CH7数学物理定解问题
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以热传导方程（或输运方程）为代表的方程
ut a2u f
它主要描述扩散过程和热传导以及物质传输过程所满足的规律
14
双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的， 有时也称为发展方程
3）椭圆型方程（Elliptic Equation.）
以泊松方程为代表的方程
u f (x, y, z)
当 f (x, y, z) 0， 即退化为拉普拉斯方程
17
研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环 境”，而周围环境的影响常体现为边界上的物理状况，即边 界条件．
二 边界条件 ：
1.定义： 系统的物理量始终在边界上具有的情况。
2.分类： 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第二类边界条件:给出了所研究的物理量在边界外法线方向 上方向导数的数值； 第三类边界条件:给出了所研究的物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值.
有一个初始条件
二阶含时偏微分方程
ut a2u 0
有两个初始条件
u( x, y, z) |t0 f ( x, y, z)
16
utt a 2uxx 0 u( x, y, z, t) |t0 f1( x, y, z) ut ( x, y, z, t) |t0 f2 ( x, y, z)
3 、注意问题： 1）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不 是一点处的情况。
9
泊松方程
在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ（x,y,z)，研
究该区域的静电场。
1.势函数u(x,y,z)是根本量,;
2.在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间τ，由
高斯定理：
因为 所以
s
E
•
d
s
1
d
E • d s • E d
s
1
d
•
E
d
10
所以
•E
E u
5
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界他条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。
具体的问题的求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程 ——客观规律
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件 ——求解所必须用的
6
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变 换法、格林函数法、保角变换法
描写微观粒子运动的 Schrodinger 方程和 Dirac 方程
等等 2
第七章 数学物理定解问题
重点
1、定解问题的概念 2、系统的边界条件和初始条件的写法； 3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
3
第七章 数学物理定解问题
一、数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各 个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守 恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定 律。
同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的是 物理过程变化的规律。
本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问
题和这些问题的几种常见解法。
4
二、边界问题----边界条件
对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程， 必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同， 即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解 不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽 然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解 不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历 史状态的数学方程称为初始条件。
2.方程的分类; 二阶偏微商项的三个系数 a11、a12、a22 组成了一个判别式
a122 a11a12
按其符号，将方程化为三种类型;
12
(1)、 a122 a11a22 0双曲型
wenku.baidu.com
（2）、 a122 a11a22 0抛物型
（3） a122 a11a22 0椭圆型
由判别式式知;
u tt u t
• u
u
-----此即泊松方程 若所讨论区域无电荷，则为
u 0 -----laplace方程
四、方程的分类
11
1.数学物理方程的一般形式 a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f 0
其中 a11 ， a12 ， a22 ， b1 ， b2 ，c,f 只是 x,y 的函数
a 2u xx a 2u xx
0双曲型 0抛物型
u 0
椭圆型
3.三种典型方程的用途
13
1) 双曲型方程(Hyperbolic Equation)
以波动方程为代表的方程 utt a2u f
它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、 电磁波的传播规律． 2) 抛物型方程(Parabolic Equation)：
第二篇 数学物理方程
1
数学物理方程常常来自于物理学、其它自然科学、技 术科学中，许多实际研究对象所涉及到的变量不仅仅是一 个变量问题，可能会涉及到很多变量，这些多变量函数所 满足的方程称为偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程、微分积分方程。如：
描写电磁场运动的Maxwell方程组 波传播满足的波动方程 热传导满足的传导方程 粒子扩散满足的扩散方程 电流、电压满足的电报方程
它是描述物理现象中稳定过程规律的偏微分方程.在物理 现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流 的速度势等规律．
15
§7、2 定解条件
一 初始条件 ：
1.定义： 是对所研究系统的在开始计时时刻的系统状态初 始分布
2.初始条件的特征：
偏微分方程的阶数对应于初始条件中的数目:
一阶含时偏微分方程
本章研究的问题有：
1、常见的数学物理方程； 2、系统的边界条件和初始条件； 3、将数学物理方程进行分类；
7
§7.1 数学物理方程的导出
导出步骤： 1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。
8
一、典型的方程的导出（自学第七章第一节） 1、拉普拉斯方程 2、泊松方程 3、传导方程 4、波动方程 5、亥姆霍兹方程
ut a2u f
它主要描述扩散过程和热传导以及物质传输过程所满足的规律
14
双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的， 有时也称为发展方程
3）椭圆型方程（Elliptic Equation.）
以泊松方程为代表的方程
u f (x, y, z)
当 f (x, y, z) 0， 即退化为拉普拉斯方程
17
研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环 境”，而周围环境的影响常体现为边界上的物理状况，即边 界条件．
二 边界条件 ：
1.定义： 系统的物理量始终在边界上具有的情况。
2.分类： 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第二类边界条件:给出了所研究的物理量在边界外法线方向 上方向导数的数值； 第三类边界条件:给出了所研究的物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值.
有一个初始条件
二阶含时偏微分方程
ut a2u 0
有两个初始条件
u( x, y, z) |t0 f ( x, y, z)
16
utt a 2uxx 0 u( x, y, z, t) |t0 f1( x, y, z) ut ( x, y, z, t) |t0 f2 ( x, y, z)
3 、注意问题： 1）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不 是一点处的情况。
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泊松方程
在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ（x,y,z)，研
究该区域的静电场。
1.势函数u(x,y,z)是根本量,;
2.在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间τ，由
高斯定理：
因为 所以
s
E
•
d
s
1
d
E • d s • E d
s
1
d
•
E
d
10
所以
•E
E u
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定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界他条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。
具体的问题的求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程 ——客观规律
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件 ——求解所必须用的
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3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变 换法、格林函数法、保角变换法
描写微观粒子运动的 Schrodinger 方程和 Dirac 方程
等等 2
第七章 数学物理定解问题
重点
1、定解问题的概念 2、系统的边界条件和初始条件的写法； 3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
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第七章 数学物理定解问题
一、数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各 个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守 恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定 律。
同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的是 物理过程变化的规律。
本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问
题和这些问题的几种常见解法。
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二、边界问题----边界条件
对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程， 必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同， 即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解 不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽 然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解 不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历 史状态的数学方程称为初始条件。
2.方程的分类; 二阶偏微商项的三个系数 a11、a12、a22 组成了一个判别式
a122 a11a12
按其符号，将方程化为三种类型;
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(1)、 a122 a11a22 0双曲型
wenku.baidu.com
（2）、 a122 a11a22 0抛物型
（3） a122 a11a22 0椭圆型
由判别式式知;
u tt u t
• u
u
-----此即泊松方程 若所讨论区域无电荷，则为
u 0 -----laplace方程
四、方程的分类
11
1.数学物理方程的一般形式 a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f 0
其中 a11 ， a12 ， a22 ， b1 ， b2 ，c,f 只是 x,y 的函数
a 2u xx a 2u xx
0双曲型 0抛物型
u 0
椭圆型
3.三种典型方程的用途
13
1) 双曲型方程(Hyperbolic Equation)
以波动方程为代表的方程 utt a2u f
它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、 电磁波的传播规律． 2) 抛物型方程(Parabolic Equation)：
第二篇 数学物理方程
1
数学物理方程常常来自于物理学、其它自然科学、技 术科学中，许多实际研究对象所涉及到的变量不仅仅是一 个变量问题，可能会涉及到很多变量，这些多变量函数所 满足的方程称为偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程、微分积分方程。如：
描写电磁场运动的Maxwell方程组 波传播满足的波动方程 热传导满足的传导方程 粒子扩散满足的扩散方程 电流、电压满足的电报方程
它是描述物理现象中稳定过程规律的偏微分方程.在物理 现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流 的速度势等规律．
15
§7、2 定解条件
一 初始条件 ：
1.定义： 是对所研究系统的在开始计时时刻的系统状态初 始分布
2.初始条件的特征：
偏微分方程的阶数对应于初始条件中的数目:
一阶含时偏微分方程
本章研究的问题有：
1、常见的数学物理方程； 2、系统的边界条件和初始条件； 3、将数学物理方程进行分类；
7
§7.1 数学物理方程的导出
导出步骤： 1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。
8
一、典型的方程的导出（自学第七章第一节） 1、拉普拉斯方程 2、泊松方程 3、传导方程 4、波动方程 5、亥姆霍兹方程