2015年全国大纲卷(数学)理科模拟试题及解析
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19．（本小题 12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，E， F 分别是 CC1，A1B1 的中点． （Ⅰ）求证 AE⊥平面 BCF； （Ⅱ）求二面角 A﹣CF﹣B 的平面角的余弦值．
第 3 页（共 14 页）
20．（本小题 12 分）在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每 个选手的演出顺序（序号为 1，2，…7），求： （Ⅰ）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两选手之间的演讲选手个数 ξ 的分布列与期望．
二．填空题（共 4 小题）
13．
解：函数
的定义域为
，
解得 x≥2． 故答案为：[2，+∞）．
14． 解：每个个体被抽到的概率等于
= ，由抽到高一男生的概率是 0.2= ，
解得 x=800， 故高二年级的人数为 4000﹣600﹣800﹣650﹣750=1200，
第 8 页（共 14 页）
故在高二抽取的学生人数为 1200× =30， 故答案为 30．
22．（本小题 12 分）已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t∈[1，
2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
．
第 4 页（共 14 页）
=
=g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数． ∵当 0＜x＜π 时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0 ∴g'（x）＜0， ∴g（x）在（0，π）上单调递减， ∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）=
=0，
∵f（x）＜2f（ ）sinx，
∴g（x）＜g（ ），x∈（0，π），或 g（x）＞g（﹣ ），x∈（﹣π，0），
=﹣ tanB，
整理得 tan2B=4，解得 tanB=2，（tanB=﹣2 舍，否则 A，B，C 都是钝角不成立）， 则 tanA= tanB=1，
则 tan（B﹣A）= 则 B﹣A 为锐角， 则 cos2（B﹣A）=
=
，
=
=
=，
则 cos（B﹣A）= = ，
故选：D 6．
解：分别以 DA、DC、DD1 为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长等于 1，可得： D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1）， ∴ =（﹣1，0，1）， =（﹣1，0，﹣1）， =（﹣1，﹣1，0），
﹣
=1，
令 cn=
，则 c1=﹣b1=﹣λ，cn+1﹣cn=1，
数列{cn}为首项为﹣λ，公差为 1 的等差数列，
cn=
=n﹣λ﹣1，bn=
，
假设存在实数 λ，使得数列{bn}为等比数列，
第 10 页（共 14 页）
b1=λ，b2=
，b3=
，
则 b22=b1b3，即 λ•
=（
）2，
解得，λ=﹣1 或 3． 当 λ=﹣1 时，bn=（﹣1）n，则{bn}为等比数列，
当 λ=3 时，bn=
，b4=0，则{bn}不为等比数列．
19．
则存在实数 λ=﹣1，使得数列{bn}为等比数列．
证明：（1）建立以 C1 为坐标原点的空间坐标系如图， ∵AC=BC=AA1=2，E，F 分别是 CC1，A1B1 的中点． ∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A1（0，2，0），F（1，1，0），B1（2， 0，0），C（0，0，2）
是递减数列，则实数 a 的取值范围是（
A．（ ，1）
B．（ ， ）
） C．（ ， ）
D．（ ，1）
12．定义域为 R 的函数 f（x）对任意 x 都有 f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数 f（′ x）满足
＞0，则当 2＜a＜4，有（ ） A． f（2a）＜f（log2a）＜f（2） C． f（2a）＜f（2）＜f（log2a）
第 6 页（共 14 页）
7．
解：展开式的第四项是：
=
数项，令 n﹣5=0 得 n=5， ∴展开式的常数项为：﹣ =﹣10．
故选：B． 8．
解：由正弦曲线知，在一个周期内 sin =sin
= ，sin
=﹣1，
∴a= ， ≤b≤2π+ ，∴| +2kπ|≤b﹣a≤| +2kπ|（k∈z），
当 k=0 或﹣1 时，则可能为 B、C、D 中的值， 故选 A．
5． 解：∵tanA，tanB，tanC，2tanB 成等差数列， ∴tanA+tanC=2tanB， 2tanC=tanB+2tanB=3tanB， 即 tanC= tanB，tanA= tanB，
∵tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）=﹣
= tanB，
第 5 页（共 14 页）
即
∴
，或
．
故 x 的不等式 f（x）＜2f（ ）sinx 的解集为（﹣ ，0）∪（ ，π）．
第 9 页（共 14 页）
故答案为：（﹣ ，0）∪（ ，π）
三．解答题（共 6 小题） 17．
解：由题意得△=b2﹣4ac=（﹣4sinθ）2﹣4•2•3cosθ=0， 即 16sin2θ﹣24cosθ=0， ∴16（1﹣cos2θ）﹣24cosθ=0， ∴2cos2θ+3cosθ﹣2=0， 解得 cosθ= 或 cosθ=﹣2（舍去）．
2015 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（理科）
一．选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求的
1．已知集合 M={x||x﹣3|＜4}，集合 N={x| ≤0，x∈Z}，那么 M∩N=（ ）
A． {x|﹣1＜x≤1}
B． {﹣1，0}
ຫໍສະໝຸດ Baidu
为
．
第 2 页（共 14 页）
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题 10 分）已知方程 2x2﹣4x•sinθ+3cosθ=0 的两个根相等，且 θ 为锐角，求 θ 和这个 方程的两个根．
18．（本小题 12 分）已知各项为正的等差数列{an}的公差为 d=1，且 + = ． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：b1=λ，an+1bn+1+anbn=（﹣1）n+1（n∈N），是否存在实数 λ，使得数列 {bn}为等比数列？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题 12 分）已知双曲线 C：
的一个焦点是 F（2 2，0），且
．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为（m，1），当直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A， B 不同的两点时，求实数 m 的取值范围；并证明 AB 中点 M 在曲线 3（x﹣1）2﹣y2=3 上．
2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题） 1．
解：∵集合 M={x||x﹣3|＜4}={x|﹣1＜x＜7}， 集合 N={x| ≤0，x∈Z}={x|﹣2≤x＜1，x∈Z}={﹣2，﹣1，0}，
那么 M∩N={0}， 故选：C．
2．
解： =
别相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）
A． e＜
B． 1＜e＜
C． 1＜e＜
D． e＞
10．设变量 x，y 满足|x﹣1|+|y﹣a|≤1，若 2x+y 的最大值是 5，则实数 a 的值是（ ）
A． 2
B． 1
C． 0
D． ﹣1
11．已知函数 f（x）=
，若数列{an}满足 an=f（n）（n∈N*），且{an}
C． {0}
D． {0，1}
2．已知 a∈R，i 是虚数单位，复数 z1=2+ai，z2=1﹣2i，若 为纯虚数，则复数 的虚部为（ ）
A． i
B． 0
C．
D． 1
3．设函数 f（x）=cosωx（ω＞0），将 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
与原图象重合，则 ω 的最小值等于（
又 θ 为锐角，∴θ=60°． 因此，原方程可化为
，
解得相等的二根为 ．
18 解：（1）由 + =
=，
由于{an}为等差数列，则 a1+a3=2a2，
则
= ，即有 a1a3=3，由于 a1＞0，d=1，
则 a1（a1+2）=3，解得，a1=1 或﹣3（舍去）， 则有数列{an}的通项公式是 an=a1+n﹣1=n； （2）由 an+1bn+1+anbn=（﹣1）n+1（n∈N）， 即（n+1）bn+1+nbn=（﹣1）n+1，
A．
B． 3
） C． 6
D． 9
4．在矩形 ABCD 中，| |= ，| |=1，则| ﹣ |=（ ）
A． 2
B． 3
C． 2
D． 4
5．设△ABC 的三个内角为 A、B、C，且 tanA，tanB，tanC，2tanB 成等差数列，则 cos（B﹣
A）=（ ）
A． ﹣
B． ﹣
C．
D．
6．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为（ ）
，第 4 项为常
9． 解：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率 必大于 2，即 ＞2，
因此该双曲线的离心率 e= =
=
故选 D．
＞．
10．
解：设点 M（1，a），则满足|x﹣1|+|y﹣a|≤1 的点（x，y）构成趋于为平行四边形 ABCD 及其内部区域， 如图所示：令 z=2x+y，则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距， 故当直线 y=﹣2x+z 过点 C（2，a）时，z 取得最大值为 5，即 4+a=5，求得 a=1， 故选：B．
A． 7．二项式 A． 10
B．
C．
D．
的展开式中第 4 项为常数项，则常数项为（ ）
B． ﹣10
C． 20
D． ﹣20
第 1 页（共 14 页）
8．已知函数 y=sinx 的定义域为[a，b]，值域为
A．
B．
C． π
，则 b﹣a 的值不可能是（ ） D．
9．斜率为 2 的直线 l 过双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分
15．
解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1、2、3，
∴长方体的对角线长为：
=
∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为 R= ，可得球的表面积为 4πR2=14π
故答案为：14π
16．
解：设 g（x）=
，
∴g′（x）=
，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故 g（﹣x）=
第 7 页（共 14 页）
解答：解：由已知可知 1﹣2a＜0，0＜a＜1，且 a12=17﹣24a＞a13=1， 解得 ＜a＜ ． 故选：C．
12．
解：∵函数 f（x）对任意 x 都有 f（2+x）=f（2﹣x）， ∴函数 f（x）的对称轴为 x=2
∵导函数 f′（x）满足
，
∴函数 f（x）在（2，+∞）上单调递减，（﹣∞，2）上单调递增， ∵2＜a＜4 ∴1＜log2a＜2＜4＜2a 又函数 f（x）的对称轴为 x=2 ∴f（2）＞f（log2a）＞f（2a）， 故选 A．
高二抽取的学生人数为
．
高一
高二
高三
女生
600
y
650
男生
x
z
750
15．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1、2、3，则这个长方体的外接球的表面
积为
．
16．设奇函数 f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为 f′（x），且 f（ ）=0，当
0＜x＜π 时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于 x 的不等式 f（x）＜2f（ ）sinx 的解集
=
=
=
，
因为复数是纯虚数，所以 a=1，满足题意． 故选 D． 3．
解：f（x）的周期 T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，
说明函数平移整数个周期，所以
，k∈Z．令 k=1，可得 ω=6．
故选 C． 4．
解：由已知四边形 ABCD 是矩形，所以| ﹣ |=| |=
=2；
故选 A．
B． f（log2a）＜f（2）＜f（2a） D． f（log2a）＜f（2a）＜f（2）
二．填空题：共 4 小题，每小题 5 分
13．函数
的定义域为
．
14．某校有 4000 名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火
炬手，抽到高一男生的概率是 0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名奥运志愿者，则在
设 =（x，y，z）是平面 A1BD 的一个法向量，
则
，即
，取 x=1，得 y=z=﹣1，
∴平面 A1BD 的一个法向量为 =（1，﹣1，﹣1）， 设直线 BC1 与平面 A1BD 所成角为 θ，则
sinθ=|cos＜
＞|=
=
，
∴cosθ= 故选 C．
，即直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是 ；
第 3 页（共 14 页）
20．（本小题 12 分）在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每 个选手的演出顺序（序号为 1，2，…7），求： （Ⅰ）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两选手之间的演讲选手个数 ξ 的分布列与期望．
二．填空题（共 4 小题）
13．
解：函数
的定义域为
，
解得 x≥2． 故答案为：[2，+∞）．
14． 解：每个个体被抽到的概率等于
= ，由抽到高一男生的概率是 0.2= ，
解得 x=800， 故高二年级的人数为 4000﹣600﹣800﹣650﹣750=1200，
第 8 页（共 14 页）
故在高二抽取的学生人数为 1200× =30， 故答案为 30．
22．（本小题 12 分）已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t∈[1，
2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
．
第 4 页（共 14 页）
=
=g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数． ∵当 0＜x＜π 时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0 ∴g'（x）＜0， ∴g（x）在（0，π）上单调递减， ∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）=
=0，
∵f（x）＜2f（ ）sinx，
∴g（x）＜g（ ），x∈（0，π），或 g（x）＞g（﹣ ），x∈（﹣π，0），
=﹣ tanB，
整理得 tan2B=4，解得 tanB=2，（tanB=﹣2 舍，否则 A，B，C 都是钝角不成立）， 则 tanA= tanB=1，
则 tan（B﹣A）= 则 B﹣A 为锐角， 则 cos2（B﹣A）=
=
，
=
=
=，
则 cos（B﹣A）= = ，
故选：D 6．
解：分别以 DA、DC、DD1 为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长等于 1，可得： D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1）， ∴ =（﹣1，0，1）， =（﹣1，0，﹣1）， =（﹣1，﹣1，0），
﹣
=1，
令 cn=
，则 c1=﹣b1=﹣λ，cn+1﹣cn=1，
数列{cn}为首项为﹣λ，公差为 1 的等差数列，
cn=
=n﹣λ﹣1，bn=
，
假设存在实数 λ，使得数列{bn}为等比数列，
第 10 页（共 14 页）
b1=λ，b2=
，b3=
，
则 b22=b1b3，即 λ•
=（
）2，
解得，λ=﹣1 或 3． 当 λ=﹣1 时，bn=（﹣1）n，则{bn}为等比数列，
当 λ=3 时，bn=
，b4=0，则{bn}不为等比数列．
19．
则存在实数 λ=﹣1，使得数列{bn}为等比数列．
证明：（1）建立以 C1 为坐标原点的空间坐标系如图， ∵AC=BC=AA1=2，E，F 分别是 CC1，A1B1 的中点． ∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A1（0，2，0），F（1，1，0），B1（2， 0，0），C（0，0，2）
是递减数列，则实数 a 的取值范围是（
A．（ ，1）
B．（ ， ）
） C．（ ， ）
D．（ ，1）
12．定义域为 R 的函数 f（x）对任意 x 都有 f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数 f（′ x）满足
＞0，则当 2＜a＜4，有（ ） A． f（2a）＜f（log2a）＜f（2） C． f（2a）＜f（2）＜f（log2a）
第 6 页（共 14 页）
7．
解：展开式的第四项是：
=
数项，令 n﹣5=0 得 n=5， ∴展开式的常数项为：﹣ =﹣10．
故选：B． 8．
解：由正弦曲线知，在一个周期内 sin =sin
= ，sin
=﹣1，
∴a= ， ≤b≤2π+ ，∴| +2kπ|≤b﹣a≤| +2kπ|（k∈z），
当 k=0 或﹣1 时，则可能为 B、C、D 中的值， 故选 A．
5． 解：∵tanA，tanB，tanC，2tanB 成等差数列， ∴tanA+tanC=2tanB， 2tanC=tanB+2tanB=3tanB， 即 tanC= tanB，tanA= tanB，
∵tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）=﹣
= tanB，
第 5 页（共 14 页）
即
∴
，或
．
故 x 的不等式 f（x）＜2f（ ）sinx 的解集为（﹣ ，0）∪（ ，π）．
第 9 页（共 14 页）
故答案为：（﹣ ，0）∪（ ，π）
三．解答题（共 6 小题） 17．
解：由题意得△=b2﹣4ac=（﹣4sinθ）2﹣4•2•3cosθ=0， 即 16sin2θ﹣24cosθ=0， ∴16（1﹣cos2θ）﹣24cosθ=0， ∴2cos2θ+3cosθ﹣2=0， 解得 cosθ= 或 cosθ=﹣2（舍去）．
2015 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（理科）
一．选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求的
1．已知集合 M={x||x﹣3|＜4}，集合 N={x| ≤0，x∈Z}，那么 M∩N=（ ）
A． {x|﹣1＜x≤1}
B． {﹣1，0}
ຫໍສະໝຸດ Baidu
为
．
第 2 页（共 14 页）
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题 10 分）已知方程 2x2﹣4x•sinθ+3cosθ=0 的两个根相等，且 θ 为锐角，求 θ 和这个 方程的两个根．
18．（本小题 12 分）已知各项为正的等差数列{an}的公差为 d=1，且 + = ． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：b1=λ，an+1bn+1+anbn=（﹣1）n+1（n∈N），是否存在实数 λ，使得数列 {bn}为等比数列？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题 12 分）已知双曲线 C：
的一个焦点是 F（2 2，0），且
．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为（m，1），当直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A， B 不同的两点时，求实数 m 的取值范围；并证明 AB 中点 M 在曲线 3（x﹣1）2﹣y2=3 上．
2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题） 1．
解：∵集合 M={x||x﹣3|＜4}={x|﹣1＜x＜7}， 集合 N={x| ≤0，x∈Z}={x|﹣2≤x＜1，x∈Z}={﹣2，﹣1，0}，
那么 M∩N={0}， 故选：C．
2．
解： =
别相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）
A． e＜
B． 1＜e＜
C． 1＜e＜
D． e＞
10．设变量 x，y 满足|x﹣1|+|y﹣a|≤1，若 2x+y 的最大值是 5，则实数 a 的值是（ ）
A． 2
B． 1
C． 0
D． ﹣1
11．已知函数 f（x）=
，若数列{an}满足 an=f（n）（n∈N*），且{an}
C． {0}
D． {0，1}
2．已知 a∈R，i 是虚数单位，复数 z1=2+ai，z2=1﹣2i，若 为纯虚数，则复数 的虚部为（ ）
A． i
B． 0
C．
D． 1
3．设函数 f（x）=cosωx（ω＞0），将 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
与原图象重合，则 ω 的最小值等于（
又 θ 为锐角，∴θ=60°． 因此，原方程可化为
，
解得相等的二根为 ．
18 解：（1）由 + =
=，
由于{an}为等差数列，则 a1+a3=2a2，
则
= ，即有 a1a3=3，由于 a1＞0，d=1，
则 a1（a1+2）=3，解得，a1=1 或﹣3（舍去）， 则有数列{an}的通项公式是 an=a1+n﹣1=n； （2）由 an+1bn+1+anbn=（﹣1）n+1（n∈N）， 即（n+1）bn+1+nbn=（﹣1）n+1，
A．
B． 3
） C． 6
D． 9
4．在矩形 ABCD 中，| |= ，| |=1，则| ﹣ |=（ ）
A． 2
B． 3
C． 2
D． 4
5．设△ABC 的三个内角为 A、B、C，且 tanA，tanB，tanC，2tanB 成等差数列，则 cos（B﹣
A）=（ ）
A． ﹣
B． ﹣
C．
D．
6．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为（ ）
，第 4 项为常
9． 解：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率 必大于 2，即 ＞2，
因此该双曲线的离心率 e= =
=
故选 D．
＞．
10．
解：设点 M（1，a），则满足|x﹣1|+|y﹣a|≤1 的点（x，y）构成趋于为平行四边形 ABCD 及其内部区域， 如图所示：令 z=2x+y，则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距， 故当直线 y=﹣2x+z 过点 C（2，a）时，z 取得最大值为 5，即 4+a=5，求得 a=1， 故选：B．
A． 7．二项式 A． 10
B．
C．
D．
的展开式中第 4 项为常数项，则常数项为（ ）
B． ﹣10
C． 20
D． ﹣20
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8．已知函数 y=sinx 的定义域为[a，b]，值域为
A．
B．
C． π
，则 b﹣a 的值不可能是（ ） D．
9．斜率为 2 的直线 l 过双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分
15．
解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1、2、3，
∴长方体的对角线长为：
=
∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为 R= ，可得球的表面积为 4πR2=14π
故答案为：14π
16．
解：设 g（x）=
，
∴g′（x）=
，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故 g（﹣x）=
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解答：解：由已知可知 1﹣2a＜0，0＜a＜1，且 a12=17﹣24a＞a13=1， 解得 ＜a＜ ． 故选：C．
12．
解：∵函数 f（x）对任意 x 都有 f（2+x）=f（2﹣x）， ∴函数 f（x）的对称轴为 x=2
∵导函数 f′（x）满足
，
∴函数 f（x）在（2，+∞）上单调递减，（﹣∞，2）上单调递增， ∵2＜a＜4 ∴1＜log2a＜2＜4＜2a 又函数 f（x）的对称轴为 x=2 ∴f（2）＞f（log2a）＞f（2a）， 故选 A．
高二抽取的学生人数为
．
高一
高二
高三
女生
600
y
650
男生
x
z
750
15．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1、2、3，则这个长方体的外接球的表面
积为
．
16．设奇函数 f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为 f′（x），且 f（ ）=0，当
0＜x＜π 时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于 x 的不等式 f（x）＜2f（ ）sinx 的解集
=
=
=
，
因为复数是纯虚数，所以 a=1，满足题意． 故选 D． 3．
解：f（x）的周期 T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，
说明函数平移整数个周期，所以
，k∈Z．令 k=1，可得 ω=6．
故选 C． 4．
解：由已知四边形 ABCD 是矩形，所以| ﹣ |=| |=
=2；
故选 A．
B． f（log2a）＜f（2）＜f（2a） D． f（log2a）＜f（2a）＜f（2）
二．填空题：共 4 小题，每小题 5 分
13．函数
的定义域为
．
14．某校有 4000 名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火
炬手，抽到高一男生的概率是 0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名奥运志愿者，则在
设 =（x，y，z）是平面 A1BD 的一个法向量，
则
，即
，取 x=1，得 y=z=﹣1，
∴平面 A1BD 的一个法向量为 =（1，﹣1，﹣1）， 设直线 BC1 与平面 A1BD 所成角为 θ，则
sinθ=|cos＜
＞|=
=
，
∴cosθ= 故选 C．
，即直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是 ；