得到描写自由粒子的平面波波函数： 利用关系

此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状 态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。
用分离变量法： (x, y, z,t) (x, y, z) f (t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到

2
2m
2
(
x,
y,
z)

U
(
x,
y,
z)
(
x,
y,
z)


(
1 x, y,
则可得
E p2 U (x，t) 2m

t

i

p2 2m

U
(
x，t)

2
2m
2
x2
U (x，t)
i

t
一维运动粒子含时薛定谔方程
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质量为m的粒子在势能为 U (x, y, z,t) 的外力 场中运动，含时薛定谔方程为：

2
2m
(
2


ei 2π
0
( Et

px )
对x取二阶偏导数
2 p2
x2
2
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对源自文库取一阶偏导数
i E
t
由于 E p2 可得
2m
2 2
2m x2
i

t
一维自由粒子含时的薛定谔方程
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2.在势场中粒子的薛定谔方程
势场中粒子的总能量
z
)
i f (t) 1 t f (t)
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令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)

2
2m
2
(x,
y,
z)
U
(x,
y,
z)
(x,
y,

z )
1 (x, y,
z)

E
i Et
f (t) e 2 2m (E U ) 0
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得到描写自由粒子的平面波波函数：
i2π ( Et px)
(x,t) 0e h
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物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明
光强度大
光波振幅平方大
光子在该处出现 的概率大
（波动观点） （微粒观点）
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大（波动观点） 单个粒子在该处出现（微粒观点） 的概率大
x2

2
y 2

2
z 2
) U (x, y, z,t)
i

t
拉普拉斯算符 2 2 2 2 x2 y2 z2

2
2 U (x, y, z,t) i

2m
t
一般的薛定谔方程
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3.定态薛定谔方程 讨论势能函数与时间无关的情形，即 U (x, y, z)
2
定态薛定谔 方程
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选择进入下一节 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
归一化条 件
及单值、连续、有限等标准化条件
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例题13-15 作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范
围内。已知其波函数为 (x) Asin(π x a) 试求：（1）常数A；
（2）粒子在0到a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？
解:（1）由归一化条件得:
2π x kπ， k 0，1， 2， 3， a
因0<x<a/2,故得
x a 粒子出现的概率最大。 2
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二、薛定谔方程
薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子 在外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程。
1.自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程

(
x,
t)
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在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概 率正比于该时刻、该地点波函数的平方。
在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征) 出现粒子的概率为
2 dV dV
2称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单
位体积内粒子出现的概率。
波函数还须满足：
2 dV 1
§13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程
一、物质波函数及其统计诠释
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系 的物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。
机械波 或 利用关系
y(x,t) y0 cos 2( t x )
y( x, t )

y ei2π(tx ) 0
E h, h P
a A2 sin2 (π x a)dx 1 0
A a 2
（2）粒子的概率密度为:
2 2 sin2π x
aa
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在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为
a
2

2dV

2
a 2 sin2π xdx 1
0
a0
a2
（3）概率最大的位置应满足
d (x)2
dx 0