9-03-函数的可积性问题(I)
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定理 9.4 函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，则 f ( x) 在区间[a, b]上可积。
定理 9.5 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上有界， 且只有有限多个间断点，则 f ( x) 在区间 [a, b]上可积。
定理 9.6 如果函数 f ( x) 是区间[a,b] 上的单调函 数，则函数 f ( x)在区间[a,b] 上可积。
证明2 我们也可从正面来证明：可积
有界。
因为 f 在[a,b] 上可积，记f 在[a,b] 上的积分为I ，
则对于 =1, 必定存在[a,b] 的一个分割T ，使得
n
f i xi I 1
i 1
f
1
1
xk
I 1
n i2
f
i xi
此时,把在xi1, xi 中的i固定下来,i 2,3, , n,
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解 根据定理可知，该函数的定积分是存在 的。并且可以利用积分的区间可加性得到：
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6
0
源自文库
1
o 12x
休 息 ， 休 息 一 会 ！
n
D i xi 0。所以无论 T 多么小，只要i取
i 1
法不同，积分和就有不同的极限，说明D x在
0,1上不可积。
2、可积的充要条件
设T i ,i 1, 2, , n为对a,b的任意一个分割，由
f 在a,b上有界，则 f 在每个i上有上、下确界：
Mi
sup
i
f
x，mi
inf i
f
在区间[a, b]上有界。
证明 用反证法。若f在[a,b] 上无界，则对于[a,b]
上的任意一个分割T ，必定存在属于T 的某个小区 间Δk ， f 在Δk 上无界。在i≠k 的 各个小区间Δi上任
意取ξi ，并记
G f i xi ik
现在对于任意大的正数M，由于f 在Δk 上无界，故
存在ξkΔk ，使得
所以上式右边是一个确定的正数，而1 是在
x0 , x1上任意活动的. 这样，我们可以证明 f 在Δ1= [x0 , x1]上是有 界的，同样，可以证明 f 在Δi= [xi-1 , xi]上都是有 界的，所以 f 在[a,b]上是有界的。
在[a,b] 上f 有界是可积的必要条件,即有界未必可积。
比如，因为函数 1 在(0,1]上无界，所以 x
§3 函数的可积性问题(I)
牛顿—莱布尼茨公式的证明过程显示了： 闭区间上的连续函数是Riemann可积的。
那么，一般而言，闭区间上的函数需满 足怎样的条件，使其是Riemann可积的呢？
函数的可积性问题是一个复杂的问题。
1、可积的必要条件
定理9.2 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上可积，则 f ( x)
f
k
GM
xk
G f i xi ik
于是有 n
f i xi f k xk f i xi
i 1
ik
GM
xk
xk
G
M
由此可见，对于无论多么小的 T ，按上述方
法选取点集 i 时，总能使得积分和的绝对值大
于任意给定的M>0,而这与 f 在[a,b] 上可积矛盾。
定理9.2 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上可积，则 f ( x) 在区间[a, b]上有界。
T
1
f b f a T ，
由此可见， 0,只要 T
，
f b f a
就有 ixi ，所以f 在a,b上可积。
T
注1 单调函数如果有间断点，则其间断点 必定为第一类间断点。（P73/Ex6）
注2 单调函数可以有至多可列多个间断点， 但其仍然是Riemann可积的。
例2
设
f
(
x)
2x 5
0 1
证明
不失一般性，设f 为增函数，且f b f a，
否则,如果f b f a，则 f 在a,b上为常数，
当然是可积的。
对a,b的任一分割T，f 在T所属的每个小区间
i xi1, xi 上的振幅为i f xi f xi1 .
n
于是有 ixi f xi f xi1 T
符号 1 1 dx表示的不是一个定积分。 0x
例 1 在[0,1] 上 Dirichlet 函数 有界但不可积。
显然 D x 1, x 0,1。
D
x
1 0, x
, xQ R\Q
对于0,1的任一分割T，由有理数与无理数在实
数中的稠密性，在分割T的任一i上，当i都取有
n
理数时， D i xi 1，而当i都取无理数时， i 1
x
n
n
于是我们分别称S T Mixi，s T mixi
i 1
i 1
为f 关于分割T的达布 Darboux上和与达布下和，
任取i i ，显然有s T f i xi S T
T
与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与i 无关。
定理 9.3 函数f 在a,b上可积的充要 条件是： 0, a,b的分割T i，
使得S T s T .
记i Mi mi，称为是函数f 在i上的振幅，
S T s T ixi
T
定理 9.3 函数f 在a,b上可积的充要 条件是： 0, a,b的分割T i，
使得 ixi . T
3.可积的充分条件
在前面定理 9.1 证明的中我们已经看到了：函数
f ( x)在区间[a, b]上连续，则 f ( x) 在区间[a, b] 上可积。
定理 9.5 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上有界， 且只有有限多个间断点，则 f ( x) 在区间 [a, b]上可积。
定理 9.6 如果函数 f ( x) 是区间[a,b] 上的单调函 数，则函数 f ( x)在区间[a,b] 上可积。
证明2 我们也可从正面来证明：可积
有界。
因为 f 在[a,b] 上可积，记f 在[a,b] 上的积分为I ，
则对于 =1, 必定存在[a,b] 的一个分割T ，使得
n
f i xi I 1
i 1
f
1
1
xk
I 1
n i2
f
i xi
此时,把在xi1, xi 中的i固定下来,i 2,3, , n,
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解 根据定理可知，该函数的定积分是存在 的。并且可以利用积分的区间可加性得到：
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6
0
源自文库
1
o 12x
休 息 ， 休 息 一 会 ！
n
D i xi 0。所以无论 T 多么小，只要i取
i 1
法不同，积分和就有不同的极限，说明D x在
0,1上不可积。
2、可积的充要条件
设T i ,i 1, 2, , n为对a,b的任意一个分割，由
f 在a,b上有界，则 f 在每个i上有上、下确界：
Mi
sup
i
f
x，mi
inf i
f
在区间[a, b]上有界。
证明 用反证法。若f在[a,b] 上无界，则对于[a,b]
上的任意一个分割T ，必定存在属于T 的某个小区 间Δk ， f 在Δk 上无界。在i≠k 的 各个小区间Δi上任
意取ξi ，并记
G f i xi ik
现在对于任意大的正数M，由于f 在Δk 上无界，故
存在ξkΔk ，使得
所以上式右边是一个确定的正数，而1 是在
x0 , x1上任意活动的. 这样，我们可以证明 f 在Δ1= [x0 , x1]上是有 界的，同样，可以证明 f 在Δi= [xi-1 , xi]上都是有 界的，所以 f 在[a,b]上是有界的。
在[a,b] 上f 有界是可积的必要条件,即有界未必可积。
比如，因为函数 1 在(0,1]上无界，所以 x
§3 函数的可积性问题(I)
牛顿—莱布尼茨公式的证明过程显示了： 闭区间上的连续函数是Riemann可积的。
那么，一般而言，闭区间上的函数需满 足怎样的条件，使其是Riemann可积的呢？
函数的可积性问题是一个复杂的问题。
1、可积的必要条件
定理9.2 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上可积，则 f ( x)
f
k
GM
xk
G f i xi ik
于是有 n
f i xi f k xk f i xi
i 1
ik
GM
xk
xk
G
M
由此可见，对于无论多么小的 T ，按上述方
法选取点集 i 时，总能使得积分和的绝对值大
于任意给定的M>0,而这与 f 在[a,b] 上可积矛盾。
定理9.2 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上可积，则 f ( x) 在区间[a, b]上有界。
T
1
f b f a T ，
由此可见， 0,只要 T
，
f b f a
就有 ixi ，所以f 在a,b上可积。
T
注1 单调函数如果有间断点，则其间断点 必定为第一类间断点。（P73/Ex6）
注2 单调函数可以有至多可列多个间断点， 但其仍然是Riemann可积的。
例2
设
f
(
x)
2x 5
0 1
证明
不失一般性，设f 为增函数，且f b f a，
否则,如果f b f a，则 f 在a,b上为常数，
当然是可积的。
对a,b的任一分割T，f 在T所属的每个小区间
i xi1, xi 上的振幅为i f xi f xi1 .
n
于是有 ixi f xi f xi1 T
符号 1 1 dx表示的不是一个定积分。 0x
例 1 在[0,1] 上 Dirichlet 函数 有界但不可积。
显然 D x 1, x 0,1。
D
x
1 0, x
, xQ R\Q
对于0,1的任一分割T，由有理数与无理数在实
数中的稠密性，在分割T的任一i上，当i都取有
n
理数时， D i xi 1，而当i都取无理数时， i 1
x
n
n
于是我们分别称S T Mixi，s T mixi
i 1
i 1
为f 关于分割T的达布 Darboux上和与达布下和，
任取i i ，显然有s T f i xi S T
T
与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与i 无关。
定理 9.3 函数f 在a,b上可积的充要 条件是： 0, a,b的分割T i，
使得S T s T .
记i Mi mi，称为是函数f 在i上的振幅，
S T s T ixi
T
定理 9.3 函数f 在a,b上可积的充要 条件是： 0, a,b的分割T i，
使得 ixi . T
3.可积的充分条件
在前面定理 9.1 证明的中我们已经看到了：函数
f ( x)在区间[a, b]上连续，则 f ( x) 在区间[a, b] 上可积。