第1讲：定义新运算(一)

定义新运算

1.规定，符号”〇”表示选择两数中较大数的运算，如：5〇9 = 9 ．符号”△”表示选择两数中

较小数的运算，如：3△2=2．请计算：(65∆27) ⨯ (15O4) + (45O23) ⨯ (14∆25)

2.设a △b =a ⨯a - 2 ⨯b ，那么，5△6= ，(5△2)△3= ．

3.规定a b =(a +b)⨯(b -a)，其中a 、b 都是自然数，b >a ．求：5 8 ；14

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4.两个数A 和B ，A 除以B 的余数记为：A -B ．例如，14 - 5 = 4 ，5 -11 = 5 ，12 - 4 = 0 ．计算：(26 - 9) - 4 ．

5.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算．例如：5 3 = 3 5 = 5 ，符号表示选

⑵求4 6 +(6 10) 5 的值

6.设m 、n 是两个数，规定：m ※n= 4⨯n - (m +n) ÷ 2 ，这里“×，+，一，÷”是通常

的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“※”是新的运算符号，计算：

3※(4※6)= ．

(2 3)

7.规定表示的运算如下，a b = 8⨯a -b ，计算：⑴(4 2) 3 ；⑵4

8.有A 、B 、C 、D 四种计算装置，装置A ：将输入的数乘以5；装置B ：将输入的数加3；装置C ：将输入的数除以4；装置D ：将输入的数减6．这些装置可以连结，如装置A 后面连结装置B ，写成A ·B ，输入4，结果是23；装置B 后面连结装置A 就写成B ·A ，输入4，结果是35．

⑴装置A ·C ·D 连结，输入28，结果是多少？

⑵装置D ·C ·B ·A 连结，输入什么数结果是115？

9.设a ※b 表示a 的3 倍减去b 的2 倍，即a ※b = 3a - 2b ，例如，当a =6，b =5 时，6※5 = 3⨯ 6 - 2 ⨯ 5 = 8 ．已知：x ※(4※1)=7，求：x ．

10.定义新运算：已知：※满足4※1=15，5※4=21，4※5=11，8※16=48，

那么：10※9=（）

11. x, y 表示两个数，规定新运算“※”及”△”如下：x ※ y =mx +ny ，x △ y =kxy ，其中m ，n ，k 均为自然数，已知1※2=5，(2※3)△4=64，求(1△2)※3 的值．

12.若规定a *b=a +b ÷a ，那么(1*2) *3= ．

13.（一个特殊的计算器上面有个“※”键，当计算器上显示的数是a时，按一下“※”键后，计算器上的a 立刻消失并显示一个新数2a + 1 ．现在这个计算器上显示5，那么连续按“※”键次后，会显示95；接着再按“※”键4 次，计算器上显示的数将是．

14. （” 祖冲之杯” 数学邀请赛）对整数A 、B 、C ，规定符号

3

A

B C 等于

A⨯B +B ⨯C -C ÷，例如：

2

χ 4

=28，那么x = ．

6 = 3⨯5 + 5⨯6 - 6 ÷3 =15 + 30 - 2 = 43 ，已知：

15.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊．所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼．所以我们规定另一种运算，用符号☆表示，羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆ 羊=羊；狼☆狼=狼．这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了．对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算．运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

答案：

1. 解析：(65∆27) ⨯ (15O4) + (45O23) ⨯ (14∆25) = 27 ⨯15 + 45⨯14 = 405 + 630 = 1035

2. 解析：⑴5△6 = 5⨯ 5 - 2 ⨯ 6 = 13

⑵5△2 = 5 ⨯ 5 - 2 ⨯ 2 = 21，21△3 = 21⨯ 21- 6 = 435

3.解析：5 8 =(5 + 8)⨯(8 - 5)=13⨯3 = 39 ，14 20 =(14 + 20)⨯(20 -14)= 34⨯ 6 = 204

4. 解析：26 - 9 = 8 ，8 - 4 = 0 ，所以(26-9)-4=0．

5. 解析：⑴ (10 8 - 6 5)⨯(11 3 -10 8)=(8 - 5)⨯(11-10)= 3⨯1 = 3

⑵4 6 +(6 10) 5 = 6 +10 5 = 6 + 5 =11

6. 解析：3※(4※6)=3※ [4 ⨯ 6 - (4 + 6) ÷ 2] = 3※19 = 4 ⨯19 - (3 +19) ÷ 2 = 76 -11 = 65

7. 解析：⑴(4 2) 3 =(8⨯4 - 2) 3 = 30 3 = 8⨯30 -3 = 237

⑵4 (2 3)= 4 (8⨯2 -3)= 4 13 = 8⨯4 -13 =19

8. 解析：⑴ (28⨯5) ÷4 - 6 = 29⑵(115÷5 -3)×4+6= 86

9. 解析：4※1 = 4 ⨯3 -1⨯2 =10 ，x ※10=7．即3x -10 ⨯2 = 7 ，所以x = (10⨯2 + 7) ÷3 = 9

10.解析：这个运算其实就是运算前项的平方减去后项．如第一个式子：4 ⨯ 4 -1 = 15 ，

后面也一样．所以10※9=10 ⨯10 -9 = 91 ．

11.解析：我们要先求出m ，n ，k 的值．因为1※2 =m ⨯1+n ⨯ 2 =m + 2n ，

所以有m + 2n = 5 ．又因为m ，n 均为自然数，所以解出：

①当m = 1, n = 2 时：

(2※3)△4=( 1⨯2+2⨯3 )△4=8△4 =k⨯8⨯4=32k，有32k64=，解出k = 2 ．

②当m = 3, n = 1时：

(2※3)△4=( 3⨯ 2 +1⨯ 3 )△4=9△4 =k ⨯ 9 ⨯ 4 = 36k ，求不出自然数k .

③当m = 5, n = 0 时：

(2※3)△4=( 5 ⨯ 2 + 0 ⨯ 3 )△4=10△4 =k ⨯10 ⨯ 4 = 40k ，求不出自然数k .

所以m = 1, n = 2, k = 2．

(1△2)※3=( 2 ⨯1⨯ 2 )※3=4※3 = 1⨯ 4 + 2 ⨯ 3 = 10 ．

12. 解析：1* 2 = 1+ 2 ÷1 = 3 ，3* 3 = 3 + 3 ÷ 3 = 4 ．

13. 解析：2 ⨯ 5 +1 = 11，2 ⨯11+1 = 23 ，2 ⨯ 23 +1 = 47 ，2 ⨯ 47 +1 = 95 ．这时已按4 次．接着再按4 次，分别显示2 ⨯ 95 +1 = 191 ，2⨯191+1 = 383 ，2⨯ 383 +1 =767 ，2⨯ 767 +1 = 1535 ．即按4 次键，显示95．再按4 次，显示1535．

14.解析：2x + 4x - 4 ÷ 2 = 28

6x = 30

x = 5

15. 解析：因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼，无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式=狼．