山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题一

山东理工大学硕士研究生入学考试《复变函数与积分变换》试题一

一．填空（每空3分，共36分）

1.i i = = .

2.设函数 )3()3()(3223y x y x y i x z f -+-=为解析函数, 则=)('z f

. 3．积分2||5(2cos )z z z e z dz =++=⎰ ，积分=⎰

=1||s i n z z d z

z . 4．设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sin πζζζ3-⎰

z d C ，其中|z|<2，则(1)f '= .

5. 0=z 是e z

z 12的 类型孤立奇点，2Re (,0)z e s z -= .

6．幂级数∑∞=1n n 3n z n 2 的收敛半径是 .

7. 映射 3()f z z =在i z =处的伸缩率为 ，转动角为 .

8. )(2)(2t e t f t j δ-=的付氏变换是 .

二．计算22||4(1)z

z e dz z z =-⎰ . (10分)

三. 把函数1()(1)(2)

f z z z =--分别在圆环域（1）1||0<

四. 计算积分 dx x x

x ⎰+∞∞-++54cos 2.(10分)五. 求将上半平面映射成单位圆

1<ω且满足条件2)(arg ,

0)(π='=i f i f 的分式线性映射.(10分)

六. (,)(cos sin )x v x y e y y x y x y =+++已知为调和函数，求一解析函数(), (0)0.f z u iv f =+=使(12分)

七.求微分方程：1)0(,0)0(32='==-'+''-y y y y y e

t 满足初始条件的

解 .(10分)

一.填空题（每小题3分，共36分）

1. 设i Z --=1 ， 则=ArgZ ,Z 的三角表示为 .

2. =-32i e

π ; 已知2ln i z π=,则=z . 3. =-⎰=dz z z z 1||2)3(cos .

4. ⎰=i

zdz π0sin . 5.幂级数z n n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=1112的收敛半径为 .

6.已知)2(23)(2++=

z z z z f ，则=]0),([Re z f s . 7.)

1(1)(i e z f z +-=的全部孤立奇点为 . 8.分式线性映射i z i z z f +-=

)(在i z =处的旋转角为 ，伸缩率为 .

9.函数t e t u t f 42)(3)(-=的Laplace 变换=)(s F .

二.设)(2323cxy x i y bx ay +++ 为解析函数，求c b a ,,的值。(6分)

三. 将)

1(1)(2-+=z z z z f 分别在圆环域（1）1||0<

四. 求将单位圆1||=z 映成单位圆1||=ϖ，且使i z +=1,1分别映为∞=,1ϖ的分式线性映射.( 8分)

五. 求积分⎰-+=C dz z z z I )

2)(1(13的值，其中C 为.2,1,||≠=r r z (12分). 六. 已知调和函数xy y x y x u +-=22),(，求其共轭调和函数),(y x v 及解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=.(10分)

七.计算积分⎰∞

+∞->+=)0(,)(2222a dx a x x I 的值.（10分） 八. 求微分方程t e x t x t x -=++3)(4)(''' 满足初始条件1)0()0('==x x 的解.（10分）