， ∴△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，∴tan∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，∴∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°， ∴∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，∵|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3， ∴1≤|PF 1|≤3，D 正确. 故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为2答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·m＋2 2，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为（3－2）2＋（1－0）2＝2，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案 2解析 y 2＝2px 准线方程为x ＝－p2，则－p2＝－1，∴p ＝2.12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________. 答案x 2－y 24＝1(答案不唯一)解析 依题意，不妨取b ＝2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝ 5.所以满足题设的一个标准方程为x 2－y 24＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF 1→＝λF 1B →，则( ) A.△ABF 2的周长为定值B.AB 的长度最小值为1 C.若AB ⊥AF 2，则λ＝3D.λ的取值范围是[1，5] 答案 AC解析 AF 1→＝λF 1B →，则A ，B ，F 1三点共线，△ABF 2周长＝4a ＝8是定值，A 正确.AB min ＝2·b 2a＝2≠1，B 错误；∵AB ⊥AF 2，则AF 1⊥AF 2，A 在上、下顶点处，不妨设A (0，2)，则AB ∶y ＝x ＋2，⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1.解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－423，y ＝－23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，－23，λ＝－2－23＝3，C 正确； 令AB ：x ＝my －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x ＝my －2，x 24＋y 22＝1消x 可得(m 2＋2)y 2－22my －2＝0，则y 1＋y 2＝22mm 2＋2， y 1y 2＝－2m 2＋2，－y 1＝λy 2，当m ＝0时，λ＝1，当m ≠0时，λ（1－λ）2＝m 2＋24m 2>14，∴3－22<λ<3＋22，D 错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A.||PA 1|－|PA 2||＝2aB.若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5C.若双曲线C 为等轴双曲线，则直线PA 1的斜率与直线PA 2的斜率之积为1D.若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，则∠PA 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ：在△PA 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故||PA 1|－|PA 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0， 设焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ×b a ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2c ，n ＝2abc，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意该对称点在双曲线上，故（a 2－b 2）2a 2c 2－（2ab ）2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2， 所以e ＝1＋b 2a2＝5， ∴e ＝5，故B 正确；对于C ：双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，所以x 20－a 2＝y 20， 故k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ：双曲线为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2， 设∠PA 1A 2＝θ，∠A 1PA 2＝3θ， 则∠PA 2x ＝4θ，根据C 项中的结论kPA 1·kPA 2＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数， 故θ＋4θ＝π2，所以θ＝π10，即∠PA 1A 2＝π10，故D 正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上任意一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，圆I 与PF 1的切点为M ，PI 与x 轴的交点为N ，则以下结论正确的有( ) A.PF 1→·PF 2→有最大值a 2 B.内切圆I 面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2C.若|PM |＝12|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率为 12D.若∠F 1PF 2＝2π3，则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |答案 BCD解析 对A ：PF 1→·PF 2→＝PO →2－c 2≤b 2，故A 不正确；对B ：由等面积法，内切圆I 的半径r ＝S △PF 1F 2a ＋c ≤bca ＋c ，所以内切圆面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2，故B 正确；对C ：|PM |＝12|F 1F 2|＝c ，2|PM |＋2c ＝4c ＝2a ，椭圆C 的离心率为12，故C 正确；对D ：若∠F 1PF 2＝2π3，由角平分线性质得则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |，故D 正确.故选BCD. 16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦距与双曲线C 1的焦距相同，且椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交C 2于A ，B 两点，若点A (1，y 1)，则下列说法中正确的有( ) A.双曲线C 1的离心率为2 B.双曲线C 1的实轴长为12C.点B 的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B 的横坐标的取值范围为(－3，－1) 答案 AD解析 双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则可设双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝λ，∵过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C 1方程为4x 2－43y 2＝1，即x 214－y234＝1，可知双曲线C 1的离心率e ＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误； 由14＋34＝1，可知椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 不妨设A (1，y 1)(y 1>0)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，∴y 1＝b 2a ，直线AB 的方程为y ＝b 22a(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 22a （x ＋1），x2a 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0， 根据韦达定理可得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，可得x B ＝－3a 2＋1a 2＋3＝－3＋8a 2＋3，又a 2>1，∴a 2＋3>4，0<8a 2＋3<2， ∴－3<x B <－1，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为________. 答案 0(答案不唯一)解析 当m ＝0时，PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1→⊥PF 2→，由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c >b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点. 使得PF 1→·PF 2→＝0成立的点恰好有4个. 所以实数m 的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22的最小值为________.答案 1＋32解析 由题意，可设椭圆长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2， 不妨设P 为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 又∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理可得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ3， 整理得4c 2＝a 21＋3a 22，即1e 21＋3e 22＝4，则14e 21＋34e 22＝1， 所以e 21＋e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14e 21＋34e 22(e 21＋e 22)＝1＋e 224e 21＋3e 214e 22≥1＋2e 224e 21·3e 214e 22＝1＋32. 当且仅当e 224e 21＝3e 214e 22，即e 2＝43e 1时取等号.。
椭圆的性质(高二圆锥曲线课件)
c e= a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 y2 + 2 =1(a > b > 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
轴成轴对称； 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
轴成轴对称； 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 、 、 (0,b)、(0,-b) 、 (c,0)、(-c,0) 、 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
(b,0)、(-b,0)、 、 、 (0,a)、(0,-a) 、 (0 , c)、(0, -c) 、 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e= a
c e= a
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a2=b2+c2
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1.椭圆的定义 椭圆的定义: 椭圆的定义
到两定点F 的距离之和为常数（大于|F 到两定点 1、F2的距离之和为常数（大于 1F2 |） ） 的动点的轨迹叫做椭圆。 的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF | + | PF2 |= 2a(2a >| F F2 |= 2c) 1 1
a = 6 b =1 则c = a −b = 5
2 2
小 结 :
1.椭圆的几个简单几何性质：范围、对称 椭圆的几个简单几何性质：范围、 椭圆的几个简单几何性质 顶点坐标、 性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意 义。 2.了解了研究椭圆的几个基本量 ，b，c， 了解了研究椭圆的几个基本量a， ， ， 了解了研究椭圆的几个基本量 e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间 及顶点、 及顶点 焦点、 的关系
椭圆知识点整理
圆锥曲线——椭圆1.椭圆的两个定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF ；（2）设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹 A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在2.椭圆的标准方程与参数方程（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是 3.椭圆焦点位置的判断：（1）已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （2）若090α︒<<︒，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α适合的条件是 A. ()0,45︒︒ B. (]0,45︒︒ C. ()45,90︒︒ D. [)45,90︒︒4.圆锥曲线的几何性质：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（3）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C. 52D. 51（4）椭圆191522=+y x 与115922=-+-my m x 的关系是（ ） A 有相等的长短轴 B 有相等的焦距 C 焦点相同 D 准线相同（5）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．2(0,)2D ．2[,1)2 （6）已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.5．直线与椭圆的位置关系：（1）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 ; （2）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离 ；6.焦点三角形（1）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=7.弦长公式：22212121211()4L kx x k x x x x =+-=++-(1）设AB 是过椭圆22154x y +=的一个左焦点F 的弦，且直线AB 的倾斜角为60︒，求弦AB 的长(2）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程.8.椭圆的中点弦问题：（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！9.动点轨迹方程：掌握并熟练求动点轨迹的几种常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）转移法（代入法、相关点法）；（4）参数法；（5）几何法；（6）交轨法。
第一讲圆锥曲线之椭圆
第一讲圆锥曲线之椭圆知识要点1、椭圆的定义 ● 第一定义：满足12+=PF PF ()122>a F F 的动点P 的轨迹是以为焦点，长轴长为2a 的椭圆● 第二定义：到一个定点F 与到一定直线l 的距离之比等于一个小于1的正数e 的点的轨迹叫椭圆其中F 是椭圆的一个焦点，l 是相应于F 的准线，定义式：()101PFe e PP =<<2、椭圆的方程 ● 焦点12,F F 在x 轴上：焦点()1,0F c -，()2,0F c ，●焦点12,F F 在y 轴上： ()222210y x a b a b +=>>焦点，，● 统一形式：()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠●焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）3、几何性质①01e <<；②e越大，椭圆越扁；③e =4、点与椭圆的位置关系：已知椭圆22221x y C a b +=；，点00(,)P x y ，则： 220022220022220022111x y a b x y a b x y a b ⎧⇔+>⎪⎪⎪⇔+=⎨⎪⎪⇔+<⎪⎩点P 在椭圆C 外点P 在椭圆C 上点P 在椭圆C 内5、补充性质 （1）椭圆上一点P与两个焦点12,F F 所构成的12PF F ∆称为焦点三角形。
设12F PF θ∠=，则有：① 212cos 1b rr θ=-，当12r r =（即P 为短轴顶点）时，θ最大，此时222cos b c a θ-=②12PF F ∆的面积221201sin sin tan 21cos 2b S rr b c y θθθθ====+当0y b =（即P 为短轴顶点）时，S 最大，且max S bc =③ 22212b c PF PF b -≤⋅≤（2）经过焦点1F 或2F 的椭圆的弦AB ，称为焦点弦。
高考必考点：“杰尼西亚的耳朵”—圆锥曲线之椭圆（一轮或随堂）
高考必考点：“杰尼西亚的耳朵”—圆锥曲线之椭圆（一轮或随堂）展开全文一、椭圆趣闻据传说，意大利西西里岛有山洞是用来关押罪犯的。
罪犯曾多次密谋商议逃跑方案，但不管多完美的计划都会被杰尼西亚发现。
罪犯百思不得其解，然后怀疑在他们之间有人通风报信，但是，至始至终也没有发现有人告密。
后来，他们逐渐意识到被软禁的洞穴很奇怪，监狱的墙壁能把自己说的话都反射到狱卒耳中，罪犯因此诅咒这个洞是“杰尼西亚的耳朵”。
其实，这是因为洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面。
罪犯和狱卒所呆的地方正好是椭圆的两个焦点。
罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱卒所住的地方，即椭圆的另一个焦点，所以，罪犯们自以为是“你知我知，天知地知”逃跑方案，其实狱卒早就知道了。
这就是椭圆在物理学中的应用，类似的还有天坛回音壁和英国伦敦的“私语走廊”。
二、基础知识1、椭圆的定义在平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.2、椭圆的标准方程注意:焦点的位置由x2,y2项系数分母的大小决定,焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上.3、焦点三角形以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积.常见的结论如下:4、椭圆的几何性质三、典题剖析角度1、椭圆的定义问题点评：角度2、椭圆标准方程问题点评：角度3、离心率问题点评：角度4、离心率范围问题点评：四、真题提升上述都是椭圆的基本性质，适合一轮或者随堂复习，希望对大家有所帮助！。
圆锥曲线(椭圆)
圆锥曲线（椭圆）一．椭圆的定义（第一定义）平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a 的动点P 的轨迹 注意：⑴当2a ＞|21F F |时动点P 的轨迹表椭圆⑵当2a =|21F F |时动点P 的轨迹表线段21F F ⑶当2a ＜|21F F |时点P 不存在1、若点M 到两定点F 1（0，-1），F 2（0，1）的距离之和为2，则点M 的轨迹是 （ ）A .椭圆B .直线21F FC .线段21F FD .线段21F F 的中垂线.2、到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是 （ ） A ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段3、方程6)2()2(2222=++++-y x y x 表示的曲线为 .二．椭圆的图像及几何性质222c b a += （a ＞b ＞0）注：通径即为经过焦点且垂直于长轴的弦长三．椭圆标准方程的认识1、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x2、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ．3、椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为32，长轴长为6，则椭圆方程为 （ ） A ．1203622=+y x B ．15922=+y x C ．15922=+y x 或19522=+y x D ．1362022=+y x 或1203622=+y x 4、如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1）5、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 （ ）A ．14 B ．12C ．2D ．4 6、已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为 （ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 7、“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件8、已知点P 是椭圆13610022=+y x 上的点，若点P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离等于 （ ）A ．516 B ．566 C ．875 D ．877 9、 根据下列条件，写出中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆方程（1）准线方程为4±=x ，离心率为21； （2）经过点)3,21(M 、)1,23(-N ；（3）长轴长是短轴长的2倍，焦距为32．10、点A(a,1)在椭圆x 24＋y22＝1的内部，则a 的取值范围是 ( )A ．－2<a< 2B ．a<－2或a> 2C ．－2<a<2D ．－1<a<111、已知B 、C 是两定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．12、已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1D.y 24＋x 2＝1 13、若方程x 25－k ＋y2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是___ _____．14、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是 （ ）A ． A 、B 同号且A ≠B B ． A 、B 同号且C 与异号 C ． A 、B 、C 同号且A ≠BD ． 不可能表示椭圆15、已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．516B ．566C ．875D ．87716、椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍17、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ） A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 18、椭圆x 225＋y29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON|等于 ( )A ．2B ．4C ．8D.32四．椭圆离心率的理解1、椭圆221916x y +=的离心率是 （ ）A ．45B ．35C D 2、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应的准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 （ ）A ． 2B C ．12 D 3、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （ ）A ．53 B ．312 C ．43 D ．9104、若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．41 B ．22 C ．42 D ．21 5、离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 _______ ． 6、已知椭圆x y m 2251+=的离心率e=105，则m 的值为 ( ) A ．3 B ．3或253 C ．15 D ．15或5315 7、已知椭圆x m y 2241+=的离率为12，则m=8、已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是 ( )A.32B.22C.13D.129、1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，则椭圆的离心率_________.五．直线与椭圆的位置关系 ⑴相离 ⑵相切 ⑶相交1、当m 为何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭 圆4422=+y x 相切、相交、相离？2、椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ）A ．3B ．11C ．22D ．103、直线y ＝k x ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是______．六．弦长公式 |AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++1、已知斜率为1的直线l 经过椭圆4422=+y x 的右焦点N 交椭圆于A 、B 两点，且左焦点为M⑴求弦长|AB|。
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
圆锥曲线椭圆的性质
椭圆的几何性质一：知识要点知能点1：椭圆的范围若椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则,a x a b y b -≤≤-≤≤若椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>，则,b x b a y a -≤≤-≤≤知能点2：椭圆的对称性椭圆关于x 轴、y 轴对称，也关于原点对称。
知能点3：椭圆的顶点，长轴及短轴Ⅰ椭圆的顶点： 若椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆的四个顶点分别为：()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b --；若椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>，则椭圆的四个顶点分别为：()()()()12120,,0,,,0,,0A a A a B b B b --。
Ⅱ椭圆的长轴、短轴线段12A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长； 线段12B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长。
知能点4：椭圆的离心率Ⅰ离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作22c c e a a==。
Ⅱ椭圆离心率的范围： ∵0a c >> ∴01e <<。
Ⅲ椭圆的离心率对椭圆的扁圆形状有影响：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。
知能点5：椭圆的第二定义Ⅰ第二定义：平面内，动点M 与一个定点F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是常数()01e e <<时，这个动点M 的轨迹叫做椭圆。
其中定 点叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭 圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
Ⅱ准线方程：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则准线方程为：2a x c =±；若椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>，则准线方程为：2a y c =±知能点6：直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系可以通过对直线方程与椭圆方程组成的方程组解的情况来讨论，将直线方程和椭圆方程联立后，得到一个关于x （或y ）的一元二次方程：1) 0∆=，则直线和椭圆有一个公共点，此时直线与椭圆相切； 2) 0∆>，则直线和椭圆有两个公共点，此时直线与椭圆相交； 3) 0∆<，则直线和椭圆没有公共点，此时直线和椭圆相离。
高二圆锥曲线椭圆 知识点
高二圆锥曲线椭圆知识点圆锥曲线是高二数学中的重要内容之一，其中椭圆是其中的一种。
椭圆作为圆锥曲线的一种特殊情况，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍高二圆锥曲线椭圆的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为椭圆的半长轴，椭圆的形状取决于a和焦点之间的距离。
椭圆的性质：1. 椭圆的离心率（e）小于1，且等于焦点之间的距离与半长轴之比。
2. 椭圆的中点O为原点，x轴为主轴，y轴为副轴，且过焦点F1、F2的直线称为焦准线。
3. 椭圆的对称轴平行于y轴，焦准线垂直于对称轴。
4. 椭圆的离心角等于焦角的一半。
5. 椭圆的半长轴与焦点之间的距离之和等于2a。
二、椭圆的方程和参数表示椭圆可以以方程或参数表示。
常见的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数表示为：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。
三、椭圆的重要点和线椭圆上的重要点和线有：1. 焦点F1和F2：椭圆的焦点位于椭圆的长轴上。
2. 长轴：椭圆上两焦点之间的距离，即2a。
3. 短轴：椭圆上两顶点之间的距离，即2b。
4. 焦准线：焦点F1、F2所在的直线，对称轴的垂线。
5. 扇形：椭圆上连接两焦点和一点P的弧段，称为扇形。
6. 弦：椭圆上连接两点的线段，称为弦。
四、椭圆的性质与应用1. 对称性：椭圆关于主轴和副轴对称。
2. 直径：椭圆上与两焦点相垂直的直线段称为直径。
3. 焦点定位法则：对于给定的椭圆，焦点F1和F2是确定的，根据焦点定位法则可以绘制出椭圆的形状。
4. 椭圆的应用：椭圆经常出现在日常生活和科学研究中。
例如，候车室的设计、卫星轨道、行星公转路径等都可以用椭圆来近似表示。
五、椭圆的相关定理和公式1. 椭圆内切矩形：椭圆内可切一个面积最大的矩形，它的边与椭圆的长轴平行。
圆锥曲线之椭圆
椭圆的知识点、题型1. 椭圆的两个定义：（1）椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；例题（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（）A.421=+PF PFB.621=+PF PFC.1021=+PF PFD.122221=+PF PF2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
例题（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________ （答：11(3,)(,2)22--- ）；例题（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2）3.椭圆焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）由x 2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
特别提醒：（1）在求解椭圆问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+。
4. 椭圆的几何性质：（1）（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±；⑤离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（212F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。
注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMF MF 221=+（c a 22>，cF F 221=），即2121F F MF MF >+.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。
二、椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b x a y （0>>b a ）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或12222=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
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根据勾股定理得到： | F1F2 |2 | PF1 |2 | PF2 |2 (2c)2 (2 2 )2 (2 2 )2
4c2 4 4 2 2 4 4 2 2 4c2 12 c2 3 ， a 2 b2 a2 c2 4 3 1。
所以： a2 4 ， b2 1 椭圆的方程为： x2 y2 1。 4
高考数学圆锥曲线专题：椭圆的定义与性质（一）
第一部分：椭圆的定义与性质相关知识点
第一部分：椭圆的定义。
（Ⅰ）椭圆的定义：到两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹。
其中两个定点指椭圆的两个焦点，定长假设为 2a 。 椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于定长 2a 。
（Ⅱ）椭圆的定义式：假设： P 是椭圆上任意点， F1 ， F2 是椭圆的两个焦点。 满足： | PF1 | | PF2 | 2a 。
2
3 1
椭圆 C 的离心率： e 3 1 。
例题三：2015 年高考理科数学重庆卷第
21
题：如图，椭圆
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，
过 F2 的直线交椭圆于 P ， Q 两点，且 PQ PF1 。
（Ⅰ） | PF1| 2 2 ，| PF2 | 2 2 ，求椭圆的标准方程。
| F2B | 3 | F2B || BF1 | | F2B | 4 | F2B || BF1 | | F2B | ， | BF1 | | F2B | 2a 4 | F2B | 2a
|
F2B |
a 2
|
BF1
| 3 |
F2B | 3
a 2
3a 2
，|
AF2
|
2|
F2B |
2
a 2
a ，|
AF1
B、 x2 y2 1 32
C、 x2 y2 1 43
D、 x2 y2 1 54
本题解析：如下图所示：
根据椭圆的定义得到： | AF1 | | AF2 | 2a ， | BF1 | | BF2 | 2a 。
| AB || BF1 || AF2 | | F2B || BF1 |， | AF2 | 2 | F2B | 2 | F2B | | F2B || BF1 | 3 | F2B || BF1 | ，
1
y2
a2
y
a
上顶点 (0, a) ，下顶点 (0,a)
图像
长轴 短轴 离心率
2a 2b e c
a
第1页共7页
2a 2b e c
a
准线
左准线： x a2 ；右准线： x a2
c
c
上准线： y a2 ；下准线： y a2
c
c
第二部分：椭圆的定义与性质相关题型
第一部分：椭圆的定义题型。
使用条件：椭圆上一点与两个焦点连接，就可以考虑使用椭圆的定义。
第二部分：椭圆的性质。
焦点在 x 轴
焦点在 y 轴
方程
x2 y2 1 a2 b2
焦点在分母较大的坐标轴
x2 y2 1 b2 a2
焦距
2c
2c
焦点
a, b, c 关系
左焦点 F1(c,0) ，右焦点 F2 (c,0) a2 b2 c2
上焦点 F1(0, c) ，下焦点 F2 (0,c) a2 b2 c2
PF1 PF2 ，且 PF2F1 600 ，则 C 的离心率为（
）
A、1 3 2
B、 2 3
C、 3 1 2
D、 3 1
本题解析： PF1 PF2 PF1F2 为直角三角形，焦距 | F1F2 | 2c ， PF2F1 600 。如下图所示：
sin 600
|
PF1 2c
|
|
PF1
|
2c sin
AF1
||
AF2
| cos
A
4
a2
a2
2aa
1 3
第2页共7页
4 2a2 2 a2 4 4 a2 a2 3 ， c 1 b2 a2 c2 3 1 2 。
3
3
所以： a2 3 ， b2 2 椭圆 C 的方程是： x2 y2 1。 32
例题二：2018 年高考文科数学新课标Ⅱ卷第 11 题：已知 F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若
a2 3a 2
1。 3
2
椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ， F2 (1,0) 椭圆的焦点在 x 轴， c 1 焦距 | F1F2 | 2c 2 。
在
AF1F2
中：
|
AF1
|
a
，
|
F1F2
|
2
，
|
AF2
|
a
，
cos
A
1 3
。
根据余弦定理得到： |
F1F2
|2 |
AF1
|2
|
AF2
|2
2 |
例题一：2019 年高考数学新课标Ⅰ卷理科第 10 题文科第 12 题：已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ， F2 (1,0) ，过 F2 的
直线与 C 交于 A ， B 两点。若 | AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为（
）
A、 x2 y2 1 2
600
2c
3 2
3c ；
cos 600
|
PF2 2c
|
|
PF2
|
2c
cos 600
2c
1 2
c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
根据椭圆的定义得到： | PF1 | | PF2 | 2a 3c c 2a ( 3 1)c 2a
c a
2 2( 3 1) 2( 3 1) 2( 3 1)
3 1 ( 3 1)( 3 1) 3 1
本题解析：根据椭圆的定义得到： | PF1 | | PF2 | 2a ， | PF1 | 2 2 ，| PF2 | 2 2
2 2 2 2 2a 4 2a a 2 。
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在 RtPF1F2 中：焦距 | F1F2 | 2c ， | PF1 | 2 2 ， | PF2 | 2 2
左右顶点
令 y 0 x2 1 x2 a2 x a a2
左顶点 (a,0) ，右顶点 (a,0)
令 y 0 x2 1 x2 b2 x b b2
左顶点 (b,0) ，右顶点 (b,0)
上下顶点
令x
0
y2 b2
1
y2
b2
y
b
上顶点 (0, b) ，下顶点 (0,b)
令x
0
y2 a2
||
AF2
|
2a
|
AF1
|
a
2a
|
AF1
|
a
，|
AB
||
BF1
|
3a 2
。
所以： |
AF1
|
a
，|
AB
|
3a 2
，|
BF1
|
3a 2
。
在
AF1B
中：根据余弦定理得到：
cos
A
|
AF1 |2 2
| AB |2 | AF1 | |
| BF1 AB |
|2
a2 (3a )2 (3a )2
2
2
2 a 3a