16-2平面简谐波 波动方程

2π x1 即 y = Acosω t λ 上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率ω 上式代表 作简谐运动。 作简谐运动。 y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是 的函数。 一定。 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
2π x 即 y = Acosω t1 λ
y /cm
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1
M2
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm
t=0
波动方程的推导
y /cm
由波形曲线图可看出： 解 由波形曲线图可看出： 0.5 0.4 (1) A=0.5cm； (2) λ=40cm； (3)由波速公式计算出 (3)由波速公式计算出
3 3
波动方程的推导
可见此点的振动相位比原点落后， 可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 π 2，或 落后 T 4，即2×10-5s。 。 (4)该两点间的距离 (4)该两点间的距离 x = 10 cm = 0.10 m = λ 4 ，相应 的相位差为
25 × 103π t π m y = 0.1 × 10 cos 2
解
棒中的波速
u=
Y
1.9 × 1011 N m 2 = = 5.0 × 103 m/s 3 3 ρ 7.6 × 10 kg m
u 5.0 × 103 m s 1 波长 λ = = = 0.40 m 3 1 v 12.5 × 10 s
波动方程的推导
周期 T = 1 v = 8 × 10 s (1)原点处质点的振动表式 (1)原点处质点的振动表式 y0=Acosω t=0.1×10-3cos(2π×12.5×103t)m =0.1×10-3cos25×103πt m (2)波动表式
= 2 1 = 2π
x、t 都变化。 都变化。
x2 x1
λ
= 2π
x
λ
实线： 时刻波形；虚线 虚线： 实线：t1 时刻波形 虚线：t2 时刻波形
y
r u
x
x=u t 波的传播
平面简谐波的波动表式
x 当t=t1时，y = A cos ω t1 + φ0 u
x 当t= t1+t时， y = A cos ω t1 + t + φ0 时 u
0.2 0 0.2
M1
M2
a
10 20
b
30 40 50 60 70
0.4 0.5
x /cm
u=
Hale Waihona Puke F3.6 N = = 12 m/s 3 1 25 × 10 kg m
(4)波的周期 (4)波的周期
0.4 m 1 T= = = s 1 u 12 m s 30
λ
波动方程的推导
(5)质点的最大速率 (5)质点的最大速率
平面简谐波
1.平面简谐波的波动表式
平面简谐行波， 平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的 正方向传播， 正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，取O 轴的原点。 点处质点的振动表式为 作为x 轴的原点。O点处质点的振动表式为
y0 (t ) = A cos(ω t + φ0 )
y
P
2π 2π 2 = 0.5 × 10 × m/s = 0.94 m/s vm = Aω = A 1 30 T
(6)a、 两点相隔半个波长 两点相隔半个波长， 点处质点比 点处质点比a点处质点 (6) 、b两点相隔半个波长，b点处质点比 点处质点 的相位落后π 。 (7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已 时的波形如下图中实线所示，波峰 (7) 时的波形如下图中实线所示 ' 分别右移3λ 4 而到达 M 1 和 M 2 处。 '
yP (t ) = A cos[ω (t t ') + φ0 ]
平面简谐波的波动表式
x 因 t' = u
yP (t ) = A cos ω
t x + φ 0 u
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程 波动方程。 此即所求的沿 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。 利用关系式 ω = 2π T = 2πγ 和 uT = λ，得
波动方程的推导
σ + σ x S = σ Sx 体积元所受合力： σS + 体积元所受合力： x x 其振速为v， 体积元质量为 ρ S x ， 其振速为 ， 据牛顿第二定 律，得 σ v σ v Sx = ρSx =ρ x t x t y y —协变 协变 杨氏模量 因 σ =Y Y—杨氏模量 x x y 牛顿第二定律变为： 利用 v = ，牛顿第二定律变为： t 2 y 1 2 y = 2 x Y ρ t 2
得到
2 y x 2 = Aω cosωt + φ0 , 2 t u
y ω x = A 2 cosωt + φ0 , 2 x u u
2 2
2 y 1 2 y = 2 2 2 x u t
平面波的波动 微分方程
任何物理量y 若它与时间、 任何物理量 ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。 则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
将 y = A cos[ω (t x u ) + φ0 ] 求导后代入微分方程后 可知， 时等式成立。 可知，当 u = Y / ρ 时等式成立。 细长棒中传播的纵波的波速为 u = Y 按照偏微分方程理论， 按照偏微分方程理论，方程
2 y 1 2 y = 2 2 2 x u t
ρ
3
φ = π 2
3
(5)t=0.0021s时的波形为 时的波形为 (5)
0.0021 x m y = 0.1 × 10 cos 25 × 10 π 3 5 × 10 = 0.1 × 10 3 sin 5πx m
3
式中x以 计 式中 以m计。
波动方程的推导
例题16-4 一横波沿一弦线传播。设已知 =0时的波形曲线如 一横波沿一弦线传播。设已知t 时的波形曲线如 例题 下图中的虚线所示。弦上张力为3.6N，线密度为 下图中的虚线所示 。 弦上张力为 ， 线密度为25g/m，求 ， (1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点 振幅， 波长 波长， 波速 波速， 波的周期 波的周期， 弦上任一质点 振幅 的最大速率， 图中 图中a、 两点的相位差 两点的相位差， 的最大速率，(6)图中 、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲 时的波形曲 线。
r u
O
x
x
平面简谐波的波动表式
y
r u
P
O
x
x
考察波线上任意点P， 点振动的相位将落后于 考察波线上任意点 ，P点振动的相位将落后于O点。 传到P所需的时间为 所需的时间为t 在时刻 在时刻t， 点处质点 若振动从O 传到 所需的时间为 ′，在时刻 ，P点处质点 的位移就是O 点处质点在t – t′时刻的位移，从相位来说， 点处质点在 时刻的位移，从相位来说， 时刻的位移 P 点将落后于O点，其相位差为ω t′。 。 P点处质点在时刻 的位移为： 点处质点在时刻t 的位移为： 点处质点在时刻
时刻，对应的位移用 表示， 在t1和t1+t时刻 对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则 时刻
y ( t1 )
x(1) = A cos ω t1 + φ0 u
x( 2 ) = A cos ω t1 + t + φ0 u
y ( t 1 + t )
平面简谐波的波动表式
令x(2)=x(1)+ut，得 得
y ( t 1 + t )
x(1) + ut = A cos ω t1 + t + φ0 u x(1) = A cos ω t1 + φ 0 = y ( t1 ) u
时间内, 在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动了 ，波速 Δx=x(2)-x(1)=ut，波速u 是整个波形向前传播的速 = 度。 有时也称相速度 相速度。 波速u 有时也称相速度。
为纵坐标、 为横坐标，得到一条余弦曲线， 以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线， 它是t 它是 1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图 波形图)。 所构成的波形曲线 波形图 。
y
r u
A
x
λ
平面简谐波的波动表式
沿波线方向，任意两点 的简谐运动相位差为： 沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
波动方程
在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收 在三维空间中的一切波动过程， 且各向同性，都适合下式： 且各向同性，都适合下式：
2ξ 2ξ 2ξ 1 2ξ + 2+ 2 = 2 2 2 x y z u t
ξ 代表振动位移 代表振动位移。
2 (rξ ) 1 2 (rξ ) 球面波的波动方程： 球面波的波动方程： = 2 2 r u t 2
§16-2 平面简谐波 波动方程 16平面简谐波传播时， 平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 传播时 率的简谐波动，在任一时刻， 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。 们离开各自的平衡位置有相同的位移。 波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 波动方程： 化关系。 化关系。
5
y = A cos ω (t x u )
3
t x m = 0.1 × 10 cos 25 × 10 π 3 5 × 10 式中x 式中 以m计，t 以s 计。 计
3
(3)离原点 (3)离原点10cm处质点的振动表式 离原点 处质点的振动表式
t 1 m y = 0.1 × 10 cos 25 × 10 π 4 5 × 10
t x y( x, t ) = A cos 2π + φ0 T λ
x y( x, t ) = A cos 2π γ t + φ0 λ
y( x, t ) = Acos(ω t k x + φ0 )
其中 k = 2π λ
平面简谐波的波动表式
波动表式的意义： 波动表式的意义： x 一定。令x=x1，则质点位移 仅是时间 的函数。 一定。 则质点位移y 仅是时间t 的函数。
球面波的余弦表式如下： 球面波的余弦表式如下：
a r ξ = cos ω t + φ0 r u
a r ——振幅 振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、 设固体细长棒的截面为 、密度为ρ
a
b
O
x x + x
y
y + y
x
O
a'
b'
x
x
体积元ab，其原长为 其原长为x，体积为 体积为V=Sx。 体积元 其原长为 体积为 σ a 处胁强σ b 处胁强 σ + x
的一般解为 ：
t x + Φ t + x y = F u u
波动方程的推导
例题16-3 频率为ν=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒 例题 的平面余弦纵波沿细长的金属棒 传 播 ， 棒 的 杨 氏 模 量 为 Y =1.9×1011N/m2 ， 棒 的 密 度 ρ × =7.6×103kg/m3 。 如以棒上某点取为坐标原点 ， 已知原点处质 如以棒上某点取为坐标原点， × 点振动的振幅为A 原点处质点的振动表式， 点振动的振幅为 =0.1mm，试求 ， 试求:(1)原点处质点的振动表式， 原点处质点的振动表式 (2)波动表式 ， (3)离原点 波动表式， 离原点 离原点10cm处质点的振动表式 ， (4)离原点 处质点的振动表式， 离原点 波动表式 处质点的振动表式 20cm 和 30cm 两 点 处 质 点 振 动 的 相 位 差 ， (5) 在 原 点 振 动 0.0021s时的波形。 时的波形。 时的波形
平面简谐波的波动表式
沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式 y
r u
o
P
x
x
O 点简谐运动方程： 点简谐运动方程：
y0 = Acos[ω t + φ0 ]
P 点的运动方程为 点的运动方程为：
ω(t + x) + φ y = Acos(ω t + ω τ + φ0 ) = Acos 0 u
2.波动方程 的二阶偏导数, 对y = Acos[ω(t x u) + φ0 ] 求x 、t 的二阶偏导数