标量衍射理论

其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们 正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。 其含义是单位时间内信号重复的次数 。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念 空间周期:相邻两条纹之 间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振 幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解 任何复杂的波都可以用球面波和平面波的 线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中 传播时形成球形的波面，称为球面波。 球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。 单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
求解得：
cos cos cos cos A( , , z ) A( , ,0) exp( jkz 1 cos 2 cos 2 )




cos 2 cos 2 1 讨论：①
传播过程只改变了角谱各个分量的相 对相位，引入了一个相位延迟因子。
②
cos 2 cos 2 1
1
{ A( f x , f y , z )} A( f x , f y , z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]df x df y


A( f x , f y , z ) F {U ( x, y, z )} U ( x, y, z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]dxdy
A(

cos cos , ,0)


cos cos A( , , z)



cos cos cos U 0 ( x, y,0) A(( , ,0) exp[ j 2 ( x U ( x, y , z )
cos cos cos y )]d ( )d ( )

U ( x, y, z ) F
1
{ A( f x , f y , z )} A( f x , f y , z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]df x df y


第二个公式的含义是：将所有的各种频率 成分的平面波进行叠加（合成），即可得 到该平面内的光场复振幅分布。 角谱分析就是要确定A0(fx,fy)和A(fx,fy)的关 系，即在频域研究光的传播。
A( f x , f y , z ) F {U ( x, y, z )} U ( x, y, z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]dxdy

这里F {}只对x,y变换，z看作常量
A(fx,fy,z)与U(x,y,z)是一对傅立叶变换对，
即有：
U ( x, y, z ) F
a0 jkr U ( P) e r
其中a0为离开点光源单位距离处的振幅， k 2 / 为波数，r为观察点P(x,y,z)离开 点光源的距离 。
光源在原点时 r ( x 2 y 2 z 2 )1/ 2 对于会聚球面波，则有
a0 jkr U ( P) e r
发散球面波



cos cos cos y )]d ( )d ( )

A((
cos cos cos , , z ) exp[ j 2 ( x


(2 k 2 )U ( p) 0
d2 cos cos cos cos 2 2 2 A( , , z ) k (1 cos cos ) A( , , z) 0 2 dz
z>0为发散球面波，z<0为会聚球面波
二、平面波 1、复振幅分布
平面波复振幅传播特点： 1、振幅不变；2、相位变化。
k k cos i k cos j k cos k
波矢量（简称波矢）
平面波复振幅可以表示为：
U ( x, y, z ) a exp( jk r )
一、复振幅分布的角谱
平面波的复振幅分布可以表示成空间频率 的函数。而任意的孔径平面上的光场复振 幅分布都可以分解为不同方向传播的平面 波，即一个任意的单色光场可以由不同空 间频率的平面波合成。如果对孔径面的光 场复振幅分布做傅立叶变换，则得到它的 空间频谱，此空间频谱即为复振幅分布的 角谱。
孔径面（x-y面）上一单色光场复振幅分 布为U(x,y,z)，则其角谱为：
则透射光场的角谱为：
A2 ( f x , f y ) F {U 2 ( x, y)} ( f x , f y ) ab sin c(af x ) sin c(bf y )
其中
fx cos , fy cos


二、平面波角谱的传播 1、角谱传播规律
已知孔径面（z=0）的角谱，运用亥姆霍兹 方程求解出观察面（z）的角谱，从而得到 平面波自由传播的频域解释。
例题：求被单位振幅的单色平面波垂直照 明的不透明矩形屏（axb）的透射光场角 谱。 解：入射光场复振幅分布为U1(x,y)=1;屏幕 透过率函数为：
x y t ( x, y ) 1 rect ( )rect ( ) a b
则透射光场复振幅分布为：
x y U 2 ( x, y) U1 ( x, y)t ( x, y) 1 rect ( )rect ( ) a b
会聚球面波
若点光源或会聚点不在原点，而为空间任 意一点，则
r [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 ]1/ 2
在实际光学问题中，我们考查的光场具有 下面两个特点： (1)考查光场在某一平面内的分布 (2)旁轴近似 对某一平面z为常数，且在旁轴近似下 2 2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 则
d
空间周期： dx 和 dy 空间频率：f x
1 1 fy dy dx 和
单色波在传播方向上以λ为周期重复出现， 则说在波矢方向 空间周期 dk= 面 x 相 同 1 空间频率 f f k
k
x：d x

cos
， f x
cos

（ x z 面）
z：d z
2 2
其中U0(x,y,0)为z=0的平面上的复振幅
例题：空间单色平面波的复振幅分布为：
U ( x, y, z) A exp[ j (5x 10 y 15z)]
求此平面波的空间频率、波数、波长及 方向余弦。 解：平面波的通用表达式为：
U ( x, y, z ) A exp[ jk ( x cos y cos z cos )] cos 2 cos 2 cos 2 1 2 2 比较得：k 5 14 k 5 14 3 2 1Fra bibliotek倏逝波
反过来，如果我们已经知道了系统对输入 角谱的作用，那么可以用线性不变系统分 析的方法得到输出角谱，经过逆傅立叶变 换则可以得到输出复振幅分布！
输入复振幅分布 傅立叶变换 输入角谱 线性不变系统 输出复振幅分布 逆傅立叶变换 输出角谱
2、传递函数
将孔径面和观察面的角谱分别看作是一个 线性不变系统的输入和输出函数的频谱。 那么系统的传递函数可以表示为：
此时cosγ=0。说明在与z轴垂直的方向 上的分量净能量流为零。
③
A(
cos 2 cos 2 1
1 cos 2 cos 2 为虚数，则
此时

cos cos cos cos , , z ) A( , ,0) exp( kz cos 2 cos 2 1)
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 r z 2z
a0 k U ( x, y) exp( jkz) exp{ j [( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]} z 2z
a0 k 2 2 U ( x, y) exp( jkz) exp{ j [( x x 0 ) ( y y0 ) ]} z 2z

cos
，f z
cos

0
dx


z dz
对任意方向传播的单色平面波
fx cos

,f y
cos

,f z
cos

fx
cos

,f y
cos

,f z
cos

表示在x，y，z轴上单位距离内的复振幅 周期变化的次数。空间频率的大小跟传播 的方向密切相关。
当z取定值时，则得到某一平面(z)内的等相 位线。即等相位线方程为: 2 2 ( x x 0 ) ( y y0 ) C
球面波的等相位线为一同心圆族，他们是 球面波与x-y平面的交线
若光源在坐标原点，旁轴近似下，球面波 复振幅可以表示为：
a0 k 2 2 U ( x, y) exp( jkz) exp[ j ( x y )] z 2z
cos 14
cos 14 cos 14
fx
cos


5 2
fy
cos


10 2
fy
cos


15 2
►光波的数字描述 ►角谱及角谱的传播 ►标量衍射的角谱理论 ►夫琅禾费衍射与傅里叶变换 ►菲涅耳衍射和分数傅立叶变换
§2. 角谱及角谱的传播
第二章
Scalar Quantity Diffraction Theory 标量衍射理论
衍射规律是光传播的基本规律 索末菲对衍射的定义：不能用反射或折射 来解释的光线对直线光路的任何偏离 把光波当做标量来处理的两个条件： (1)衍射孔径必须比波长大得多； (2)观察点必须离衍射孔足够远。
►光波的数学描述 ►角谱及角谱的传播 ►标量衍射的角谱理论 ►夫琅禾费衍射与傅里叶变换 ►菲涅耳衍射和分数傅立叶变换
三个空间频率不能相互独立，有：
fx fy fz
2 2 2
1
2
f2
平面波的复振幅可以改写为：
U ( x, y, z ) a exp[ j 2 ( xf x yf y)] exp( jkz 1 2 f x 2 f y )
2 2
U 0 ( x, y,0) exp( jkz 1 2 f x 2 f y )

物理含义：上面的两个式子实际上是从空 域到频域，频域到空域的转换过程。第一 个公式的含义为：将任意光场U(x,y,z)在z 平面的复振幅分布分解成频率为fx,fy的平 面波。这些平面波的振幅等于角谱的模， 相位等于角谱的幅角 。 例如，某一频率（fx1,fy1,z），其角谱为 A(fx1,fy1,z)，则对应的平面波在为： U ( x, y, z ) A( f x1 , f y1 , z ) exp( j 2 ( xf x1 yf y1 )]