山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题一
山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题四
山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题四山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题四一、填空题(每格2分，共40分)1.z=6+i,则 |z|=__________，argz=__________.2.z=e -3+i 则argz=__________.3.复数-1+3i 的三角形式是__________.4.一曲线的复数方程是|z-i|=1,则此曲线的直角坐标方程为__________.5.设z=(-i)i ,则|z|=__________.6.f(z)=2cos(2π-z),则f(i)=__________. 7.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则f ′(z)=__________.8.?i2zsin(z 2)dz=__________.9.沿指定曲线正向的积分?=+1|z |2z4z e dz=__________.10.设C 1为正向圆周|z-2|=1,C 2为正向圆周|z|=1,则积分+-+π?dz 2z 1z i 211c 3dz 2z z cos i 212c ?-π= __________.11.级数∑∞=-1n n n z )3(的收敛半径R= .12.函数f(z)=zi 1+在z=0处的泰勒级数是__________. 13.罗朗级数∑∑∞=∞=+1n 0n n 2n z)z 2(1的收敛域是__________.14.Z=3是函数sin 3-z 1的孤立奇点，它属于__________类型，Res 〔sin 3-z 1,3〕=__________. 15.z=0是函数z-sinz 的__________阶零点。
16.函数W=z 2在z 平面上，伸缩率等于2的点构成的曲线方程是__________.17.沿指定曲线正向的积分dz )1z (1z z z 51|1z |234?=--++-=__________. 18.xdx cos )3x (2?+∞∞-π-δ =__________. 二、计算题及证明题(5题，共30分)1.(5分)试证：设1z 1-z +是纯虚数，则必有|z|=1. 2.(5分)求z 4+3-i=0的根.3.(7分)解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=3x 2y-y 3,求f(z).4.(6分) 将函数f(z)=3z 12z 13)2)(z -(z 5+--=+.在2<|z|<3内展开成罗朗级数.。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
《复变函数与积分变换》期末、考研重点复习试题
工程数学（数值计算）习题课[例15-1] 求0122=+-x x 的Newton迭代法格式为： ，收敛阶为： 。
[解]（1）221221-+--=+k k k k k x x x x x ，（2）收敛阶为： 1（线性收敛） 。
[例15-2] 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。
（1）x =(cos x +sin x )/4； （2）x =4–2x2ln )4ln(1n n x x -=+[例21] 设f (x )=(x 3−a )2，（1）写出解f (x )=0的Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。
f (x )=(x 3-a )2f '(x )=6x 2(x 3-a )1'(),0,1,2,()k k k k f x x x k f x +=-=321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k kx a ax x x k x x a x +-=-=+=-25()66a x x x ϕ=+'35()63a x x ϕ-=- 3*a x ='*335511()()163632a x a ϕ-=-=-=<0≠[例22] 用牛顿法求f (x )=x 3–3x –1=0在x 0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x =1.）。
[解]：因为f (x )=x 3–3x –1=0，所以f '(x )=3x 2–3由牛顿公式可得：取初值x 0=2，计算结果见下表：故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。
[例25] 用快速弦截法求x 3–3x –1=0在x 0=2附近的实根，设取x 1=，算到四位有效数字为止。
[解]：设f (x )=x 3–3x –1，由快速弦截公式：即：3)(12112111-++++=----+k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x 0=2，x 1=计算结果见下表：故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。
《复变函数与积分变换》试题及答案.
年级专业： 教学班号：学号： 姓名:装订线课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟课程代码：7100031试卷总分：100_分一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1; 2、； 3、'|和它的主值二、（8分）设'，函数'■在•平面的哪些点可导？若可导，求出在可导点的导数值。
三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。
四、（25分，每小题各5分）计算下列积分:的正向;-de + sin 05.五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数1.2.；・伫一15界 ^： M=i? ・的正向;3. ，■:的正向; 4.们；＜：6山「：的正向;(1)(2)六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足arg r（n =匸■，的分式线性映射，。
IU-1"=—-2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？「2 （ff（t）--七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。
八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。
九、（5分）求的拉氏逆变换。
十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1、* _ JT It &(1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + +4 4=16(QDS(-2JT)-F /SII M -2«))=16 (2)3 3、21四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分）由柯西-黎曼方程得： '即 '.所以’在 ’可导.三、参考答案及评分标准：（10分）v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “&xJ A 2 dy得,卩二J(-6砂必=-3A y 十 g(y}-r故 -?」；、’；J/'二、参考答案及评分标准：（ 8 分)解： ■异上F ，因为dv ov=乩——=0,——=2y Exd 2u 沪 口W C?j/，所以为调和函数.证明:P V (? u由"M 得3A1 d g\y}= 2- ?A22 四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）3115~/ -1-4 Sill 0—+ - 44 2 iz2? + 5J >-2JZ一心2/1(2 d3+24 .因为-上在c 内无奇点,所以:cir = 0r/ -J6(Z4 2fl(2z+ “vsinZ? --- -------2J >42.1-------------------------------- S -------------所以洛朗级数为H m _送JJ-0所以洛朗级数为原式- 六、参考答案及评分标准: 1解：将上半平面 内点• （每小题 5分，共10分）lm （z>0映射到单位圆域 的变换为 为上半平面，所以-，故 ,所以解：边界1： ,..= i =i "丄 “0x 〉n ,忑〔故 羔K ;>= f ^dfV . -uj解：r (s}= Hr + 3sin(20■+ /cos Z] =r 2] + 3i(sin 2/J + Zj/cos 小八 (2)2 3x 2=—十 -------------------------$ S~ + 4 2 b二—+ — ------解：设二也上一在方程的两边取 拉氏变换并考虑初始条件得:，故七、 Z特殊点：作图参考答案及评分标准：（5分）十、参考答案及评分标准：（6分） 3+2八、 参考答案及评分标准：（6分）S 1 + 1I - y (/ 4 1)? 九、 参考答案及评分标准: (5分)解:取逆变换得:。
《复变函数与积分变换》试题(一)答案解读
《复变函数与积分变换》试题（一）答案一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1.B2.D3.C4.A5.A6.B7.A8.D9.C 10.A11.D 12.C 13.B 14.B 15.C16.D 17.B 18.D 19.A 20.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)21. 822. 023. 124. z=0 25. z=12133(),+i e i 或π26. 4πi27. -+2ππ()i 28. ππππ23233i i ,cos 或⋅ 29. e30. 6三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31.解1： ∂∂∂∂u x x y u yx y =+=-2222,, 由C -R 条件，有∂∂∂∂v y u x =，∂∂∂∂v x u y =-， ∴ v v y dy x y dy xy y x ==+=++⎰⎰∂∂ϕ()()2222. 再由∂∂ϕ∂∂v x y x x y u y=+'=-+=-222()， 得'=-=-+ϕϕ(),(),x x x x C 22于是∴ v=2xy+y 2-x 2+C.由v(0,0)=1, 得C=1.故v=2xy+y 2-x 2+1.解2：v(x,y)=∂∂∂∂v x dx v y dy C x y ++⎰(,)(,)00 =()()(,)(,)222200y x dx x y dy C x y -+++⎰=-x 2+2xy+y 2+C以下同解1.32.解1：z z z dz zdz i i d C C +==⋅+-⎰⎰⎰||Re cos (cos sin )12222θθθθππ=4i (cos ).1240+=⎰θθππd i解2：z z z z dz e e ie d C i i i ||||+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰⎰-2222202θθπθθ =2i(2π+0)=4πi.33.解：因为f ˊ(z)=e z -2=()!()!(||)-=-<+∞=∞=∞∑∑z n n z z n n n n n 20021， 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 f(z)='=-++=∞∑⎰f d n z n n n n z()()!ζζ1212100 （||z <+∞）. 34.解：因在C 内f(z)=e z i z i zπ()()-+223有二阶极点z=i ，所以f z dz i d dzz i f z z i C ()!lim[()()]=-→⎰212π =232323ππππi e z i e z i z izzlim[()()]→+-+ =ππ1612().-+i 四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题选做一题，需考《积分变换》者做37题，其它考生做36题，两题都做者按37题给分。
复变函数与积分变换练习题带答案(1)
f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23．若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ，则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1，则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段，则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段，则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
（√）
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点，那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)
；
（√）
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t， t，0
t
1
，即，
z
=
t
+ it，0
t
1
,
dz =（1+i）dt
于是,原式= 1t（1+ i）dt = 1+ i .
山东理工大学复变试题
《复变函数与积分变换》1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 2．下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ） A.z ·z =Re(z ·z ) B. z ·z =Im(z ·z ) C. z ·z =arg(z ·z )D. z ·z =|z|3．不等式4z arg 4π<<π-所表示的区域为（ ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部D.椭圆内部4．函数z1=ω把Z 平面上的单位圆周|z|=1变成W 平面上的（ ）A.不过原点的直线B.双曲线C.椭圆D.单位圆周5．下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=zB.w=z2C.w=e zD.w=z+cosz 6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（ ） A.sinz 是周期函数B.sinz 是解析函数C.|sinz|1≤D.z cos )z (sin ='7．在下列复数中，使得e z =2成立的是（ ） A.z=2 B.z=ln2+2i π C.z=2D.z=ln2+i π8．若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.)z ()z (f Φ=' B. )z ()z (f Φ='' C. )z (f )z (='ΦD. )z (f )z (=Φ''9．设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C2dz )i 1z (1等于（ ）A.0B.i21πC.i 2πD.i π10．对于复数项级数∑∞=+0n nn6)i 43(，以下命题正确的是（ ） A.级数是条件收敛的B.级数是绝对收敛的C.级数的和为∞D.级数的和不存在，也不为∞11．级数∑∞=-0n n )i (的和为（ ）A.0B.不存在C.iD.-i12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数条件收敛B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散13．z=0是函数zz sin 2的（ ） A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点14．z1sin 在点z=0处的留数为（ ） A.-1B.0C.1D.215．将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ） A.1z z w -=B. z1z w -=C. zz1w -=D. z11w -=第二部分 非选择题 （共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16．设4ie2z π=,则Rez=____________.17.f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为_________. 18.设C 为正向圆周|z-i 4π|=1,则积分⎰=Cdz zcos 1____________.19.函数)1z (z 1z)z (f 2-+=在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为_______.20.3)1z (1-在点z=1处的留数为____________.三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．设i3i 2z -+=,求z+z 和z-z .22. 设z cos 2z1z)z (f 22+-=. (1)求f(z)的解析区域，（2）求).z (f '23.设f(z)=x 2-2xy-y 2-i(x 2-y 2).求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域.24.设z=x+iy,L 为从原点到1+i 的直线段.求.dz )iy y x (L2⎰++25.计算积分⎰+-i30.dz )3z 2(26.设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=⎰-C2z.dz )2z (z e27.将函数f(z)=)i z (z i 2+在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径.四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。
复变函数与积分变换考试题库
三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
三(8分) 解: 1)在2||1<<z 11000111111()()(()())()21222n nnn n n n n zzf z z z z z zz z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑-----4分 2) 在1|2|z <-<∞2111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nn n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4分四．（8分） 求())2)(1(--=z z z z f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故]2,54[Re 25422i z z es i dx x x eizix+-++=++⎰∞+∞-π --------3分)2sin 2(cos 54))2((lim 222i ez z ei z i iziz -=+++--=+-→ππ --------6分故2cos 254Re 254cos 222edx x x edx x x x ixπ=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
五.(8分) 解: 22371()()Cf z d z ξξξξ++'=-⎰-------3分由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故 i Ci d i i f +='++=+-++=+'⎰1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
山东理工大学复变试卷3
2007复变函数与积分变换试题系别___________ 班级__________ 学号__________________ 姓名___________一、填空（每题3分，共24分） 1．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.2．曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.3．i i =____________.4．0z =为函数()81cos zf z z -=的_____级极点；在该点处的留数为_____.5．函数()Im Re f z z z z =-仅在z =____________处可导.6．设()2sin 2f z d z ξπξξξ==-⎰，其中2z ≠，则()1f '=_______.7. 在映射2w z iz =-下，z i =处的旋转角为_______，伸缩率为______.8．已知()()()()12,,tf t e u t f t tu t ==则它们的卷积()()12f t f t *=____________.二、（10分）验证()22,22v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数()f z u iv =+满足条件()2f i i =-.三、计算下列各题（每小题5分，共25分）：1．41cos z d z z =⎰ .2．211z z ze d z z π+=+⎰ .3. 2011sin d πθθ+⎰ .4. ()2224x d x x +∞-∞+⎰ .5. 用留数计算()220cos (0,0)bxI b dxa b x a +∞=>>+⎰，由此求出()221F a ωω=+的傅里叶(Fourier)逆变换.四、（12分）把函数()211f z z =+在复平面上展开为z i -的洛朗级数.五、（6分）试求Z 平面上如图所示区域在映射z i w i z iπ+=--下的象区域.六、（8分）求一保形映射，把区域30Im 2Re 0z z π⎧<<⎪⎨⎪<⎩映射为区域1w <.七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程2t y y e ''''+=满足初始条件()()()0000y y y '''===的解.八、证明题：（7分）1． 设函数()f z 在区域()00z z R R r -<>>内除二阶极点0z 外处处解析，证明：()()04z z r f z dz i f z π-='=-⎰ .（4分）2． 求积分1zz e dz z =⎰，从而证明：()cos 0cos sin e d πθθθπ=⎰.（3分）。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1](可打印
------14 分
1i
1．
的幅角是（
2k , k 0 1,2,L
）；
2
4
2. Ln(1 i) 的主值是（ 1 ln 2 i
z
ez 1)
2
z0
2i
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
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3/8
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
， Re
s[
f
( z ), ]
（-1
）；
二．选择题（每题 4 分，共 24 分）
1．解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 的导函数为（B ）；
（A） f (z) u x iu y ； （B） f (z) u x iu y ； （C） f (z) u x iv y ； （D） f (z) u y ivx .
（D）函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u(x, y) 、
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v(x, y) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D
( A)、
、
sin
1、、、、、、 z
）．
(B)、 、 sin z、、、、、、
(C )、 、 1 、、、、、 1
2．C 是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) （ D ），则 f (z)dz 0 ． C
3
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7．设F [ f1 (t)] F1 (), F [ f2 (t)] F2 () ,
F [ f1 (t) f2 (t)] ________________，其中 f1 (t) f2 (t) 定义为________________ .
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
《复变函数》考试试题与答案(一)(2021年整理精品文档)
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《复变函数》考试试题(一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f （z)在z 0解析. （ ）2。
有界整函数必在整个复平面为常数。
( ）3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ）4。
若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. （ ）5.若函数f （z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z ）的可去奇点. ( )8。
若函数f （z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ )9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C dz z f .（ )10。
若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z ）在区域D 内恒等于常数.（)二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________.3。
函数z sin 的周期为___________.4。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]
![《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2cf4a3a77c1cfad6195fa768.png)
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
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山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题一
一．填空（每空3分，共36分）
1.i i = = .
2.设函数 )3()3()(3223y x y x y i x z f -+-=为解析函数, 则=)('z f
. 3．积分2||5(2cos )z z z e z dz =++=⎰ ，积分=⎰
=1||s i n z z d z
z . 4．设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sin πζζζ3-⎰
z d C ，其中|z|<2，则(1)f '= .
5. 0=z 是e z
z 12的 类型孤立奇点，2Re (,0)z e s z -= .
6．幂级数∑∞=1n n 3n z n 2 的收敛半径是 .
7. 映射 3()f z z =在i z =处的伸缩率为 ，转动角为 .
8. )(2)(2t e t f t j δ-=的付氏变换是 .
二．计算22||4(1)z
z e dz z z =-⎰ . (10分)
三. 把函数1()(1)(2)
f z z z =--分别在圆环域（1）1||0<<z ；（2）011z <-<内展为洛朗级数. (12分)
四. 计算积分 dx x x
x ⎰+∞∞-++54cos 2.(10分)五. 求将上半平面映射成单位圆
1<ω且满足条件2)(arg ,
0)(π='=i f i f 的分式线性映射.(10分)
六. (,)(cos sin )x v x y e y y x y x y =+++已知为调和函数，求一解析函数(), (0)0.f z u iv f =+=使(12分)
七.求微分方程：1)0(,0)0(32='==-'+''-y y y y y e
t 满足初始条件的
解 .(10分)
一.填空题（每小题3分，共36分）
1. 设i Z --=1 ， 则=ArgZ ,Z 的三角表示为 .
2. =-32i e
π ; 已知2ln i z π=,则=z . 3. =-⎰=dz z z z 1||2)3(cos .
4. ⎰=i
zdz π0sin . 5.幂级数z n n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=1112的收敛半径为 .
6.已知)2(23)(2++=
z z z z f ，则=]0),([Re z f s . 7.)
1(1)(i e z f z +-=的全部孤立奇点为 . 8.分式线性映射i z i z z f +-=
)(在i z =处的旋转角为 ，伸缩率为 .
9.函数t e t u t f 42)(3)(-=的Laplace 变换=)(s F .
二.设)(2323cxy x i y bx ay +++ 为解析函数，求c b a ,,的值。
(6分)
三. 将)
1(1)(2-+=z z z z f 分别在圆环域（1）1||0<<z ；（2）+∞<<||1z 内展为洛朗级数.（8分）
四. 求将单位圆1||=z 映成单位圆1||=ϖ，且使i z +=1,1分别映为∞=,1ϖ的分式线性映射.( 8分)
五. 求积分⎰-+=C dz z z z I )
2)(1(13的值，其中C 为.2,1,||≠=r r z (12分). 六. 已知调和函数xy y x y x u +-=22),(，求其共轭调和函数),(y x v 及解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=.(10分)
七.计算积分⎰∞
+∞->+=)0(,)(2222a dx a x x I 的值.（10分） 八. 求微分方程t e x t x t x -=++3)(4)(''' 满足初始条件1)0()0('==x x 的解.（10分）。