标量衍射理论
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
第二章 光的标量衍射理论
（2-1-15）
（2-1-15）式称为菲涅尔衍射积分公式 式称为菲涅尔衍射积分公式 满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏， 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏，屏上显示的图 形即物体的菲涅耳衍射图形。 形即物体的菲涅耳衍射图形。 辐照度L(x,y) 为： 辐照度
• 2.1.1 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理 • 假设：波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰 假设： 动中心，它们能产生球面子波． 动中心，它们能产生球面子波．后一时刻的波前位置 是所有这些子波波前的包络面。 是所有这些子波波前的包络面。 波前”即是某一时刻光波的波面(等相面 等相面)， “波前”即是某一时刻光波的波面 等相面 ， 次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。 “次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。
该近似称为夫琅和费近似 该近似下 基尔霍夫衍射积分公式化简为： 在该近似下，基尔霍夫衍射积分公式化简为：
x2 + y2 E ( x, y ) = exp j k d + jλ d 2d 1 ∞ k ∫ ∫ A(ξ ,η ) exp − j ( xξ + yη ) d ξ d η d −∞ （2-1-19） ）
（2-1-16） ）
L(x,y)等于菲涅耳衍射复振幅分布 等于菲涅耳衍射复振幅分布E(x,y)的模的平方 等于菲涅耳衍射复振幅分布 的模的平方
二、夫琅和费近似和天琅和费衍射
进一步增大观察平面∏到衍射孔径 的距离 进一步增大观察平面 到衍射孔径∑的距离 ，则衍射 到衍射孔径 的距离d， 图形将随之放大。 图形将随之放大。
第2章 标量衍射理论
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
信息光学-第3章 标量衍射理论-1.ppt
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
a0
表示点光源的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
U P a0 e jkr
r
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
第二章 标量衍射理论
光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇 到障碍物时，光波会发生衍射。
电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场 强度和磁场强度的矢量性。
一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）— — 光波作为标量处理
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
1、光波的数学描述
✓角谱定义
A
cos
, cos
U x,
yexp
j2
cos
x
cos
y dxdy
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。
引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：
(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的 单色平面波的叠加;
复振幅分布的分解观点：
平面上的复振幅分布U(x,y)看作空间频率不同的复指数分量的 线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。
exp j2 fxx fy y
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的单 色平面波。
因此光场（复振幅）分布也可以看作为不同方向传播的单 色平面波分量的线性叠加，这就是角谱理论。
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
a0
表示点光源的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
U P a0 e jkr
r
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
第二章 标量衍射理论
光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇 到障碍物时，光波会发生衍射。
电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场 强度和磁场强度的矢量性。
一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）— — 光波作为标量处理
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
1、光波的数学描述
✓角谱定义
A
cos
, cos
U x,
yexp
j2
cos
x
cos
y dxdy
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。
引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：
(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的 单色平面波的叠加;
复振幅分布的分解观点：
平面上的复振幅分布U(x,y)看作空间频率不同的复指数分量的 线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。
exp j2 fxx fy y
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的单 色平面波。
因此光场（复振幅）分布也可以看作为不同方向传播的单 色平面波分量的线性叠加，这就是角谱理论。
标量衍射理论
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
标量的衍射理论
基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子2.给出了常数C的具体形式
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。
2 标量衍射理论
第二章 标量衍射理论 （Scalar diffraction theory）
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。
r = z x- x y - y
x- x y- y 忽略倾斜因子的变化后，就可以 z z z \把光波过一个线性不变系统。
U ( x, y ) = U ( x0 , y0 )h( x - x0 , y - y0 )dx0 dy0
近似条件 当
j =
2p x - x0 y - y 0 8z 3
2
2 2
x - x0 2 y - y0 2
即
取最大值时，Δj<<2pz3来自1 8x - x
0
2
y - y0
2 2 max
充分但非必要条件 在一般问题中，菲涅尔衍射很容易实现
2 f 2
其
1 λ2 他
等价于低通滤波器，截止频率1/
基尔霍夫理论 空域 角谱理论 频域 平面波 球面子波 系统的脉冲响应：球面子波在观 察平面上的复振幅分布
系统的传递函数：脉冲响应的傅 立叶变换
三、孔径对角谱的影响
入射到孔径平面的光场
U i ( x0 , y0 )
衍射屏的复振幅透过率 t ( x0 , y0 ) 衍射屏后表面光场
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。
r = z x- x y - y
x- x y- y 忽略倾斜因子的变化后，就可以 z z z \把光波过一个线性不变系统。
U ( x, y ) = U ( x0 , y0 )h( x - x0 , y - y0 )dx0 dy0
近似条件 当
j =
2p x - x0 y - y 0 8z 3
2
2 2
x - x0 2 y - y0 2
即
取最大值时，Δj<<2pz3来自1 8x - x
0
2
y - y0
2 2 max
充分但非必要条件 在一般问题中，菲涅尔衍射很容易实现
2 f 2
其
1 λ2 他
等价于低通滤波器，截止频率1/
基尔霍夫理论 空域 角谱理论 频域 平面波 球面子波 系统的脉冲响应：球面子波在观 察平面上的复振幅分布
系统的传递函数：脉冲响应的傅 立叶变换
三、孔径对角谱的影响
入射到孔径平面的光场
U i ( x0 , y0 )
衍射屏的复振幅透过率 t ( x0 , y0 ) 衍射屏后表面光场
标量衍射理论
面不一定是照明 光波的波阵面， 故称为广义波面。
— 隔开波源与场点的曲面
K ( ) — 倾斜因子，体现子波在
不同的方向上有不同的作用
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
2013-12-28
—比例系数
这是几经修正和推广后的惠更 斯-菲涅尔原理的数学描述。 10
衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S 发出的光波，
2013-12-28
11
由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程
2 E E 2 E 0 2 t t
进一步，无损耗介质中
2 E 2 E 0 2 t 2Ex 2 E x 0 2 t 2Ey 2 E y 0 2 t 2 Ez 2 E z 0 2 t
2013-12-28
U G (G n U n )dS 0 S
得
22
(G
S
U G U G U G U ) dS (G U ) dS (G U ) dS 0 n n n n n n S S
对式 G( P1 )
e
jkr01
2013-12-28 21
格林函数的选择
选格林函数为由P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G ( P1 )
S
S P0
P1
r01
e jkr01 r01
n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
— 隔开波源与场点的曲面
K ( ) — 倾斜因子，体现子波在
不同的方向上有不同的作用
e jkr —子波源发出的球面波 r
C
2013-12-28
—比例系数
这是几经修正和推广后的惠更 斯-菲涅尔原理的数学描述。 10
衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S 发出的光波，
2013-12-28
11
由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程
2 E E 2 E 0 2 t t
进一步，无损耗介质中
2 E 2 E 0 2 t 2Ex 2 E x 0 2 t 2Ey 2 E y 0 2 t 2 Ez 2 E z 0 2 t
2013-12-28
U G (G n U n )dS 0 S
得
22
(G
S
U G U G U G U ) dS (G U ) dS (G U ) dS 0 n n n n n n S S
对式 G( P1 )
e
jkr01
2013-12-28 21
格林函数的选择
选格林函数为由P0 点向外发散的球面波， 于是曲面S上任一点P1处的格林函数为
G ( P1 )
S
S P0
P1
r01
e jkr01 r01
n
V
这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现 不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。 因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一 半径为 的小球面 S ，格林定理中的积分体积为介于S和 S 之间的空间,而积分面则是复合曲面 S+ S S ' 由
标量衍射理论课件
02
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
标量衍射理论
2 2
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由于 波长λ 极小， 2 很大，上式中第二项不能省 k 略
点光源光波场相位因子和复振幅
• X-y 平面上相位 2z 称为球面波的二次相位因子 2 2 ( x x0 ) ( y y 0 ) C • 其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。 • 光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面 波复振幅为
，其球面
( x x0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
2
坐标系几何示意图
( x, y,z )
( x0 , y 0 , z 0 )
• 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。
点光源光波场近似
设光源位于
z0 0
平面， 观察面位于
球面波的复振幅
• 对于单色发散球面波 U(P ) 当点光源位于坐标原点时： r为观察点到原点的距离： r x 2 a 0 jkr • 会聚球面波：
U(P ) e r
a0 r
e
jkr
y z
2
2
• 若点光源位于空间任意一点 波复振幅形式不变，此时有
r
2 2
S ( x0 , y 0 , z 0 )
z
x
y
z
• 由
cos cos cos
2 2
2
1
有
fx
2
fy
2
fz
2
1
2
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f 不再和单色平面波 , f ) 述。但空间频率 e x p j2 ( f x 也就不再对应沿某 f y) 有关， 一方向传播的平面波
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由于 波长λ 极小， 2 很大，上式中第二项不能省 k 略
点光源光波场相位因子和复振幅
• X-y 平面上相位 2z 称为球面波的二次相位因子 2 2 ( x x0 ) ( y y 0 ) C • 其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。 • 光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面 波复振幅为
，其球面
( x x0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
2
坐标系几何示意图
( x, y,z )
( x0 , y 0 , z 0 )
• 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。
点光源光波场近似
设光源位于
z0 0
平面， 观察面位于
球面波的复振幅
• 对于单色发散球面波 U(P ) 当点光源位于坐标原点时： r为观察点到原点的距离： r x 2 a 0 jkr • 会聚球面波：
U(P ) e r
a0 r
e
jkr
y z
2
2
• 若点光源位于空间任意一点 波复振幅形式不变，此时有
r
2 2
S ( x0 , y 0 , z 0 )
z
x
y
z
• 由
cos cos cos
2 2
2
1
有
fx
2
fy
2
fz
2
1
2
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f 不再和单色平面波 , f ) 述。但空间频率 e x p j2 ( f x 也就不再对应沿某 f y) 有关， 一方向传播的平面波
3.1 标量衍射理论
1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理 论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间 周期 频率 圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T
1
空间 单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。
10标量衍射的角谱理论
A( f x , f y ,0) U (x, y,0) exp[ j2 (xf x yf y )]dxdy
其后，可以求出它传播到平面 z z 上的角谱
A(cos , cos , z) A(cos , cos ,) exp jkz cos cos
最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 U (x, y,)表示 的衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式
角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量 之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加 了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U (x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只 对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
因而
z
x max
y max
及
z
x max
y max
f x
cos
x x0 z
1,
f y
cos
y y0 z
1
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1
2
f
2 x
2
f
2 y
1
1 2
2
(
f
2 x
f
2 y
)
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传 播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱
同时有逆变换为
U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]df xdf y
标量衍射理论
x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos
cos
Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z
标量衍射
衍射理论的种类 1）惠－菲衍射理论 2）基尓霍夫衍射理论 3）瑞－索衍射理论 4）角谱衍射理论 5）边界衍射理论
ＨＦ衍射理论
U% ( p) = ∫∫ dU% ( p)
nv
θ0
rv21
Qθ
dΣ
rv0 1
S Σ
dU% ( p ) •p
dU%
(
p)
=
U%
(Q
)F
(θ
0
,θ
)
e ikr01 r01
dΣ =
)
ds
其中U ' (P1) =
1
jλ
⎡ ⎢ ⎣
A
exp( jkr21 r21
)
⎤ ⎥ ⎦
•
⎡ ⎢⎣
cos(nv,
rv01
)
− cos(nv, 2
rv21
))
⎤ ⎥⎦
P0点上的场是由位于孔内的无穷多个虚设的次级源产生的(相干叠加)。
1) 但该次级波源的振幅与直接入射到P1上波振幅差一个因子 2) 还要小一个倾斜因子其值在0到1之间；实际上每一个次级波源都是 非各向同性的 3) P1点上的次级波源的位相超前于入射波π/2 4) F-K公式可推广的一般情况
Re[U% (P)e−i2πνt ]
U (P) → 实振幅
U% (P) = U (P)e−iϕ( p) → 复振幅
U (P,t)满足标量波动方程 U% (P)满足不含时的helmholtz方程
∇2U (P, t) − 1 ∂2 U (P, t) = 0 c2 ∂t 2
(∇ 2 + k 2 )U% ( P ) = 0
基尔霍夫解决之道：（G，S）
1、格林函数G的选取：为 有P0 点向外发散的单位振 幅的球面波（即自由空间 的格林函数）。在任意一 点P1上G之值为：
标量衍射理论
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
dS r
nP
∫∫ U(Q)
1
e j kr
cos(n, r ) +1
jλ
U0 ∑
(P)
r
dS 2
r
Q
比较两式可得常数和倾斜因子分别为
C 1
j
1+ cos(n, r) 1+ cosθ
K(θ) =
=
2
2
由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场U0（P）
该原理指出：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上 的各面元可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则在波 传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源 各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
其复振幅的数学表达式为
P0
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
r
dS
U0(P) 波面上任一点的复振幅
cosα cosβ
cosα cosβ
A( λ , λ ) = A0 ( λ , λ ) exp(jkz 1
cos2 α
cos2 β )
讨论：（1）当方向余弦满足下面关系式时 cos2 α + cos2 β < 1
各平面波传播一定距离z仅是引入一定的相移，而振幅不变。由 于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离 各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。
者说空间频率大于 1/ λ 的信息，在单色光波照明下不能沿z
方向传递。
H(ξ, η) =
exp(jkz 1 (λξ)2 (λη)2 0
ξ2
光波的标量衍射理论
波的初相位相同
3、子波在P引起的振幅与r成反比4、某一点发出的子波
在P点的相位有光程决定 z
R Qr
S
P
z
z
RQ r
S
P 点的光场复振幅为
P E%(P)= C A eikR eikr K ( )d L (5) R r
z
A 是离点光源S单位距离处的振幅；R是波面Σ的半径
C 是比例系数， r Q，P K() 称为倾斜因子，它是与元 波面 法d线和 的夹QP角 (称为衍射角)有关的量
(10)
r
z1
x2 y2 2z1
xx1
z1
yy1
(13)
菲涅耳衍射区包含了夫朗和费衍射区，凡能用来计算菲 涅尔衍射的公式都适应于弗朗和费衍射，反射则不然
一、惠更斯—菲涅耳原理
1690年惠更斯提出的一种假设：波前（波面）上的每 一点都可以看作为一个发出球面子波的次级扰动中心， 在其后面一个时刻，这些子波的包络面就是新的波 前——定性地说明了衍射现象
原理的依据： 1、波动在介质中是逐点传播的 2、各质点作与波源完全相同的振动
注意：该原理对非均匀媒质也成立，只是波前的形状 和传播方向可能发生变化。
e 2 z1
i z1
E%( x1
,
y1
)e
ik
xx1
yy1 z1
dx1dy1
(14)
菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射 情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1 与 衍射孔的线度(x1，y1)之间的相对大小。
r
z1
x2 y2 2z1Fra bibliotekxx1
z1
yy1
x12 y12 2z1
第二章 标量衍射理论
仅由惠更斯—菲涅耳原理无法解释子波 源这一特殊性质。
倾斜因子K()的具体函数形式也难以确定。
基尔霍夫利用格林函数，通过求解波动方 程，导出了严格的衍射积分公式，解决了上 述问题， 从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更 为可靠的波动理论基础上。
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
单色光场中任意一点Q的光振动M应满足 标量波动方程
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
一般地说，不论以什么方式改变光波波面， 或是以一定形式限制波面范围 或使振幅以一定分布衰减， 或是以一定的空间分布使相位延迟， 或是兼而有之， 都会引起衍射．所以障碍物的概念除去不
透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有 一定复振幅的透明片．
论其脉冲响应和传递函数．
2.1 基尔霍夫衍射理论
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射 公式
惠更斯—菲涅耳原理是在惠更斯子波假设 与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述 光传播过程的基本原理．
该原理指出：光场中任一给定曲面上的 诸面元可以看做是子波源，如果这些子波源 是相干的，则在波继续传播的空间上任一点 处的光振动，都可看做是这些子波源各自发 出的子波在该点相干叠加的结果．
因为总可以把任意复杂的光波分解成简 单的球面波的线性组合．波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理， 再把它们在Q点的贡献更加起来．
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条 件，孔径外的阴影区内U0(P)=0, 基尔霍夫衍 射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
当然，这里所说的光场中任一给定曲面 无须是等位相面，即不是原始惠更斯—菲涅 耳原理中所说的波面．
倾斜因子K()的具体函数形式也难以确定。
基尔霍夫利用格林函数，通过求解波动方 程，导出了严格的衍射积分公式，解决了上 述问题， 从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更 为可靠的波动理论基础上。
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
单色光场中任意一点Q的光振动M应满足 标量波动方程
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
一般地说，不论以什么方式改变光波波面， 或是以一定形式限制波面范围 或使振幅以一定分布衰减， 或是以一定的空间分布使相位延迟， 或是兼而有之， 都会引起衍射．所以障碍物的概念除去不
透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有 一定复振幅的透明片．
论其脉冲响应和传递函数．
2.1 基尔霍夫衍射理论
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射 公式
惠更斯—菲涅耳原理是在惠更斯子波假设 与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述 光传播过程的基本原理．
该原理指出：光场中任一给定曲面上的 诸面元可以看做是子波源，如果这些子波源 是相干的，则在波继续传播的空间上任一点 处的光振动，都可看做是这些子波源各自发 出的子波在该点相干叠加的结果．
因为总可以把任意复杂的光波分解成简 单的球面波的线性组合．波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理， 再把它们在Q点的贡献更加起来．
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条 件，孔径外的阴影区内U0(P)=0, 基尔霍夫衍 射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
当然，这里所说的光场中任一给定曲面 无须是等位相面，即不是原始惠更斯—菲涅 耳原理中所说的波面．
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其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们 正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。 其含义是单位时间内信号重复的次数 。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念 空间周期:相邻两条纹之 间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振 幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解 任何复杂的波都可以用球面波和平面波的 线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中 传播时形成球形的波面，称为球面波。 球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。 单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
求解得：
cos cos cos cos A( , , z ) A( , ,0) exp( jkz 1 cos 2 cos 2 )
cos 2 cos 2 1 讨论：①
传播过程只改变了角谱各个分量的相 对相位，引入了一个相位延迟因子。
②
cos 2 cos 2 1
1
{ A( f x , f y , z )} A( f x , f y , z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]df x df y
A( f x , f y , z ) F {U ( x, y, z )} U ( x, y, z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]dxdy
A(
cos cos , ,0)
cos cos A( , , z)
cos cos cos U 0 ( x, y,0) A(( , ,0) exp[ j 2 ( x U ( x, y , z )
cos cos cos y )]d ( )d ( )
U ( x, y, z ) F
1
{ A( f x , f y , z )} A( f x , f y , z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]df x df y
第二个公式的含义是：将所有的各种频率 成分的平面波进行叠加（合成），即可得 到该平面内的光场复振幅分布。 角谱分析就是要确定A0(fx,fy)和A(fx,fy)的关 系，即在频域研究光的传播。
A( f x , f y , z ) F {U ( x, y, z )} U ( x, y, z ) exp[ j 2 ( xf x yf y )]dxdy
这里F {}只对x,y变换，z看作常量
A(fx,fy,z)与U(x,y,z)是一对傅立叶变换对，
即有：
U ( x, y, z ) F
a0 jkr U ( P) e r
其中a0为离开点光源单位距离处的振幅， k 2 / 为波数，r为观察点P(x,y,z)离开 点光源的距离 。
光源在原点时 r ( x 2 y 2 z 2 )1/ 2 对于会聚球面波，则有
a0 jkr U ( P) e r
发散球面波
cos cos cos y )]d ( )d ( )
A((
cos cos cos , , z ) exp[ j 2 ( x
(2 k 2 )U ( p) 0
d2 cos cos cos cos 2 2 2 A( , , z ) k (1 cos cos ) A( , , z) 0 2 dz
z>0为发散球面波，z<0为会聚球面波
二、平面波 1、复振幅分布
平面波复振幅传播特点： 1、振幅不变；2、相位变化。
k k cos i k cos j k cos k
波矢量（简称波矢）
平面波复振幅可以表示为：
U ( x, y, z ) a exp( jk r )
一、复振幅分布的角谱
平面波的复振幅分布可以表示成空间频率 的函数。而任意的孔径平面上的光场复振 幅分布都可以分解为不同方向传播的平面 波，即一个任意的单色光场可以由不同空 间频率的平面波合成。如果对孔径面的光 场复振幅分布做傅立叶变换，则得到它的 空间频谱，此空间频谱即为复振幅分布的 角谱。
孔径面（x-y面）上一单色光场复振幅分 布为U(x,y,z)，则其角谱为：
则透射光场的角谱为：
A2 ( f x , f y ) F {U 2 ( x, y)} ( f x , f y ) ab sin c(af x ) sin c(bf y )
其中
fx cos , fy cos
二、平面波角谱的传播 1、角谱传播规律
已知孔径面（z=0）的角谱，运用亥姆霍兹 方程求解出观察面（z）的角谱，从而得到 平面波自由传播的频域解释。
例题：求被单位振幅的单色平面波垂直照 明的不透明矩形屏（axb）的透射光场角 谱。 解：入射光场复振幅分布为U1(x,y)=1;屏幕 透过率函数为：
x y t ( x, y ) 1 rect ( )rect ( ) a b
则透射光场复振幅分布为：
x y U 2 ( x, y) U1 ( x, y)t ( x, y) 1 rect ( )rect ( ) a b
会聚球面波
若点光源或会聚点不在原点，而为空间任 意一点，则
r [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 ]1/ 2
在实际光学问题中，我们考查的光场具有 下面两个特点： (1)考查光场在某一平面内的分布 (2)旁轴近似 对某一平面z为常数，且在旁轴近似下 2 2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 则
d
空间周期： dx 和 dy 空间频率：f x
1 1 fy dy dx 和
单色波在传播方向上以λ为周期重复出现， 则说在波矢方向 空间周期 dk= 面 x 相 同 1 空间频率 f f k
k
x：d x
cos
， f x
cos
（ x z 面）
z：d z
2 2
其中U0(x,y,0)为z=0的平面上的复振幅
例题：空间单色平面波的复振幅分布为：
U ( x, y, z) A exp[ j (5x 10 y 15z)]
求此平面波的空间频率、波数、波长及 方向余弦。 解：平面波的通用表达式为：
U ( x, y, z ) A exp[ jk ( x cos y cos z cos )] cos 2 cos 2 cos 2 1 2 2 比较得：k 5 14 k 5 14 3 2 1Fra bibliotek倏逝波
反过来，如果我们已经知道了系统对输入 角谱的作用，那么可以用线性不变系统分 析的方法得到输出角谱，经过逆傅立叶变 换则可以得到输出复振幅分布！
输入复振幅分布 傅立叶变换 输入角谱 线性不变系统 输出复振幅分布 逆傅立叶变换 输出角谱
2、传递函数
将孔径面和观察面的角谱分别看作是一个 线性不变系统的输入和输出函数的频谱。 那么系统的传递函数可以表示为：
此时cosγ=0。说明在与z轴垂直的方向 上的分量净能量流为零。
③
A(
cos 2 cos 2 1
1 cos 2 cos 2 为虚数，则
此时
cos cos cos cos , , z ) A( , ,0) exp( kz cos 2 cos 2 1)
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 r z 2z
a0 k U ( x, y) exp( jkz) exp{ j [( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]} z 2z
a0 k 2 2 U ( x, y) exp( jkz) exp{ j [( x x 0 ) ( y y0 ) ]} z 2z
cos
，f z
cos
0
dx
z dz
对任意方向传播的单色平面波
fx cos
,f y
cos
,f z
cos
fx
cos
,f y
cos
,f z
cos
表示在x，y，z轴上单位距离内的复振幅 周期变化的次数。空间频率的大小跟传播 的方向密切相关。