函数值域求法大全

解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得 u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；
故值域是y ∈〔1/2,+∞).
(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2, 且u>0, 故y=log1/2u的定义域为（0，2]上 的减函数， 即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。
例7 求下列函数的值域：
左 边 1 3 1 0故y 1
2
2
当2 y 1 0即y 1 时，因x R，必有 2
（2 y 1）2 （4 2 y 1）（3 y 1） 0
得 ：3 y 1
10
2
综 上 所 述 ， 原 函 数 的 值域 为y [ 3 ，1） 10 2
解法2：（函数的单调性法）
Q
y
2(
当a=3,b=3时取等号，
故ab ∈〔9，+∞）.
例5 求下列函数的值域：
(1) y 5 x 3x 1;
(2) y x 2 4 x2 ;
分析：带有根式的函数，本身求值 域较难，可考虑用换元法将其变形， 换元适当，事半功倍。
例5 求下列函数的值域：
(1) y 5 x 3x 1;
考点扫描：
函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函 数概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的 奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成 为高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试 题的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：
1、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。
例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的
取值范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函
数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
(1)解：原函数可变形为：
y=2x2(3-x)=24 x x (3 x) 22
4
[0, ], 2 sin( ) 1
2
4
4 y 2( 2 1)
即 值 域 为y [4,2 2 2]
例6 求下列函数的值域：
(1) y 2x22x; (2) y log1 (x2 2x 1).
2
分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性 采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函 数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注 意内层函数的定义域的取值范围。
解：（1）令t= 3x-1 0,有
x= 1(t2+1), 3
于是y=5- 1(t2+1)+t=- 1(t- 3 )2+ 65 ,
3
3 2 12
t
3 2,
ymax
65 ,故y (, 65]
12
12
(2)令x 2 cos , [0, ],
有y 2 cos 2 4 4 cos2
2(cos sin 1) 2 2 sin( ) 2
b(a 1) a 3 0,a 1 0.
ab (a 1) 4 5 2 (a 1) 4 5 9,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
解法2：（不等式法）
由ab a b 3 2 ab 3
得ab 2 ab 3 0
即( ab 3)( ab 1) 0 由于 ab 0 ab 3 0 即 ab 3ab 9
x2 x 1 x2 x 1)
1
,
令u
x2
x
1
0,
y
u 2u 1
2
1
1
,
y
1 2
,Q
y
2
1
1
在u
0上
u
u
是增函数，u取最小值时，y也取最小 值。
解法2：（函数的单调性法）
而u x 2 x 1 ( x 1 )2 3 24
3
故x
1 2 , ymin
4 2 3 1
3 10
4
∴原函数的值域为
8
x 2
x 2
(3 3
x)
3
8.
当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故
在0<x<3时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。
（2）解法1(均值不等式)
由已知得b=
a+3 a-1
1
a
4 即ab=a+b+3=a+4+ 1
4 a-1
(a 1) 4 5,又由ab a b 3得， a 1
分析：函数是分式函数且都含有 二次项，可用判别式和单调性法 求解。
例2求 函 数y x 2 x 1 的 值 域 2x2 2x 3
解 法1： 由 函 数 知 定 义 域 为R， 则 变 形 可 得 ： (2 y 1)x 2 (2 y 1)x (3 y 1) 0
当2 y 1 0即y 1 时, 代 入 方 程 ， 2
2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思 想方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。
3、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。
4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。
求函数值域方法很多，常用方法有：
（1） 配方法 （2） 换元法 （3）判别式法 （4）不等式法
分析：本题是求二次函数在区间上的值
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域问题，可用配方法或图像法求解。
解：y (x 1)2 3 ,Q x 1,1,
y
24
x=
1 2
，ymin
3 4
,
x
1,
ymax
3 2
,
3/2 o 1/2
如图，
-1 -3/4
1x
∴y∈[-3/4,3/2].
例2 求函数
y= x2 x 1 的值域。 2x2 2x 3
（5）反函数法、 （6）图像法（数形结合法）
（7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法
这些方法分别具有极强的针对性，每一种方 法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值 域的方法，下面就常见问题进行总结。
例1 求函数 y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
y[ 3 ,1) 10 2
例3
求函数
y
ex 1 ex 1
的反函数的定义域.
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得
( y 1)ex 1 y,Q y 1,ex 1 y 0 1 y
即
y＋1 y-1
0
(
y
1)(
y
1)
0,故－1<y<1.
∴反函数的定义域为(-1,1)。
(1) y x 3 5 x
(2) y x 3 5 x
分析：本题求值域看似简单，其实有 其技巧性，变形适当事半功倍。