初二数学反证法
八年级反证法知识点
八年级反证法知识点反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域中都得到广泛应用。
其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题来证明原命题的正确性。
在八年级数学中，学生要学习如何应用反证法解决一些问题。
本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学生更好地掌握这一方法。
初步了解反证法反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个矛盾的结论，进而证明命题P成立。
或者说，反证法是采用反面求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。
例如，在证明“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。
但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。
如何运用反证法？反证法需要具备以下几个步骤：1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。
2. 分析这些结论是否有矛盾之处。
3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。
4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。
举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。
因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。
需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。
为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。
例题1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。
解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。
考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：x³ - 6xy² - 3y³ = 0。
注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。
同理，3y³也是无理数。
17.5 反证法 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
肯定结论
由矛盾的结果，判定假设不成立，从而 说明命题的结论是正确的
3. 适合用反证法的命题类型
知1－讲
(1) 结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有
两个钝角；
(2)唯一性命题，如不重合的两条直线相交只有一个交点；
(3) 结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个
凸多边形中至多有三个锐角 .
两条平行线中的一条相交，则它必与另一条相交 . 解：已知：在同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A， 如图所示．
求证：l3必与l2相交． 证明：假设l3与l2不相交， 则l1∥l2，l3∥l2，∴l1∥l3，这与已知中l1与l3相交于点A 相矛盾，∴假设不成立． 故l3必与l2相交．
课堂小结
解：已知： ∠ A， ∠ B， ∠ C 是△ ABC 的三个内角知1－. 练 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C 中不能有两个角是钝角 .
证明： 假设∠ A， ∠ B， ∠ C 中有两个角是钝角，
不妨设∠ A>90° ， ∠ B>90° ，
则∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180° .
否定结论. 推出矛盾.
所有情况 . 如果结论的反面只有一种情况，那
么只需要否定这种情况，就足以证明原命题的
结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，
那么必须把各种可能的情况全部列举出来，并
且要一一加以否定，才能证明原命题的结论是
正确的 .
知1－练
例1 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角 .
解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已 知、求证，然后利用所学知识写出证 明过程 . 本题不易直接证明，可考虑 运用反证法来证明 .
这与三角形内角和定理相矛盾，故∠ ， ∠ B 均大于
14.1.3 反证法(八年级数学)
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是
不等于 不是
都是 大于 小于
不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
对任何x 不成立
否定词 某个 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 这与 三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
(初二18)反证法
初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。
它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。
用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。
乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
初二数学反证法练习题
初二数学反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后通过逻辑推理来得出矛盾，进而证明原命题的方法。
在初二数学学习中，掌握反证法的运用对于解题有很大的帮助。
下面，我将为大家提供一些初二数学反证法练习题，帮助大家理解和掌握这个方法。
1. 题目：证明不存在最小正有理数。
解析：要证明不存在最小正有理数，首先假设存在最小正有理数，记为a。
然后通过推理得出矛盾，说明假设不成立。
假设存在最小正有理数a，那么可以找到一个比a小的有理数b，满足0 < b < a。
根据有理数的性质，a与b之间必存在有理数c，使得a > c > b。
然而，根据假设a是最小正有理数，c作为介于a与b之间的有理数，却不满足最小性质，与假设相矛盾。
因此，不存在最小正有理数。
2. 题目：证明根号2是无理数。
解析：要证明根号2是无理数，需要假设根号2是有理数，然后通过推理得出矛盾，说明假设不成立。
假设根号2是有理数，即根号2可以表示为一个最简分数，记为a/b，其中a和b互质。
根据有理数的性质，可以假设a与b都是正整数，且b不等于0。
由根号2 = a/b 可得 2 = (a^2)/(b^2)。
将两边平方，得到 2b^2 = a^2。
因此，根据方程2b^2 = a^2，可以得出结论：a^2是2的倍数。
那么根据整数的性质，a也是2的倍数，假设a = 2c，其中c是正整数。
将a = 2c代入原方程，得到 2b^2 = (2c)^2，化简得到 b^2 = 2c^2。
同理，根据方程b^2 = 2c^2，可以得出结论：b^2也是2的倍数，那么b也是2的倍数。
由于a和b都是2的倍数，说明a和b有共同的因子2，与假设a和b互质相矛盾。
因此，根号2不可能表示为最简分数，即根号2是无理数。
通过以上的两个反证法练习题，我们可以看到反证法在解决一些数学问题时有着重要的作用。
掌握反证法的方法和步骤，能够帮助我们更好地理解和解决数学问题。
初二数学反证法
初二数学反证法在初二数学的学习中，我们会接触到一种独特而有趣的证明方法——反证法。
反证法就像是数学世界中的一场“思维冒险”，它以一种与众不同的方式帮助我们解决问题、验证结论。
那么，什么是反证法呢？简单来说，反证法就是先假设要证明的命题不成立，然后从这个假设出发，通过一系列合理的推理和计算，得出一个与已知条件、定理、公理或者明显事实相矛盾的结果。
这个矛盾的出现就说明我们最初的假设是错误的，从而间接证明了原命题是正确的。
比如说，我们要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
如果直接证明，可能会感觉有些无从下手。
但如果用反证法，我们就先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
假设一个三角形中有两个直角，那么这两个直角所对应的角度之和就是 180 度。
而三角形的内角和是 180 度，这样第三个角就没有度数了，这显然不符合三角形的定义，产生了矛盾。
所以假设不成立，从而证明了在一个三角形中最多只能有一个直角。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个分数，即根号 2 ＝ p ／ q（p 和 q 是互质的整数，且 q 不等于 0）。
两边平方得到 2 ＝ p²／ q²，即 p²＝ 2q²。
这意味着 p²是偶数，那么 p 也必然是偶数。
设 p ＝ 2m（m 是整数），代入上式得到4m²＝ 2q²，即 2m²＝ q²，这又说明 q 也是偶数。
p 和 q 都是偶数，与p 和 q 互质矛盾。
所以假设不成立，从而证明了根号 2 是无理数。
反证法在数学证明中有着广泛的应用，它不仅能够帮助我们解决一些直接证明较为困难的问题，还能锻炼我们的逻辑思维能力和推理能力。
在使用反证法时，需要注意一些要点。
首先，我们的假设必须要合理，要基于原命题的条件和结论进行假设。
其次，在推理过程中，每一步都要严谨、合理，确保能够得出明确的矛盾。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。
由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。
但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。
因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。
根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。
而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。
然而，这与y = √2相矛盾。
因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。
然而，这与n是一个正整数相矛盾。
因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。
然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
初中数学初二数学下册《反证法》优秀教学案例
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。在本章节的教学中，我将把学生分成若干小组，每组学生在探究反证法的过程中，相互讨论、交流、分享。具体做法如下：
1.分组讨论：让学生在小组内讨论反证法的概念、步骤和应用。
2.分工合作：每个小组选择一道题目，运用反证法进行证明，并派代表进行汇报。
（Hale Waihona Puke ）作业小结1.布置作业：设计不同难度的题目，让学生巩固反证法的应用。
a.基础题目：运用反证法证明简单数学命题。
b.提高题目：运用反证法解决实际问题，如几何图形中的反证法证明。
c.拓展题目：研究反证法在其他数学领域的应用，如数列、函数等。
2.要求学生在完成作业时，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.在探究反证法的过程中，引导学生独立思考，培养学生的逻辑思维和逆向思维。
3.引导学生通过观察、分析、归纳等思维方法，发现数学问题中的规律，提高学生解决问题的能力。
4.注重学法指导，让学生在自主学习、合作学习、探究学习的过程中，形成适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神。
3.教师在批改作业时，关注学生的解答过程，及时给予反馈，指导学生提高。
五、案例亮点
1.创设生活化的教学情境
本案例以贴近学生生活的实例为背景，创设教学情境，让学生在具体情境中感受反证法的意义和价值。这种做法有助于激发学生的学习兴趣，提高学生对数学知识的认同感，使学生在轻松愉快的氛围中掌握反证法。
2.以问题为导向，注重学生逻辑思维能力的培养
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，能够引导学生主动思考，培养其逻辑推理能力。在本章节的教学中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握反证法的步骤和应用。例如，在讲解反证法证明数学命题时，可以提出以下问题：
17.5 反 证 法(课件)冀教版数学八年级上册
难 题
的小球分发给小雅、小明和小刚三个同学，其中有一个小球
型 突
颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上”；小明说：“红
破 色球不在我手上”；小刚说：“红色球肯定不在小雅手上”.
三个同学只有一个说对了，则红色球在 __小__明__ 的手上.
破 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是钝角，不妨设
∠A，∠B 为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和
定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即在一个三角形
中不能有两个角是钝角．
17.5 反 证 法
返回目录
重 思路点拨 作出假设→推出矛盾→否定假设→结论成立.
难
题 型
解题通法 用反证法证明与平面几何有关的命题时，一般
突 先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再证明.
破
17.5 反 证 法
返回目录
重 ■题型二 用反证法证明代数问题
难 题
例 2 设 a，b，c 是不全相等的任意实数，若 x=b2-ac
型 突
，y=c2-ab，z=a2-bc.求证：x，y，z
至少有一个大于零.
破
17.5 反 证 法
返回目录
重 ［答案］解：假设 x，y，z 都小于或等于零，则 b2-
60°，∠FAG ＞60°，∠GAB＞60°，所以∠BAC+∠CAD+
∠DAE+∠EAF+∠FAG+∠GAB＞360°，这与周角为 360°相矛
盾，所以每名同学最多被击中 5 枪.
17.5 反 证 法
重 难 题 型 突 破
返回目录
17.5 反 证 法
返回目录
重 变式衍生 2 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同
初中数学初二数学下册《反证法》教案、教学设计
1.作业应在规定的时间内完成，确保学生有足够的时间进行思考和消化；
2.作业应注重质量而非数量，要求学生在完成作业时，注重解题思路的清晰性和逻辑性；
5.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中感受反证法的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的兴趣；
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.培养学生的逆向思维，使学生懂得从不同角度审视问题，形成创新意识；
4.培养学生的合作精神，使学生学会与他人共同探讨、共同进步；
在此过程中，学生可以充分发表自己的观点，学会倾听他人意见，形成共识。我会在各组间巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨反证法的应用。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，我将设计不同难度的题目，让学生独立完成。这些题目包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生完成练习后，我会邀请部分学生分享他们的解题思路和答案。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，共同提高。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的反证法知识，概括反证法的定义、关键步骤和应用。同时，强调反证法在数学证明中的重要性，以及它在解决实际问题中的应用价值。
此外，我会鼓励学生课后进行反思，总结自己在学习反证法过程中的收获和不足。这样，学生可以更好地掌握反证法，为今后的数学学习打下坚实基础。
2.学会运用反证法进行简单命题的证明，并能解决实际问题；
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学中一种重要的证明方法，它通常在解决数学问题时发挥着重要的作用。
在初中数学中，我们经常会遇到一些需要用到反证法才能解决的问题，比如证明某个命题的真假，或者推导出一些结论。
在本文中，我们将对反证法在初中数学解题中的运用进行分析，并举例说明其具体运用。
让我们简单了解一下什么是反证法。
反证法是一种证明方法，它采用反证的思路来证明一个命题的真假。
通常，当我们试图证明一个命题时，如果直接使用证明方法无法得出结论，我们可以尝试采用反证法。
反证法的基本思路是，假设命题的否定是成立的，然后通过推导出矛盾的结论，从而得出命题的原命题是成立的结论。
让我们来看一个简单的例子，证明根号2是无理数。
要证明根号2是无理数，首先我们可以假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n，其中m和n 是整数，并且它们没有公因数。
然后我们对等式根号2 = m/n 进行平方，可以得到 2 =m^2/n^2。
接着我们可以得到 m^2 = 2n^2。
这时我们可以观察到m^2是2的倍数，那么m一定也是2的倍数，即m=2k。
代入m=2k，我们可以得到 (2k)^2 = 2n^2，简化后得到 4k^2 = 2n^2，再简化得到 2k^2 = n^2。
这说明n^2也是2的倍数，那么n也一定是2的倍数。
所以m和n同时都是2的倍数，这与我们假设的m和n互质相矛盾。
所以我们可以得出结论，假设根号2是有理数，会导致矛盾，所以根号2是无理数。
在这个例子中，我们使用了反证法来证明根号2是无理数。
我们假设根号2是有理数，然后通过四则运算推导出矛盾的结论，从而得出结论，根号2是无理数。
另外一个例子，我们来看一个关于方程的例子，证明方程 x^2 + 5x + 6 = 0 的根不是有理数。
要证明方程的根不是有理数，我们可以采用反证法。
首先我们假设方程有有理数根，即可以表示为p/q，其中p和q是整数，并且它们没有公因数。
《初二数学反证法》课件
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
华师版数学八年级上册14.反证法课件
第3课时 反证法
学习目标
➢ 通过证明具体实例，体会反证法的含义. ➢ 知道证明一个命题除用直接证法外，还有间
接证法. ➢ 了解用反证法证明命题的一般步骤，发展逻
辑思维能力.
回顾导入
还记得之前学习“两直线平行，同
位角相等”时，我们是怎么证明这
一结论的吗？
E
已知：如图，直线AB∥CD， A
已知：△ABC. 求证：在∠A、∠B、∠C这三个内角中，至少有两个锐角.
证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 不妨设0°＜∠A＜90°， 则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°. ∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1）否定结论----假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾----从假设出发，根据已知条件，经过推 理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、 基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论----由矛盾判定假设不正确，从而肯定命 题的结论正确.
典例精讲
例1 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，
用反证法证明时需注意的两点： （1）否定结论：原结论的反面一 定要找准确、全面； （2）注意步骤：先进行合理的假 设，再推出矛盾，最后得出结论.
课堂小结
反证法的含义： 一种间接的证明方法
反证法
反证法证明的步骤
否定结论 推出矛盾 肯定结论
结论反面找准找全 反证法证明时需注意
注意步骤
当堂检测
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则
感谢观看！
则∠A＞60°”时，第一步应假设（ D ）
《初二数学反证法》课件
在推导过程中，要避免将不同的 概念混为一谈，以确保推导的逻 辑严密性。
掌握反证法的适用范围
适用于直接证明困难的情况
反证法常常适用于直接证明某个命题很困难的情况，通过假设原命题的结论不成立，找到矛盾，从而证明原命题 的正确性。
适用于真假较易判断的命题
反证法适用于真假较易判断的命题，因为一旦找到矛盾，就可以很容易地判断原命题的真假。
它是一种间接的证明方法，常 常用于那些直接证明比较困难 的问题。
在数学中，反证法是一种常用 的证明技巧，尤其在初等数学 中。
反证法的起源与发展
反证法的思想可以追溯到古希腊的哲 学家和数学家，如亚里士多德等。
随着数学的发展，反证法的应用越来 越广泛，成为数学证明中的重要方法 之一。
在中国古代的数学著作中，也出现了 反证法的应用，如《九章算术》等。
反证法的应用场景
在几何学中，反证法常常用于证明一些与图形有关的命题，如线段的性质、角的性 质等。
在代数中，反证法可以用于证明一些不等式、恒等式等。
在初等数学中，反证法是一种非常常用的证明方法，尤其在竞赛数学中更为常见。
01
反证法的证明步骤
假设命题结论不成立
提出与原命题相反的 假设。
确保假设与原命题的 结论相矛盾。
《初二数学反证法》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 练习与思考
01
反证法简介
反证法的定义
反证法是一种证明方法，通过 否定待证明的命题，然后推导 出矛盾，从而肯定原命题。
总结词
初二数学反证法练习题
初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。
在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。
本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。
题目一：证明“根号2是无理数”。
解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。
那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。
由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。
令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。
同样地，我们可以得出q也是2的倍数。
但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。
因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。
题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。
解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。
那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。
根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。
将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。
由此可知，p^2和q^2均为x的因数。
根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。
这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。
题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。
解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。
那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。
考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。
根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。
初二数学反证法
整数的性质
通过假设整数不具有某种 性质，如假设一个整数不 是质数，然后推导出矛盾 来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时，可以 通过假设两个整数不同余 来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被 唯一分解为质因数的乘积 来推导矛盾，从而证明唯 一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点：简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时，我们需要假设反面命题成立，并推导出矛 盾。然而，这个假设可能会引入额外的条件或限制，使得证 明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力，对于初学者来说可 能较难掌握。同时，使用反证法时需要注意一些细节和技巧 ，否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用，尤其对于一些难以直接证明的结论，可以 通过反证法间接证明其成立。同时，反证法还可以培养学生的逆向思维能力和 逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域，如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时，反证法往往能够简化问题，提供 新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与 已知条件、定理、公理等相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程 的解，然后代入方程得到 矛盾，从而证明该数是方 程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。
本节要求必须掌握的两种反证题型： 1.角度问题
2平行问题
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
≠∠
点拨：至少的反面是没有！来自例3、用反证法证明：等腰三角形的底 角必定是锐角．
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
(2)由90°＜∠B＜180°， 90°＜∠C＜180°， 则 ∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾
.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立． 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况， 这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理，定义， 公理矛盾 与已知条件矛盾
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
问题：
A
b
C
c
a
C
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
尝试解决问题
C
A
感 受 反 证 法:
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
B
C
假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例2
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
五、体验反证法
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
a b c A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
例4
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
b
●
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
已知：如图有a、b、c三条直线， 且a//c,b//c. 求证：a//b
例5
证明：假设a与b不平行，则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行，这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.