氢原子量子力学理论
氢原子的光谱线解析与理论解释
氢原子的光谱线解析与理论解释光谱线是物质在光的作用下发出或吸收的特定频率的电磁波。
而氢原子的光谱线解析与理论解释，一直以来都是物理学家们研究的热点之一。
本文将从氢原子的光谱线的观测、解析以及理论解释等方面进行探讨。
首先，我们来看氢原子的光谱线的观测。
早在19世纪初，德国物理学家巴尔末发现了氢原子的光谱线，这一发现为后来的研究奠定了基础。
通过将氢气放电于真空管中，巴尔末观察到了一系列明亮的彩色线条。
这些线条经过仔细测量和分类，被分为了几个系列，分别称为巴尔末系列、帕邢系列和卢瑟福系列。
这些系列中的每一个线条都对应着氢原子在特定能级之间跃迁所产生的光。
接下来，我们来解析氢原子的光谱线。
根据量子力学的理论，氢原子的能级是量子化的，即只能取特定的数值。
这就意味着氢原子在不同能级之间的跃迁所产生的光具有特定的频率和波长。
而这些频率和波长正是观察到的光谱线。
例如，巴尔末系列中的线条对应着氢原子的基态到第一激发态之间的跃迁，帕邢系列对应着第一激发态到第二激发态之间的跃迁，而卢瑟福系列则对应着更高能级的跃迁。
那么，为什么氢原子的能级是量子化的呢？这就涉及到氢原子的理论解释。
根据量子力学的理论，氢原子的能级由薛定谔方程给出。
薛定谔方程是描述微观粒子的波函数演化的方程，通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子的能级和波函数。
而氢原子的能级量子化的原因是由于氢原子中的电子和质子之间的库仑相互作用。
这种相互作用会导致电子在氢原子中的运动受到限制，从而使得电子只能在特定的能级上存在。
此外，氢原子的光谱线还可以通过波尔模型进行解释。
波尔模型是根据经典力学和电磁学的理论，对氢原子的能级和光谱线进行解释的简化模型。
根据波尔模型，氢原子的电子绕着质子作圆周运动，而电子的能级由其运动半径决定。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或发射特定频率的光子，从而产生光谱线。
波尔模型的成功在一定程度上解释了氢原子的光谱线，但它是建立在经典力学和电磁学的基础上，无法解释一些量子效应。
11-26氢原子的量子理论 第26章-例题
例7.多电子原子中，电子的排列遵循（ ）原理和（ ） 原理。 泡利不相容原理和能量最低原理
例8.当氢原子中的电子处在 n 3, l 2, ml 2, m s 1
的状态时，它的轨道角动量为 l ( l 1) 自旋角动量为 1 ( 1 1) 3 2 2 2
例7 试问氢原子处在 n=2 能级时有多少个不同的状 态？在不考虑电子自旋的情况下，对于各个状态，试 按量子数列出它们的波函数。 解： 氢原子的能量本征值 En 只依赖于主量子数 n ； n 确定后角量子数可取 0，1，2，…… (n-1), 共 n个值； 在给定 l 后磁量子数 m 可取 -l, -l+1,…0,…l-1, l, 共（2l+1） 个值； 属任一能级的量子态ψnlm 的数目为 n2。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
Lz 0, , 2 , 3
200 ,
211,
210 ,
211 .
例8 讨论氢原子的 200 , 210 , 211 , 211四个状态的宇称。 解： nlm 的宇称取决于 (1)
l
l 为偶数时为偶宇称; l 为奇数时为奇宇称。 故 ψ200 有偶宇称； ψ210， ψ211，ψ21-1 有奇宇称。
属n=2能级的量子态 共有4。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
200 , 211, 210 , 211.
例2：根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外 磁场方向上的投影为 Lz ml , 当角量子数 l=2时，Lz
的可能取值为何值。 解： 磁量子数取值为 ml l , l 1, 0,, l 1, l
Байду номын сангаас
氢原子的量子力学处理方法
2s
n=2
2p
4
2P 在 几率最大
3p
3s
n=3
3d
3d在
几率最大
9
比较:量子力学与玻尔理论的异同
玻尔理论
量子力学
异:
电子只允许出现在轨道上
r从 电子都可能出现
同:
轨道 r
几率最大处
6.电子的自旋角动量量子化
实验证明，电子存在自旋运动
自旋角动量
n=1,2,3........称为主量子数
当E>0时，R(r)总有解，即E是连续的
3.角动量的量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程（2），（3）才有解
这说明角动量只能取由l 决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的，称l 为副量子数，或角量子数 。
4.空间的量子化
角动量是矢量，其在空间的方位取向是不连续的，而且 L 在 Z 方向的投影值必须满足：
自旋量子数
Z方向投影
自旋磁量子数
总之，描述原子中的电子状态共有四个量
3. 磁量子数
决定电子绕核运动角动量的空间取向
4. 自旋量子数
决定电子自旋角动量的空间取向
1. 主量子数 n=1,2,3..... 决定电子在原子中的能量
2. 角量子数 l=1,2,3.....n-1 决定电子绕核运动的角动量
共 2l+1 个值
空间量子化示意图
0
1
2
3
2
3
1
0
1
2
2
1
0
1
1
l
.
0
l
=
0
l
=
1
l
=
2
l
量子力学：氢原子理论2
w00
w10
w1±1
§20.8 电子的自旋．泡利原理．原子的壳层结构
一．电子的自旋 电子绕核运动形成电流，因而具有 磁矩，称为轨道磁矩 Pm ，它和轨道角动 量 L 的关系为：
e
L
e Pm L 2m
Pm
因为角动量是量子化的，所以磁矩也是量子化
的
因为角动量是量子化的，所以磁矩也是量子化的 斯特恩－盖拉赫实验（1921）
nlm(r, , ) Rnl (r)lm ( )m ( ) Rnl (r)Ylm ( , )
其中： Rnl ( r ) 为径向函数； Ylm ( , ) 为球谐函数
简并度：同一个能级所对应的状态（波函数）称为能级 2 的简并度。氢原子，能级仅与n 有关，简并度：（ n ) 3、讨论： 波函数（空间）的解为： 这里：
目的是：对于任意给定的E 值，找出满足标准条件的 上述方程的解 ( r , , ) ，在求解过程中自然地得 到 E 0 束缚态 一些量子化条件。
令：
ψ(r,θ,) R(r)Θ(θ)Φ() Y ( , )
代入方程，分离变量
sin 2 θ d 2 dR 2m 2 e2 2 (r ) 2 r sin θ(E ) R dr dr 4πε0 r 1 d dΘ 1 d Φ sin θ ( sin θ ) Θ dθ dθ d 2
ms称为自旋磁量子数， ms : s, s 1,...s 1, s
它只能取两个值：
1 ms 2
1 Sz 2
电子除了轨道运动外，还有自旋运动。 关于原子中各个电子的运动状态，量子力 学给出的一般结论是：电子运动状态由四个量 子数决定； n＝1，2，3….它大体上决定了原子中 1）主量子数 n 总结
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的原子轨道能量取决于量子数
氢原子的原子轨道能量取决于量子数在物理学和化学中，氢原子是一个非常重要的模型系统，它有助于我们更深入地理解原子结构和量子力学的基本原理。
氢原子的原子轨道能量是由量子数决定的，这是一个非常重要且深奥的主题。
在本文中，我将从简单的介绍开始，逐渐深入探讨氢原子的量子数及其对原子轨道能量的影响。
1. 起源与基本概念氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单的原子系统。
在氢原子中，电子围绕质子运动，而这种运动的轨道和能量是由量子力学描述的。
量子力学给出了一些特定的量子数，它们决定了氢原子的轨道能量和结构。
2. 主量子数和能级让我们来看看氢原子的主量子数。
主量子数n是一个整数，表示氢原子轨道的主要能级。
主量子数越大，能级越高，能级越高，对应的轨道能量也会越高。
主量子数决定了氢原子轨道的基本能量结构。
3. 角量子数和轨道角动量角量子数l则描述了氢原子轨道的形状。
角量子数l包括0到n-1的整数取值，不同的l对应着不同形状的轨道。
对于给定的主量子数n，轨道角动量和轨道能量是由角量子数决定的。
这样，我们可以看到，角量子数l对氢原子轨道能量的影响是非常明显的。
4. 磁量子数和轨道磁矩除了主量子数和角量子数，磁量子数m还起着重要的作用。
磁量子数描述了轨道在外磁场中的取向，它决定了氢原子轨道的磁矩。
虽然磁量子数对氢原子轨道能量的影响不如主量子数和角量子数明显，但在一些特定情况下，它也是非常重要的。
通过以上简要介绍，我们可以看到氢原子的原子轨道能量确实取决于量子数。
主量子数、角量子数和磁量子数这三个量子数共同决定了氢原子轨道的能量结构，而轨道能量的结构又直接影响着氢原子的化学性质和光谱特性。
从深度和广度的角度来看，氢原子的量子数不仅影响着其轨道能量，还涉及到了原子的化学键、化学反应以及原子光谱等许多方面。
深入理解氢原子的量子数对于理解化学和物理学的基本原理是非常重要的。
总结回顾在本文中，我从氢原子的基本构成和量子力学的基本原理出发，逐步介绍了氢原子的主量子数、角量子数和磁量子数对轨道能量的影响。
氢原子的量子力学
]Θ
=0
（2）
12
用分离变量法解此方程，设解为： = R ( r )Θ (θ )Φ (φ ） ψ （ r,θ ,φ ） 代入方程分别得三个微分方程：
dΦ + m 2 2 lΦ = 0 dt 1 d d Θ l ( l +1) sin [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
2 1 d 2dR 2m e r ( ) + 2 2 [E + h r dr dr 4 π ε r
53
=0
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 ml ] 0 2 = Θ sinθ 在求解上述方程时，得到的解要求 m l l
54
2
值。 1 d sin d Θ l ( l +1) [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
n =4 4s n =5 5s
4p
5p
4d
5d
4f
5f 5g
31
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
n =4 4s n =5 5s n =6 6s
4p
5p
4d
h μ ν
0
β
B
1 E +μ β B l 0 E l E 1 μβ B
0 0 0
l
E0
f
ν
(μ β =
0
ν
0
eB 4π m
玻尔的氢原子理论
玻尔的氢原子理论
为此,J.汤姆孙在1904年提出了原子结构的枣糕式模型.该模型认 为，原子可以看作一个球体，原子的正电荷和质量均匀分布在球内， 电子则一颗一颗地镶嵌其中.1909年，J.汤姆孙的学生卢瑟福为了验证 原子结构的枣糕式模型，完成了著名的α粒子散射实验.实验发现α粒 子在轰击金箔时，绝大多数α粒子都穿透金箔，方向也几乎不变，但 是大约有1/8 000的α粒子会发生大角度偏转，即被反弹回来.这样的 实验结果是枣糕式模型根本无法解释的，因为如果说金箔中的金原子 都是枣糕式的结构，那么整个金箔上各点的性质应该近乎均匀，α粒 子轰击上去，要么全部透射过去，要么全部反弹回来，而不可能是一 些穿透过去，一些反弹回来.
玻尔的氢原子理论
二、 原子结构模型
1897年，J.汤姆孙发现了电子.在此之前，原 子被认为是物质结构的最小单元，是不可分的，可 是电子的发现却表明原子中包含带负电的电子.那 么，原子中必然还有带正电的部分，这就说明原子 是可分的，是有内部结构的.执着的科学家就会继 续追问：原子的内部结构是什么样的？简洁的里德 伯光谱公式是不是氢原子内部结构的外在表现？
玻尔的氢原子理论
三、 玻尔的三点基本假设
为了解决原子结构有核模型的稳定性和氢原子光谱的分 立性问题，玻尔提出以下三个假设：
（1）定态假设.原子中的电子绕着原子核做圆周运动， 但是只能沿着一系列特定的轨道运动，而不能够任意转动， 当电子在这些轨道运动时，不向外辐射电磁波，原子系统处 于稳定状态，具有一定的能量.不同的轨道，具有不同的能 量，按照从小到大的顺序记为E1、E2、E3等.
玻尔的氢原子理论
可是这个模型却遭到很多物理学家的质疑.因为按照当时的物 理理论（包括经典力学、经典电磁理论及热力学统计物理），这 样一个模型是根本不可能的，原因有以下两个：
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
氢原子能级能量大小-概述说明以及解释
氢原子能级能量大小-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：氢原子能级能量大小是研究原子结构和原子能级间相互作用的重要内容之一。
在物理学和化学领域，氢原子被广泛地用作理论模型，以帮助我们理解更复杂的原子和分子系统。
氢原子能级能量的计算和研究可以揭示原子的量子行为，从而推进我们对于一系列物理现象的认识。
氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单的原子系统。
这个简单的系统具有许多特殊性质，使得它成为研究原子性质的理想模型。
氢原子中的能级是指电子在不同的轨道上的能量状态，它们决定了原子的化学和物理性质。
了解氢原子能级能量大小的计算方法对我们理解原子的基本结构和相互作用至关重要。
计算氢原子能级能量的方法主要基于量子力学的理论框架。
根据波尔模型，氢原子能级的能量与电子的轨道半径有关。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子的波函数和能级能量。
这些能级被标记为n=1，2，3，…，对应于不同的轨道半径和能量大小。
研究氢原子能级能量大小的结果具有广泛的应用和意义。
首先，它可以帮助我们理解原子光谱现象，即原子在光的作用下吸收或发射光的特定频率。
其次，了解氢原子能级能量的分布可以为化学反应提供基础，因为反应的发生往往涉及到能级之间的跃迁和能量的变化。
最后，在光谱学、量子力学和材料科学等领域，研究氢原子能级能量大小的结果为我们设计新材料和制造新器件提供了重要参考。
综上所述，氢原子能级能量大小的研究对于我们深入理解原子的量子行为和相互作用具有重要意义。
通过计算和分析能级能量，我们可以揭示原子的基本结构，并将其应用于各个领域的科学研究和技术发展中。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行论述，分别是引言、正文和结论。
引言部分将对整篇文章进行概述，介绍氢原子能级能量大小的研究背景和重要性。
本部分还将介绍文章的结构和组织方式，为读者提供一个整体的认知框架。
正文部分是本文的核心内容，将详细阐述氢原子能级的定义、重要性以及能级能量的计算方法。
波尔的氢原子理论
2 卢瑟福的核式模型
卢瑟福1871年8月13日出生在 新西兰，1894年大学毕业，1895年 到 英 国 剑 桥 大 学 学 习 ， 成 为 J.J. 汤 姆孙的研究生。1908年卢瑟福荣获 诺贝尔化学奖，同年在曼切斯特大 学任教，继续指导他的学生进行 粒子散射的实验研究。
卢瑟福的α粒子散射验证了核式模型。
19-1 波尔的氢原子理论
量子物理起源于对原子物理的研究，人们从高能粒子的 散射实验和原子光谱中获得原子内部信息。
3
4
一 玻尔理论的实验基础
1 汤姆逊葡萄干面包模型
1903年，汤姆孙提出原子结构模 型：原子里面带正电的部分均匀地 分布在整个原子球体中，而带负电 的电子镶嵌在带正电的球体之中。 带正电的球体与带负电的电子二者 电量相等，故原子不显电性。
5 6 普芳德（Pfund）系
区域 紫外 可见 可见 红外 红外
此后又发现碱金属也有类似的规律。
日期 1906年 1880年 1908年 1922年 1924年
3 里兹并合原理
~ T(m α) T(n β)
R
光谱项 ： T(m) (m )2
R
T (n) (n )2 10
三 经典电磁理论遇到的困难
6
粒子散射
4 2
H
e
,
q 2e, 原子量为4，m 7500me
粒子束射向金箔：
-
(1) 多数 0
+
（2）少数 较大
1 / 8000被反射，
（3）极少数 ，反弹
大部分透过。
7
1911年，卢瑟福提出原子的 “有核结构模型”
原子的核式模型
原子由原子核和核外电子 构成，原子核带正电荷，占据 整个原子的极小一部分空间， 而电子带负电，绕着原子核转 动，如同行星绕太阳转动一样。
第六节 量子力学对氢原子的描述(原子物理中的)
Y
Z
对于p态 l 对于 态(l=1,m=0,±1） ± ρy
3 = 3 cos2 θ cos θ ω10 = 4π 4π
2
X
X Y
2
Z
X
Z
ω11 = Y 11
2
3 3 2 iϕ sinθe = sin θ = 8π 8π
2
ρx
Z
X
Y
Z
ω1−1 = Y1−1
2 2 2 0 ∞
π 2π
0 0
∫
Y(θ,ϕ) sin θdθdϕ
2
∞
∫R
0
π
2 nl
(r)r dr =1
2
2Z (n −l −1)! Cnl = − na 2n[(n +l)!]3 0
3
1 2
2 n
l
∫ Θlm(θ) sin θdθ =1
x= r sinθcosϕ θ ϕ
cosθ = z/r θ tgϕ = y/x ϕ r2=x2+y2+z2
将上三式写成球极坐标形式： 将上三式写成球极坐标形式：
ˆ L x = i h (sin ˆ L
y= r sinθsinϕ θ ϕ z= r cosθ θ
ϕ
∂ ∂ + cot θ cos ϕ ) ∂ϕ ∂θ ∂ ∂θ
H χ Hδ
4341 4102
波长埃
巴尔末线系的前4 巴尔末线系的前4条谱线
氢光谱
证明存在能级的实验
原子的线状光谱 夫兰克——赫兹实验 夫兰克——赫兹实验
2）角动量 ）
将上式写成分量算符的形式
ˆ = y p − zp = − ih ( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx ∂y ∂z
氢气的普朗特数
氢气的普朗特数
普朗特数是一种描述氢气的物理量，它是氢原子的普朗特常数与氢原子的质量比之积。
在量子力学中，普朗特数是描述氢原子的能级结构的重要参数之一。
普朗特数的定义是通过以下公式得到的：
P = m * H / h
其中，P代表普朗特数，m代表氢原子的质量，H代表氢原子的普朗特常数，h代表普朗克常数。
氢原子的质量m约等于1.67×10^-27千克，普朗特常数H约等于2.18×10^-18焦耳。
而普朗克常数h约等于6.63×10^-34焦耳·秒。
通过上述数值代入公式，可以计算出氢气的普朗特数。
根据计算结果可知，氢气的普朗特数约等于3.29×10^15。
普朗特数的意义在于描述了氢原子在能级结构中的行为。
根据量子力学的理论，氢原子的能级是离散的，而且能级之间存在
着固定的能量差。
普朗特数可以帮助我们理解这些能级之间的关系。
普朗特数越大，说明氢原子的能级结构越复杂。
在实际应用中，普朗特数被广泛应用于研究原子和分子的能级结构，以及相关的光谱学和量子力学问题。
除了在科学研究中的应用，普朗特数还有一些实际的应用价值。
例如，在光谱学中，普朗特数可以被用来解释氢原子光谱线的出现规律，从而帮助科学家研究和理解物质的性质。
此外，普朗特数还可以用来计算氢原子的基态能级和激发态能级之间的跃迁概率。
这对于研究原子和分子在光照射下的行为具有重要意义。
总而言之，氢气的普朗特数是描述氢原子能级结构的重要物理量。
它可以帮助我们理解氢原子在量子力学中的行为，并且在科学研究和实际应用中具有广泛的应用价值。
《氢原子的量子理论》课件
2 自旋标度符号
解释自旋标度符号和自旋 的相对性质，以及它们在 波函数描述中的作用。
3 自旋磁量子数
探索氢原子自旋磁量子数 和简并度，及其对态的能 量和性质的影响。
结论
1 氢原子量子理论的应用
总结氢原子量子理论在原子物理和量子力学研究中的重要应用和意义。
2 未来研究方向
探讨氢原子量子理论未来可能的发展方向和研究领域。
讨论氢原子能级的计算方法和能量本征值的物理意义。
2
能级简并
解释氢原子能级简并现象的原因和如何计算简并度。
3
能量本征函数
介绍氢原子的能量本征函数及其在波函数中的应用。
氢原子的辐射
发射光谱
吸收光谱
探索氢原子的发射光谱现象，解 释辐射能级跃迁和光谱线的产生。
讲解氢原子的吸收光谱，如何分 析和应用能级的吸收特性。
3 社会意义
思考氢原子量子理论对社会和技术的影响，以及潜在的实际应用。
氢原子的波函数
讨论氢原子的波函数表达和 意义，以及如何计算和解释 波函数。
氢原子的波函数
1 主量子数
介绍氢原子主量子数及其在波函数中的作用和意义。
2 角量子数
解释氢原子角量子数的概念和用途，以及与轨道形状的关系。
3 磁量子数
探讨氢原子磁量子数的含义和作用，以及在磁场中的行为。
氢原子的能级
1
能量本征值
等相球面模型
介绍氢原子的等相球面模型，解 释电子在不同能级之间的跃迁规 律。
氢原子的旋磁量子数
1定则和跃迁的概率。
2 符号约定
解释氢原子量子数的符号约定，如何表示和计算旋磁量子数。
3 柯塞特定理
介绍柯塞特定理和它在解析解中的应用，以及旋转对称性的影响。
量子力学课件(9)(氢原子)
（2）波函数及其能级的简并度
1.氢原子的波函数
n =1
2 R10 = a3/ 2 e−r / a
n=2 R20 (r) = 2( R21(r) = ( n =3 R30 (r) = 2( R31(r) = (
1 3/2 3a 1 3/2 2a
)
(2 − r)e
1 a
− 21a r
1 1 3/2 1 r − 2a r 2a 3 a
F1
1.0
0.8
0.6
w(r)
0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10
r/a
0.6
F1 F2
0.5
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
r/a
0.6
0.5
1s 2s 3s
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
线系的理论解释。 即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
电子在原子内部运动形 成了电流， 成了电流，其电流密度 代入 球坐标 中梯度 表示式
ψ nlm = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
原子处 于定态
r r ih J e = − eJ = − e [ψ nlm ∇ ψ nlm * −ψ nlm * ∇ ψ nlm ] 2µ
)
e
)
[1−
2 r 3a
r + ( ) ]e
2 r 2 27 a
−31a r
近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。
量子力学课件(9)(氢原子)
类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+, Li++, Be+++ 等）也 都适用，只要把核电荷 +e 换成 Ze，μ 换成相应 的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：
En
e4 Z 2
2
2
n
2
n 1, 2,3,
即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
21a r
3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei 3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei
假设存在
(r, , ) R(r )Ylm ( , )
代入上式，可以化解为一个径向的常微分 方程：
1 2 l (l 1) 2 e2 [ r ]R(r ) ER(r ) 2 2 2me r r 2me r 4 0r
2
对于E〈0的情形，常微分方程的本征函数 和本征值有解析解，详细见附录C
Z
z
y
x z
例3. = 1, m = 0 时，W1,0() = {3/4π} cos2。正好与例2相反，在 = 0时，最大； 在 =π/2时，等于零。
y
x
m = +2
m = +1
m=0
=2
m = -2
m = -1
11.5 波函数
T=0时，氢原子被制备在本征态：
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
氢原子的量子力学研究进展
氢原子的量子力学研究进展近年来，量子力学在科学研究中扮演着越来越重要的角色。
作为量子力学研究的一个重要对象，氢原子一直是科学家们关注的焦点。
在过去的几十年里，氢原子的量子力学研究取得了许多重要的进展，为我们进一步理解量子世界提供了重要的线索。
1. 氢原子的波动性质在量子力学中，粒子的波动性质是其中一个核心概念。
氢原子作为一个简单的体系，其波动性质得到了深入的研究。
科学家发现，氢原子的电子不仅具有粒子性，还表现出波动性。
这种波动性反映在电子的波函数中，描述了电子在不同位置上的概率分布。
通过数学模型的建立和实验证明，氢原子电子的波函数具有离散的能级，即电子只能处于特定的能量状态下。
这些能量状态由主量子数（n）、角量子数（l）、磁量子数（m）等参数决定。
氢原子的波函数的解析解为球谐函数，它们描述了不同的波动模式和电子空间分布。
2. 氢原子的激发态与光谱氢原子不仅存在于基态，还可以被激发到高能态。
这些激发态可以通过吸收或发射光子的方式与基态之间发生能量的转换。
这种能量转换可通过氢原子的光谱来观察和解释。
科学家们通过对氢原子的光谱进行观察和分析，发现了许多重要的规律和现象。
例如，巴尔末系列和派兹明系列是氢原子在可见光区域的光谱线，其频率与能级之间的差别遵循一定的规律。
通过这些光谱线，科学家可以得到氢原子不同能级之间的能量差，从而进一步研究其内部结构和量子力学性质。
3. 氢原子的量子隧穿效应量子隧穿是量子力学中一个重要的现象，描述了粒子在经典物理上不可能出现的情况。
氢原子的量子隧穿效应在研究中得到了广泛的关注。
科学家们发现，当氢原子的波函数遇到势能垒时，波函数并不完全消失，而是以很小的概率透过势垒，并在另一侧重建波函数。
这种现象被称为量子隧穿，是经典物理学无法解释的。
通过量子隧穿效应的研究，科学家们不仅深入理解了氢原子的波动特性，还在其他领域中发现了类似的现象。
例如，量子隧穿在分子物理和固体物理的研究中也起到了重要的作用。
氢原子薛定谔方程
氢原子薛定谔方程介绍薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
在氢原子中，薛定谔方程被广泛应用于描述电子在氢原子中的运动。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程的内容。
氢原子的结构氢原子由一个质子和一个电子组成。
质子带正电荷，电子带负电荷，两者之间形成了一个静电力场。
电子在这个静电力场中运动，其行为可以用薛定谔方程来描述。
薛定谔方程的形式薛定谔方程可以写为：Ĥψ=Eψ其中，Ĥ是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
波函数的解释波函数ψ描述了电子在空间中的分布情况。
根据波函数的模的平方|ψ|2，可以得到电子在不同位置上的概率密度分布。
波函数本身是复数，其实部和虚部分别表示了不同的物理量。
分离变量法对于氢原子，可以使用分离变量法来求解薛定谔方程。
假设波函数可以写成一个径向部分和一个角向部分的乘积形式：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)⋅Y(θ,ϕ)将波函数代入薛定谔方程，并对两个变量r和θ,ϕ分别进行分离变量，可以得到一系列关于r的径向方程和关于θ,ϕ的角向方程。
径向方程的求解径向方程可以写为：1 r2ddr(r2dRdr)+[2mℏ2(E−e24πε0r)−l(l+1)r2]R=0其中，m是电子的质量，ε0是真空介电常数，l是角量子数。
径向方程的解是球贝塞尔函数和球贝塞尔函数的导数的线性组合。
角向方程的求解角向方程可以写为：1 sinθddθ(sinθdYdθ)+[l(l+1)−m2sin2θ]Y=0其中，m是磁量子数。
角向方程的解是球谐函数。
能级和轨道通过求解径向方程和角向方程，可以得到一系列解。
每个解对应一个能级和一个轨道。
能级是电子的能量，轨道描述了电子在空间中的运动。
数值求解和定态波函数对于复杂的情况，无法通过解析方法得到薛定谔方程的解。
此时可以使用数值方法进行求解，例如使用数值计算软件。
通过数值求解可以得到氢原子的定态波函数。
结论氢原子薛定谔方程是描述氢原子中电子行为的基础方程。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子的能级和轨道。
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由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：
1 e2 U 4 0 r
势能函数不显含时间，只需求解定态薛定谔方程
2 2 1 e2 (r ) (r ) E (r ) 2me 4 0 r
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
氢原子系统的轨道角动量的 z 分量 pz m
氢原子的能级和波函数
氢原子的能级 每一组量子数（nlm）对应一个确定的定态 能级只与主量子数 n 有关，与 lm 无关，能级是简并的。
2 ( 2 l 1 ) n 简并度 l 0 n 1
氢原子的轨道角动量 角动量的分量总小于角动量本身 氢原子的定态波函数
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , ) Rnl (r )lm ( )m ( )
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布 电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积： nlm (r ) Rnl (r )Ylm ( , ) 电子的径向分布
2 1 1 1 2 2 r 2 sin 2 r r r sin sin 2
势能具有球对称性，采用球坐标系，这时方程可分离变量
(r, , ) R(r )( )( )
d 2 2 m2 0 d d m2 1 d sin 2 0 d sin sin d 2 2 m 1 d dR e 2 e r 2 E 2R0 2 4 0 r r r dr dr 式中m, 是常数 在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件 (单值、有限、连续)的非零解，
通常，将 l = 0的态称为s态， l = 1, 2, 3,… 的态依次称为 p, d, f, …态，处于这些态的电子 依次称为s, p, d, f,…电子。
• 电子波函数的径向分布和角分布 - 电子的径向分布作图 从径向表示电子云在空间的分布规律。
物理意义: 在半径为r到r+dr的球壳内找到电子的概率
2 2 R ( r ) 0 nl r dr 1
2 r 2a R21 e 3/ 2 2 6a a
r 2 2r 2r 2 3 a 1 e n 3, R30 2 3/ 2 3 3a 3a 27a
定义 Wlm ( , ) 为电子的角分布:
Wlm ( , )d d d | Rnl (r )Ylm ( , ) |2 r 2 sin drd d
0 0
2
| Ylm ( , ) |2 d
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
波函数的平方表征了t 时刻，空间(x,y,z)处 粒子出现的概率密度
定态薛定谔方程
如势能函数不是时间的函数,用分离变量法将波函数
写为：
(r , t ) e
iEt /
(r )
定态波函数
得：定态薛定谔方程
2 2 U (r ) (r ) E (r ) 2m
2 2
2
Wnl(r)为沿径向在r到r+dr之间发现电子的几率
Wnl (r )dr d d | Rnl (r )Ylm ( , ) |2 r 2 sin drd d
0 0 2 R nl (r )r 2 dr 2
所以，电子的径向分布为
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
2 Rnl (r )r 2 r
- 电子的角分布作图
Ylm ( ,) ,
2
从角度表示电子云在空间的分布规律。
物理意义:
在(,f)附近单位立体角内发现电子的概率 (r从0到∞)
氢原子最低几条能级的归一化径向波函数
n 1, R10 2 a
3/ 2
e
r a r
2 r 2a n 2, R20 1 e 3/ 2 2a 2a