中学代数问题要点.doc

《中学代数研究》问题要点（内容与要求）

第一章 数与数系

§1.1 数系的历史发展

1、 数系的扩展过程：

（1）人类对于数的认识历史的整理

N 非零 →{}C R Q Q Q →→→⋃→++0

（2）由公理系统逻辑整理 C R Q Z N →→→→

（3）中小学数系扩展的过程：

{}C

R Q Q N N −−→−−−−→−−−−→−⋃−−−→−−→−+添虚数添无理数添负有理数添正分数添算术数集非零002、数系扩展的方法：（1）添加元素法

（2）构造法

3、中小学数系扩展的方法：

在中小学数学课程中，考虑到中小学生的心理特点和接受

能力，采用近代数学观点：添加元素并强调运算的方法进行。

4、 新“数”获得承认的主要原因：

算法是否合理，即运算的无矛盾性

§1.2 自然数系和0

1、 关于自然数的序数理论

（1）自然数的公理系统

（2）自然数运算的定义与性质

（3）了解自然数系的序结构

2、数学归纳法的逻辑依据是自然数（皮亚诺）公理五——归纳公理， 数学归纳法是自然数的序数理论合理性的保证。

3、数学归纳法的语言模式

4、中小学数系教学建议

（1）不用公理化方法构造数系；

（2）整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。

§1.3 从自然数系到整数环

1、负数的引入

（1）公理化方法引入

（2）中学有关教学顺序：

具有相反意义的量——运算法则——顺序——

——绝对值的（几何、代数）意义

2、整数在生活中的应用。

§1.4 有理数系

1、有理数的意义——成比例的数就是合理的即为有理数，

——不成比例的数就是无理的即为无理数。

2、有理数的三种定义（无本质区别）

（1）将单位1平均分为若干分，表示这样的一份或几份的数，称为分数。

（2）分数是两个整数相除所得的商。（小学定义）

p（有些形式化的定义）（3）分数是一对整数之比，)

q

(

q

两点注意：

a的意义（2）为什么分数的分母不能为零？

（1）

b

3、了解分数的形式化定义

4、了解Q是域

5、了解有理数系的性质

§1.5 实数系

1、了解什么是不可公度？

2、了解无理数的三种定义

3、证明无理数的方法——反证法

证明有理数的方法——写成分数形式或者证明是循环小数。

§1.6 复数系

1、了解复数的发展过程

2、了解复数的意义

3、了解中学复数的内容体系

4、掌握复数的引入

5、数集所具有性质总结归纳如下：

6、了解数系的理论在中小学数学教学中的要求；了解中小学数系理论的教学方法及教育价值。

第二章式、代数式与不等式

§2.1 数学符号简史

1、了解数学符号简史

§2.2 数学符号语言——代数式

1、 了解数学符号的历史

2、 了解数学符号的作用

3、 了解中学教学中数学符号的地位

§2.3 字母表示数

1、 了解中学字母表示数的定义方式与要求

2、 掌握字母表示数的四个层次

3、 掌握字母表示数的意义

§2.4 解 析 式

1、 了解解析式的定义及分类

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧初等超越式无理式分式整式（多项式）有理式代数式解析式 2、 掌握等式的定义及分类

3、 掌握不等式的定义及分类

4、了解中学解析式教学建议。

§2.5 绝对不等式的证明

1、 掌握不等式证明的方法：

常识性理解的论证、综合法和分析法、放缩法、构造法（构造函数、构造几何图形）、反证法

§2.6 条件不等式的求解

1、掌握不等式求解的方法：

转化思想、分类讨论、图解法、利用同解变形求解、含参数不等式求解的方法

第三章方程

§3.1 方程的历史发展及其科学价值

1、了解方程发展简史

2、了解方程在中学数学中的地位与作用

3、理解方程的科学价值

§3.2 方程的定义

1、理解方程的定义（中学的定义、逻辑定义、解析式定义）

2、理解方程的分类

§3.3 同解方程

1、理解一元方程同解的定义；

2、掌握同解判定定理。

§3.4 几种常见方程的变形

1、理解并掌握分式方程的三种变形及依据；

2、理解并掌握无理方程的四种变形及依据；

3、理解并掌握对数方程的变形及依据，掌握对数方程的求法及依据；

4、理解并掌握指数方程的变形及依据，掌握指数方程的求法及依据；

5、理解并掌握三角方程的变形及依据，掌握三角方程的求法及依据；

6、理解并掌握复合方程的变形及依据，掌握复合方程的求法及依据；

§3.5 解方程的常用方法

1、理解解方程及方程组的基本思想；

2、理解并掌握换元法，明确换元法的适用范围；

3、理解并掌握引入参数法，明确引入参数法的适用范围；

4、理解并掌握二项方程和三项方程的解法；

5、理解并掌握因式分解法，明确因式分解法的适用范围；

6、理解并掌握图像法，明确图像法的适用范围；

7、理解并掌握待定系数法，明确待定系数法的适用范围；

8、理解并掌握方程组的解法；

§3.6 一元三次、四次以及高次方程

1、了解一元三次方程的解法；

2、了解一元四次方程的解法；

3、了解五次及五次以上代数方程的解的情况。

4、了解代数基本定理。

§3.7 达公式、方程根的性质

1、理解并掌握一元二次、高次方程根与系数的关系；

2、理解并掌握利用变换求解一元高次方程的方法。

§3.8 不定方程与中国剩余定理

1、了解不定方程的特点，了解百鸡问题；

2、掌握二元一次不定方程、三元不定方程（组）的解法。

第四章函数

§4.1函数的发展及其科学价值

1、了解函数概念的地位；

2、了解函数概念的发展过程；

3、了解关于函数概念的三种学说；