数理方程期末复习

1. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ϕθϕθϕ=⎧⎫

⎛⎞=⎨⎬

⎜⎟=⎩⎭⎝⎠

""的形式。

(1) ()sin sin cos sin θθθϕ+ (2) sin sin θϕ

(3) ()6cos 1sin cos θθϕ+

2. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ϕθϕθϕ=⎧⎫

⎛⎞=⎨⎬

⎜⎟=⎩⎭⎝⎠

""的

形式。

(1) ()3sin 2sin cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 21θϕθϕθϕϕϕ−−++− (2) sin cos θϕ

(3) ()13cos sin cos θθϕ+

3. 如图所示，长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在弦的中间点以横向力0F

把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。

4. 求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布

()20t u bx l x ==−

5. 在球坐标系下将三维波动方程220tt u a u −∇=分离变量。其中，拉普拉斯算符在球坐标系下的形式为

22

222222

111sin sin sin u u u

u r r r r r r θθθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞∇=++

⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠

()()()()()()()()(),,,,;,.

u r T t v v R r Y Y θφθφθφθφ===ΘΦr r 求出()T t ，()R r ，(),Y θφ，()θΘ，()φΦ分别满足的本征方程以及通解的形式。

6. 在柱坐标系下将三维输运方程220t u a u −∇=分离变量。其中，拉普拉斯算符在柱坐标系下的形式为

222

22211u u u u r r r r r z

φ∂∂∂∂⎛⎞∇=++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠

()()()()()()(),,,.

u r T t v v R r Z z θφφ==Φr r

求出()T t ，()R r ，()φΦ，()Z z 分别满足的本征方程以及通解的形式。 7. 在半径为0r 的球的(1)内部，(2)外部求解定解问题

2222

0,

1cos cos cos .3r r u u r θϕϕ=⎧∇=⎪

∂⎨=−+⎪∂⎩ 8. 均匀中空介质球壳，内半径为1r ，外半径为()21r r >，壳层内介电常数为ε，壳层外和中间空心部分为真空。把介质球壳放在点电荷04q πε的电场中，球心跟点电荷相距()2d r >，求解介质球壳外、介质球壳区域、和中间空心区域内的静电场中的电势。

()0cos ,1l l l h P h θ∞

==<∑

9. 半径为0ρ而高为L 的圆柱，下底保持温度1u ，上底温度分布为22u ρ，侧面温度分布为0u z ，求解柱体内各点的稳恒温度。

10. 圆柱体半径为0ρ而高为L ，下底温度分布为20u ρ，上底温度保持为1u ，侧面绝热，求柱体内的稳恒温度分布。