氢原子量子力学理论
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角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 2
2
Wnl(r)为沿径向在r到r+dr之间发现电子的几率
Wnl (r )dr d d | Rnl (r )Ylm ( , ) |2 r 2 sin drd d
0 0 2 R nl (r )r 2 dr 2
所以，电子的径向分布为
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
定义 Wlm ( , ) 为电子的角分布:
Wlm ( , )d d d | Rnl (r )Ylm ( , ) |2 r 2 sin drd d
0 0
2
| Ylm ( , ) |2 d
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
氢原子系统的轨道角动量的 z 分量 pz m
氢原子的能级和波函数
氢原子的能级 每一组量子数（nlm）对应一个确定的定态 能级只与主量子数 n 有关，与 lm 无关，能级是简并的。
2 ( 2 l 1 ) n 简并度 l 0 n 1
氢原子的轨道角动量 角动量的分量总小于角动量本身 氢原子的定态波函数
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , ) Rnl (r )lm ( )m ( )
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布 电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积： nlm (r ) Rnl (r )Ylm ( , ) 电子的径向分布
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：
1 e2 U 4 0 r
势能函数不显含时间，只需求解定态薛定谔方程
2 2 1 e2 (r ) (r ) E (r ) 2me 4 0 r
2 Rnl (r )r 2 r
- 电子的角分布作图
Ylm ( ,) ,
2
从角度表示电子云在空间的分布规律。
物理意义:
在(,f)附近单位立体角内发现电子的概率 (r从0到∞)
氢原子最低几条能级的归一化径向波函数
n 1, R10 2 a
3/ 2
e
r a r
2 r 2a n 2, R20 1 e 3/ 2 2a 2a
2 2 R ( r ) 0 nl r dr 1
2 r 2a R21 e 3/ 2 2 6a a
r 2 2r 2r 2 3 a 1 e n 3, R30 2 3/ 2 3 3a 3a 27a
由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子ຫໍສະໝຸດ Baidun、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
通常，将 l = 0的态称为s态， l = 1, 2, 3,… 的态依次称为 p, d, f, …态，处于这些态的电子 依次称为s, p, d, f,…电子。
• 电子波函数的径向分布和角分布 - 电子的径向分布作图 从径向表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在半径为r到r+dr的球壳内找到电子的概率
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
2 1 1 1 2 2 r 2 sin 2 r r r sin sin 2
势能具有球对称性，采用球坐标系，这时方程可分离变量
(r, , ) R(r )( )( )
d 2 2 m2 0 d d m2 1 d sin 2 0 d sin sin d 2 2 m 1 d dR e 2 e r 2 E 2R0 2 4 0 r r r dr dr 式中m, 是常数 在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件 (单值、有限、连续)的非零解，
波函数的平方表征了t 时刻，空间(x,y,z)处 粒子出现的概率密度
定态薛定谔方程
如势能函数不是时间的函数,用分离变量法将波函数
写为：
(r , t ) e
iEt /
(r )
定态波函数
得：定态薛定谔方程
2 2 U (r ) (r ) E (r ) 2m
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 2
2
Wnl(r)为沿径向在r到r+dr之间发现电子的几率
Wnl (r )dr d d | Rnl (r )Ylm ( , ) |2 r 2 sin drd d
0 0 2 R nl (r )r 2 dr 2
所以，电子的径向分布为
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
定义 Wlm ( , ) 为电子的角分布:
Wlm ( , )d d d | Rnl (r )Ylm ( , ) |2 r 2 sin drd d
0 0
2
| Ylm ( , ) |2 d
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
氢原子系统的轨道角动量的 z 分量 pz m
氢原子的能级和波函数
氢原子的能级 每一组量子数（nlm）对应一个确定的定态 能级只与主量子数 n 有关，与 lm 无关，能级是简并的。
2 ( 2 l 1 ) n 简并度 l 0 n 1
氢原子的轨道角动量 角动量的分量总小于角动量本身 氢原子的定态波函数
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , ) Rnl (r )lm ( )m ( )
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布 电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积： nlm (r ) Rnl (r )Ylm ( , ) 电子的径向分布
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：
1 e2 U 4 0 r
势能函数不显含时间，只需求解定态薛定谔方程
2 2 1 e2 (r ) (r ) E (r ) 2me 4 0 r
2 Rnl (r )r 2 r
- 电子的角分布作图
Ylm ( ,) ,
2
从角度表示电子云在空间的分布规律。
物理意义:
在(,f)附近单位立体角内发现电子的概率 (r从0到∞)
氢原子最低几条能级的归一化径向波函数
n 1, R10 2 a
3/ 2
e
r a r
2 r 2a n 2, R20 1 e 3/ 2 2a 2a
2 2 R ( r ) 0 nl r dr 1
2 r 2a R21 e 3/ 2 2 6a a
r 2 2r 2r 2 3 a 1 e n 3, R30 2 3/ 2 3 3a 3a 27a
由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子ຫໍສະໝຸດ Baidun、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
通常，将 l = 0的态称为s态， l = 1, 2, 3,… 的态依次称为 p, d, f, …态，处于这些态的电子 依次称为s, p, d, f,…电子。
• 电子波函数的径向分布和角分布 - 电子的径向分布作图 从径向表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在半径为r到r+dr的球壳内找到电子的概率
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
2 1 1 1 2 2 r 2 sin 2 r r r sin sin 2
势能具有球对称性，采用球坐标系，这时方程可分离变量
(r, , ) R(r )( )( )
d 2 2 m2 0 d d m2 1 d sin 2 0 d sin sin d 2 2 m 1 d dR e 2 e r 2 E 2R0 2 4 0 r r r dr dr 式中m, 是常数 在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件 (单值、有限、连续)的非零解，
波函数的平方表征了t 时刻，空间(x,y,z)处 粒子出现的概率密度
定态薛定谔方程
如势能函数不是时间的函数,用分离变量法将波函数
写为：
(r , t ) e
iEt /
(r )
定态波函数
得：定态薛定谔方程
2 2 U (r ) (r ) E (r ) 2m