9-03-函数的可积性问题(I)
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分可积准则定积分性质
物理应用
速度与加速度
定积分在物理中常用于计算速度和加速 度，例如匀加速直线运动的速度和位移 。
VS
功与热量
定积分也可用于计算力在某个区间上所做 的功或物体吸收或释放的热量。
04
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接法是计算定积分的基本方法，通过将积 分区间划分为若干小区间，再求每个小区间 的定积分，最后求和得到原定积分的值。
详细描述
直接法的基本思想是将积分区间[a, b]划分 为n个小区间，每个小区间的长度为$Delta x = frac{b-a}{n}$，然后在每个小区间上任 取一点$x_i$，$i=1,2,ldots,n$，计算该点 处的函数值$f(x_i)$与小区间的长度$Delta x$的乘积$f(x_i)Delta x$，再将所有这些乘 积相加，即得原定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$ 的值。
定积分可积准则与定积分 性质
目录
• 定积分可积准则 • 定积分性质 • 定积分的应用 • 定积分的计算方法
01
定积分可积准则
有界性准则
总结词
如果被积函数在积分区间上有界，则该函数是可积的。
详细描述
有界性准则指出，如果函数在积分区间上既有上界又有下界，则该函数是可积的。这是因为有界函数的图像在x 轴上方和下方都有界限，不会出现无穷大或无穷小的值，因此可以通过有限个矩形来近似计算定积分。
$int_{c}^{d}g'(t)dt$，从而简化计算。
分部积分法
要点一
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导，再对求导 后的结果进行积分，从而计算出原定积分的值。
要点二
详细描述
分部积分法的基本思想是将两个函数的乘积进行求导，再对 求导后的结果进行积分。具体来说，如果存在两个函数 $u(x)$和$v(x)$，且$u'(x)=f(x)$和$v'(x)=g(x)$，那么可以 将原定积分$int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$转化为 $int_{a}^{b}[u(x)v'(x)-u'(x)v(x)]dx$，从而计算出原定积分 的值。
《数学分析Ⅲ》期末考试卷03.doc
数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2, 3, 4, 5题每题5分，共26分）du = ____________________ o2、设厶：x 2 + y 2 = a 2,则 j xdy - ydx =L4、 改变累次积分 pyj7（x, y ）么的次序为 ________________________ o5、 设 £＞：x+yW], 贝＞J jj （A /5 + V ）dxdy = _______________________ 二、断题（正确的打“O” ；错谋的打“X”；每题3分, 共15分） 判1若函数.f （x, y ）在点/Xx 0, y°）连续，则函数.f （x, y ）/?（x 0, y°）必存在一点阶偏导数。
（） 2、 若函数/（x, y ）在点〃（x （）, y 0）可微，则函数/（x, y ）在点/7（x （）, y （））连续。
（）3、 若函数/（x, y ）在点p （x°, y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则 必有 几（勺，儿）二几（％‘儿）。
（）4、 J f （x,y ）dx= J /（x, y ）dx o（ ）L （A 9B ） UB ,A ）5、已知u = In Jx? +于,则冀 OXdu 3、 设厶: x 二3cost,则曲线积分J （x 2+y 2）ds = L若函数/（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x, y）在D上可积。
（）1、用格林公式计算曲线积分I = j (e K sin y - 3y)dx + (e x cos y - 3)dy ,AO其中AO 为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x 2 + y 2 =处上半部分的路线。
2、计算三重积分 + >,2 )dxdydz ,V其中是由抛物ilHz = x 24-/与平HHz 二4围成的立体。
每小题9分，共45分)三、计算题I = JJdS ,s4、计算第二型曲面积分其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。
二阶线性微分方程可积的一个条件
定理２．４若Ｐ一１＋ＩＱｄｚ，则（１）通解为
一ＩＰａｚ
ｒ ｌＱａｚ
Ｙ—Ｐ
（ｃ１＋Ｃ２ １８ ｄｘ）
， Ｉ。Ｑ“
定理２．５若Ｐ＋ｘＱ一÷Ｐ ，则（１）的通解为
一ｆＰ山
。 ＾
一 — ＰＰ＋ｘＱＬＬ１十２ｊ ｏ，十
３ 应用
问题１解方程ｙ”＋（１＋吾）了７＋丢ｙ—ｏ
，
。Ｐ∞ｄｚｊ］
解：Ｐ一１＋导，Ｑ一丢适合１～Ｐ＋Ｑ一一口－Ｊ纰，由定理２．３，方程组解为
２００１年２月 第１６卷第１期
咸阳师范专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉａｎｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ’ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｆｅｂ．２００１ Ｖ０１．１６ Ｎｏ．１
二阶线性微分方程可积的一个条件
冯录祥
（石河子大学数学系，新疆石河子８３２０００）
摘要：用降阶法给出二阶变系数线性微分方程可积的一个条件，然后给出若干求解方程的通
下载时间：2010年8月8日
万方数据
二阶线性微分方程可积的一个条件
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
冯录祥， Feng Luxiang 石河子大学数学系,新疆,石河子,832000
咸阳师范专科学校学报 JOURNAL OF XIANYANG TEACHERS COLLEGE 2001，16(1) 5次
数学的实践与认识2008,38(4)
在偏微分方程Riemann解法和微分方程裂变思想的启发下,引入了微分方程乘子函数(解)和乘子解法的概念,系统地讨论了二阶线性微分方程的乘子可 积性,得到了二阶线性微分方程乘子可积的条件以及Riccati方程可积的充分必要条件,并分别给出了二阶线性微分方程和Riccati方程在乘子解下的通积 分.
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
函数的奇偶性与周期性问题
02
周期性基本概念
周期函数定义与性质
01
02
03
04
周期函数定义
周期性
对于函数$f(x)$，如果存在一 个正数$T$，使得对于所有$x$ 都有$f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$为周期函数，$T$为它的 一个周期。
函数在每个周期内的图像和整 个函数的图像完全相同。
无界性
周期函数不一定有界，例如正 弦函数和余弦函数。
05
典型例题分析与解答
典型例题介绍及解题思路
例题1
判断函数$f(x) = x^3 - x$的奇偶性 ，并证明。
解题思路
首先根据奇偶性的定义，分别计算 $f(-x)$并与$f(x)$比较，判断其是否 满足奇函数或偶函数的条件。
例题2
求函数$f(x) = sin(2x) + cos(3x)$的 周期。
03
奇偶性与周期性关系探讨
奇偶性对周期性的影响
奇函数在一个周期内的图像关于原点对称，因此其 周期必须是原点的两倍。
偶函数在一个周期内的图像关于y轴对称，因此其周 期可以是任意正数。
对于非奇非偶函数，其周期性不受奇偶性的直接影 响，需要通过其他方式判断。
周期性对奇偶性的影响
02
01
03
如果一个函数具有周期性，那么它的奇偶性将在一个 周期内重复出现。
函数的奇偶性与周期性问题
汇报人:XX
20XX-01-26
目
CONTENCT
录
• 奇偶性基本概念 • 周期性基本概念 • 奇偶性与周期性关系探讨 • 判断方法与应用举例 • 典型例题分析与解答 • 练习题与自测题
01
奇偶性基本概念
奇函数定义与性质
复变函数的反常积分
高师理科学刊Journal of Science of Teachers' College and University 第41卷第1期2021年 1月Vol. 41 No.1Jan. 2021文章编号：1007-9831 (2020) 01-0056-03复变函数的反常积分苏新卫，翟羽(中国矿业大学(北京)理学院，北京100083)摘要：复变函数积分是复变函数论课程的重要内容之一，当积分路径是复平面上的光滑曲线，被 积函数在积分路径上连续时，复变函数积分存在且可以化为定积分.应用无界函数的反常实积分， 给出光滑曲线上复变函数反常积分的定义，并举例判断积分的收敛性.关键词：复积分；反常积分；定积分中图分类号：O172.2 : G642.0 文献标识码：A doi ： 10.3969/j.issn.1007-9831.2021.01.014Abnormal integral of complex variable functionsSU Xinwei, ZHAI Yu(School of Science , China University of Mining and Technology (Beijing), Beijing 100083, China )Abstract : The integral of complex variable functions is one of the important contents of the course of complex function theory. When the integral path is a smooth curve on the complex plane and the integrand is continuous on the integral path, the complex integral exists and can be converted into definite integral. By the abnormal real integral of unbounded function , the definitions of abnormal integral of complex variable functions on smooth curve are given. Some examples are presented to judge their convergences.Key words : complex integral ; abnormal integral ; definite integral复变函数积分作为复变函数论课程的重要内容之一，积分公式是多种多样的［1-6］.若积分路径是复平面 上光滑曲线，被积函数在积分路径上连续，则积分存在且可化为定积分计算.设C 是复平面上从点A 到点 B 且参数方程为z(t) = x(t) + iy(t)的光滑有向曲线，函数f ⑵=u(x , y ) + i v (x , y)在C 上连续，贝VJ c f (z )d z = J a f (z(t ))z '(t )d t = J a (u(x(t ), y(t)) + iv(x(t), y(t)))(x'(t ) + i y '(t ))d t其中：积分下限a 是起点A 对应的参数t 值；积分上限b 是终点B 对应的参数t 值.类似于实积分，学生初学复变函数积分过程中容易出现疑问：函数f (z )沿C 可积的必要条件为f (z )沿 C 有界，那么f (z )沿C 无界时是否可以定义一种广义积分.针对这种疑问，根据多年复变函数论课程教学 经验，受高等数学教材及有关文献中无界函数反常实积分的启发，给出当f (z )沿C 无界时反常积分的定义 ，并说明定义的合理性，然后应用定义举例判断积分［7-9］的收敛性，旨在拓宽学生解题思路，并为复变函数 论课程的教学提供一些参考.1反常复积分把无界函数的反常实积分推广到复变函数的情形.设C 是复平面上起点为A 终点为B 且参数方程为收稿日期：2020-07-14基金项目：中国矿业大学(北京)课程建设与教改项目(J190806, J190812)作者简介：苏新卫(1971-),女，山东宁津人，副教授，硕士，从事复变函数及微分方程研究.E-mail ： *************第1期苏新卫，等：复变函数的反常积分57z(t) = x(t) + iy(t), t & [a, b]的光滑有向曲线，不失一般性，不妨假设C 的正方向和参数t 增加的方向一致， 并记 f (z(t)) = U (t ) + iV (t ), t e [a , b ].定义1设函数f (z )在C 上除去点A 外连续，f (z )沿路径C 在点A 的邻域内无界，对于e> 0，如果 极限lim 「f (z(t ))z'(t )d t 存在，则称此极限值为函数f ⑵在C 上的广义积分，即f f (z)dz =e ® +0 J a + eJ C l ®+0 f f (z (t ))z(t )d t ，此时称积分 f c f (z )d z 收敛.若极限 1i n +o f ^+e f (z (t ))z ，(t )d t 不存在，则称积分 f ©f (z )d z 发散.定义2设函数f (z )在C 上除去点B 外连续，f (z )沿路径C 在点B 的邻域内无界，对于1> 0，如果 极限lim 广1 f (z (t ))z\t )d t 存在，则称此极限值为函数f (z )在C 上的广义积分，即f f (z )d z = e ® +0」a J C lim 「’f (z (t ))z(t )d t ，此时称积分f f (z )d z 收敛.若极限lim P ' f (z (t ))z '(t )d t 不存在，则称积分 1®+0J a J C e ® +0 J af C f (z )d z 发散•定义3设函数f (z )在C 上除去内部点M 外连续，点M 对应的参数t = c ，f (z )沿路径C 在点M 的邻域内无界，对于e > 0，如果极限lim 「"f (z (t ))z ' (t )d t 和lim 「f (z (t ))z'(t)dt 都存在，则定义f f (z)dz =1®+OJ a 1®+OJ c +1 J C lim 「’f (z (t ))z '(t )d t + lim 「f (z (t ))z '(t )d t 为函数f ⑵在曲线C 上的广义积分，此时称积分f f (z )d z 收1®+0 a 1®+0 c +1C 敛 否则，称积分f C f (z )d z 发散.注1定义1~2是合理的，不失一般性，只说明定义1的合理性.事实上，如果函数f (z )在C 上除去 点A 外连续，f ⑵沿路径C 在点A 的邻域内无界，则有U(t ), V (t )在(a , b ]上连续，在a 的右邻域内至少 有一个无界.注意到函数f (z )在C 上连续时，有f C f (z)dz = f J (z (t )) z (t )d t = f b (U (t ) + i V (t ))( x - (t ) + i y(t )) d t =f b (U (t ) x '(t ) - V (t ) y -(t ) )d t + i f b(U (t ) y -(t ) + V (t ) x '(t) )d t 且x'(t)及y'(t )在[a , b ]上连续有界，根据无界函数反常实积分的定义可知，如果极限lim f ^(U(t )x '(t )一 V (t )y '(t ))d t + i lim f ^(U (t )y'(t ) + V (t )x(t ))d t即 f 1m i 0f b +1 f (z(t ))z '(t )d t 存在，则可说明积分 f ：(U (t )x '(t )-V(t )y (t ))d t + i f b (U(t )y (t ) + V (t )x '(t )))d t 即 f C f (z )d z 收敛，故定义1是合理的.注2如果被积函数f (z )在C 上除去有限个点外连续，则当f (z )沿路径C 有界时，也可以应用定义 1~3中的方法计算积分.2应用举例例1计算积分f C 晋h ，C 是起点为z i = 0,终点为z 2 = i 的直线段.解 复变对数函数的主支ln (z ) = ln (|z |) + iarg z 是单值函数，其中： -n < arg z £ n .由于arg z 在原点和 负实轴上不连续，ln (z )在原点和负实轴上不连续，从而皿引在C 上的点z = 0不连续，并且四沿路径zzC 在z = 0的邻域内无界，因此按定义1计算积分f c罟d z . C 的参数方程为z (t ) = i t , t e [0, 1]，对于 1> 0，有f 1 =f 1( t %=2(ln (t ))[+1 鈔(t )i 1=-2(ln (1)『-i 評(1) ⑴58高 师 理 科 学 刊第 41 卷显然，当e ® 0时，式(1)极限不存在，所以积分J c 罟d z 发散.例2计算积分J c|d z ，C 是起点为勺=-1 - i ，终点为z 2 = 0的直线段.解 由于1在C 上的点z = 0处不连续且沿路径C 在z = 0的邻域内无界，因此用定义2计算该积分.Cz的参数方程为z (t ) = t + i t , t g [-1, 0]，对于e 〉0，有J 1 —1—(1 + i)d t = ln (t )| 1 = ln(-e ) 一 ln(-1) = ln (e ) + in 一 ln (1)- in = ln (e ) (2)当e ®0时，积分(2)极限不存在，所以积分Jc |d z 发散.例3计算积分J cln (z )d z ，C 是起点为z 1 =-i ，终点为z 2 = i 的直线段.解 注意到ln (z )在C 上的点z = 0处不连续且沿路径C 在z = 0的邻域内无界，因此用定义3计算积分 J C In (z )d z - C 的参数方程为 z (t ) = i t , t g [-1, 1]，对于 e > 0，有J :iln(i t )d t =i J ：]ln (t ) + i -2* = i t ln (t )|： -i(1 -e )-^-(1 -e )= -i e ln (e )-i(1 -e )-^-(1 -e ) (3)J ；iln (i t )d t =i J ；]ln(-t )-i -2^d t =i t ln (-t )| -i(1 -e ) + -2-(1 -e )= -i e ln (e )-i(1 -e ) + 2(1 -e )(4)求积分(3)〜(4)两端当e ® 0时的极限，再求和可得J cIn (z )d z = -2i .•xy 已知 f (z ) = ] x 2 + y 2z 丰0例4C 是从z 1 =-1+i 到原点，然后再从原点到z 2 = 1 + i 的折线段，计算0 z = 0积分 J Cln (z )d z -解 由于f (z )在C 上有不连续点z = 0，f (z )沿着C 在z = 0的邻域内有界，由注2可知，可按定义3 计算积分J © !n (z )d z - C 上从可=-1+i 到原点一段的参数方程为z (t ) = t - i t , t g [-1, 0]，从原点到z ? = 1 + i一段的参数方程为z (t ) = t +i t , t e [0, 1].对于e >- -t 2 1 1120，有J 二市d-i )d t —JDd-e )，J e k (1+i)d t =2(1+i)(1 -e )，所以积分 J cIn (z )d z 收敛，且 J c f (z )d z = i .3结语本文给出了复变函数反常积分的定义，是实函数的无界函数反常积分到复变函数的推广.在计算沿着 指定路径的复变函数积分时，首先应判断被积函数在积分路径上的有界性、连续性及解析性，从而正确地 选用不同的方法进行计算.在复变函数反常积分中，牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法仍然 成立，这里不再赘述.参考文献：[1]孙立伟，王晓华，张志旭.复变函数积分教学方法的探讨[J].高师理科学刊，2018, 38 (4)： 60-63, 77[2]薛宾.关于复变函数积分的计算方法探讨[J].数学学习与研究，2017 (22)： 3, 5[3]刘卉.复变函数中闭曲线积分的类型及求法归纳[J].课程教育研究，2018 (44)： 235[4]邓冠铁.复变函数论[M].北京：北京师范大学出版社，2013[5]李红，谢松法.复变函数与积分变换[M] 5版.北京：高等教育出版社，2018[6]钟玉泉.复变函数论[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2004[7]同济大学数学系.高等数学(上册)[M] 6版.北京：高等教育出版社，2007[8]李凤彦，戚晓秋.一个瑕积分的三种解法及推广[J].大学数学，2015, 31(6)： 104-106[9] 龙爱芳.关于反常积分敛散性的一个判定方法[J].高等数学研究，2019 (6)： 52-53, 60。
作用于微分形式的复合算子T。D。G的高阶可积性
第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性赵鹏飞,㊀毕淑娟,㊀刘振杰(哈尔滨学院信息工程学院,哈尔滨150080)摘㊀要:利用微分形式的Poincaré-Sobolev 不等式证明了当1<p <n 时复合算子T D G 的高阶L P 可积性,然后进一步讨论了p ȡn 的情形,获得了复合算子的高阶范数估计,并利用该结果对L p 可积微分形式证明了局部加权范数不等式成立㊂关键词:复合算子;高阶可积性;微分形式DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.018中图分类号:O175.3文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0144-05Higher Integrability of the Composite Operator T D Gfor Differential FormsZHAO Pengfei,㊀BI Shujuan,㊀LIU Zhenjie(School of Information Engineering,Harbin University,Harbin 150080,China)Abstract :We firstly prove the higher integrability of the composite operator T D G by using Poincaré-Sobolev inequalities when 1<p <n .Then further consider the case of p ȡn and obtain the higher order norm estimation of composite operators,by which theweighted norm inequality for L p integrable differential forms is proved.Keywords :the composite operator;higher integrability;differential forms㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2021-11-08基金项目:黑龙江省自然科学基金(LH2020A015).作者简介:毕淑娟(1970 ),女,博士,副教授;刘振杰(1969 ),男,博士,副教授.通信作者:赵鹏飞(1981 ),男,硕士,E-mail:pengfeizhao81@.0㊀引㊀言近年来,随着对微分形式算子理论研究的展开,算子的有界性及其高阶可积性对研究拟正则映射和微分形式A -调和方程理论有十分重要的意义[1-8]㊂2009年,Ding 等[9-10]首先对同伦算子与投影算子的复合算子的奇异积分问题进行了研究㊂之后,Bi 等[11-13]对同伦算子及其复合算子的强(p ,q )型不等式进行了研究,证明了算子在加权L p 空间的有界性㊂近几年,Y.Xing [14]㊁H.Gao [6-7,15]㊁Y.Lu [16-17]和Y.Tong [18]等对算子的高阶可积性以及拟线性椭圆方程解的全局可积性进行了研究,取得了一系列丰富的成果㊂本文的主要目的是研究同伦算子T ㊁Dirac 算子D 和Green 算子G 的复合算子T D G 的高阶可积性,并进一步得到当p ȡn 时,复合算子的高阶L p 范数估计㊂为了方便,首先介绍一些符号和术语㊂设E ⊂ℝn 为一有界域,|E |为E 的Lebesgue 测度,n ȡ2㊂Λl (ℝn )表示定义在ℝn 上的l -形式全体所构成的空间㊂D ᶄ(E ,Λl )表示定义在E 上的所有可微l -形式所构成的空间㊂L p loc (E ,Λl)表示定义在E 上的系数局部可积的l -形式全体所构成的空间㊂1㊀预备知识Hodge 星算子定义为∗u =ð1ɤi 1< <i k ɤn(-1)σu i 1, ,i k (x )dx j 1Λ Λdx j n -k其中j 1< <j n -k ,(i 1, ,i k ,j 1, ,j n -k )为(1, ,n )的全排列,σ为全排列的逆序数㊂利用外微分算子d 和Hodge 星算子可以定义Hodge 上微分算子d ∗=(-1)nl +1∗d ∗,Dirac 算子定义为D =d +d ∗㊂同伦算子T 为T.Iwaniec 和A.Lutoborski 在证明Poincaré引理过程中引入的一个重要算子㊂对每个y ɪE ,首先定义一个线性算子k y :C ɕ(E ,Λl)ңC ɕ(E ,Λl -1)为(k y u )(x ;ξ1, ,ξl -1)=ʏ10tl -1u (tx +y -ty ;x -y ,ξ1, ,ξl -1)d t定义1㊀同伦算子T :C ɕ(E ,Λl )ңC ɕ(E ,Λl -1)定义为Tu =ʏEφ(y )k yu d y其中φɪC ɕ0(E )且满足ʏEφ(y )d y =1㊂然后T.Iwaniec 等研究了同伦算子的L p理论,将同伦算子的定义拓展到T:L 1loc(E ,Λl)ңL 1loc(E ,Λl -1),并证明了对所有的u ɪΩq ,p (E ,Λl ),有如下分解u =dTu +Tdu(1)其中Ωq ,p (E ,Λl -1)表示满足u ɪL p(E ,Λl -1)且du ɪL p(E ,Λl)的全体(l -1)-形式所构成的集合㊂对于算子T 有如下估计式Tω s ,B ɤC diam(B ) ω s ,B (2)成立,其中B 为ℝn 中的球,1<p <n ㊂关于同伦算子的更多性质可参看文[1],[19]㊂令u ɪD ᶄ(E ,Λl ),l -形式u E ɪD ᶄ(E ,Λl )定义为u E =|E |-1ʏEu (y )d y ,l =0dTu ,l =1,2, ,n{定义2[2]㊀Green 算子G 定义为G :C ɕ(E ,Λl )ңΗʅɘC ɕ(E ,Λl )其中Gu 是ΗʅɘC ɕ(E ,Λl )中满足Poisson 方程ΔGu =u -H (u )的唯一解㊂如果w (x )>0a.e.且在ℝn 上局部可积,则称w (x )为权函数㊂L p (E ,Λl ,w )表示加权的L p 空间,其范数定义为 u p ,E ,w =(ʏE|u |pw (x )d x )1/p㊂1972年,B.Muckenhoupt [20]在研究极大算子的性质时给出了A r 权的概念㊂定义3㊀如果定义在E ⊂ℝn 上的权函数w (x )满足sup B ⊂E 1|B |ʏBw d x ()1|B |ʏB1w()1r -1d x()r -1<ɕ则称w (x )在E 上满足A r (E )条件㊂下面的Poincaré-Sobolev 不等式出现在文[1]中㊂引理1㊀若u ɪD ᶄ(B ,Λl ),du ɪL p (B ,Λl +1),l =0,1, ,n ,则u -u B ɪL npn -p (B ,Λl )且有不等式(ʏB|u -u B |np n -pd x )n -p npɤC p (n )(ʏB|du |pd x )1p其中B 为有界凸区域中的任意球体㊂引理2[2]㊀设u 为定义在E 上的光滑的微分形式,1<s <ɕ,则存在一个与u 无关而与s 有关的正常数C (s ),使得不等式dd ∗Gu s ,B + d ∗dGu s ,B + dGu s ,B + d ∗Gu s ,B + Gu s ,B ɤC (s ) u s ,B对所有满足B ⊂E 的球都成立㊂设φ(x )为定义在[0,ɕ)上的严格增凸函数,φ(0)=0,u 为定义在有界域E ⊂ℝn 上满足对任意λ>0及μ({x ɪE :|u -u E |>0})>0都有φ(λ|u |+|u E |)ɪL 1(E ,μ)的微分形式,其中,μ为由d μ=w (x )d x 定义的Radon 测度,w (x )为权函数㊂可以证明对任意的a >0,ʏEφ12|u -u E|()d μɤC 1ʏEφ(a |u |)d μɤC 2ʏEφ(2a |u -u E|)d μ(3)其中C 1,C 2为正常数㊂2㊀定理证明定理1㊀设u ɪL p loc (E ,Λl)为定义在E 上的光滑微分形式,1<p <n ,D 为Dirac 算子,G 为Green 算子,T 为同伦算子,0<s <np (n -p )-1,则存在与u 无关,与n ,s ,p 有关的常数C 使得TDGu s ,B ɤC u p ,σB其中:B ⊂σB ⊂E ,σ为某个大于1的常数㊂541第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性证明:这里将分成两步来完成证明㊂1)如果|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0则由引理1和引理2,有TDGu-(TDGu)B np n-p,BɤC p(n) dTDGu p,BɤC p(n) DGu-TdDGu p,BɤC p(n)( DGu p,B+ TdDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C dDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C u p,B)ɤC u p,B在式(3)中取φ(t)=t np n-p,则有(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p npɤC(ʏB|TDGu-(TDGu)B|np n-p d x)n-p np由L p空间的单调性,若0<s<np(n-p)-1,则(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p np 于是有(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏσB|u|p d x)1p㊂2)假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|=0则TDGu=(TDGu)B㊀在B上几乎处处成立,因此TDGu为闭形式,进而TDGu为A-调和方程的解㊂于是由式(2)和引理2,有TDGu p,σBɤC diam(B) DGu p,σBɤC|B|1n u p,σB又由Hölder不等式有TDGu s,BɤC|B|1s-1p TDGu p,σB故TDGu s,BɤC|B|1n+1s-1p u p,σB于是定理得证㊂定理2 设uɪL p loc(E,Λl)是定义在E上的一个光滑微分形式,pȡn,T是同伦算子,D是Dirac算子,G是Green算子㊂则对于任意的实数s>1,有TDGuɪL s loc(E,Λl),进而存在一个与u无关的常数C使得,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B其中B⊂E为E中的任意球㊂证明:首先当1<sɤp时,由引理2和式(3),有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B显然成立㊂接下来证明当s>p时,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,σB成立㊂假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0令m=sp-1,记q=mnp/(n+mp)㊂因为n-p ɤ0,所以q-p=[p(m(n-p)-n)](n+mp)-1<0即q<p,而1<q=mnp/(n+mp)<n㊂于是由引理1㊁引理2和L p空间的单调性,有(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC2(ʏB|dTDGu|q d x)1q=C2(ʏB|DGu-T(d(DGu)|q d x)1qɤC3(ʏB|DGu|q d x)1q+C4(ʏB|T(d(DGu)|q d x)1qɤC5(ʏB|u|q d x)1q+C6(ʏB|u|q d x)1qɤC7|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p(4)因为|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0,所以若在式(3)中取φ(t)=t nq(n-q),则对任意的微分形式ω,可得(ʏB|ω|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC8(ʏB|ω-ωB|nq(n-q)d x)(n-q)nq(5)在式(5)中用TDGu代替ω,有(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq n-q d x)n-q nq(6)因为nq/(n-q)=mp=s,再一次利用L p空间的单调性,式(6)和式(4),有(ʏB|TDGu|s d x)1s=(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC10|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p=641哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀C10|B|1s+1n-1p(ʏB|u|p d x)1p因此有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B于是定理得证㊂需要指出的是,以往得到的关于同伦算子和Green算子的高阶可积性结论均仅对A-调和方程的解成立,而定理1和定理2的结果表明对于满足一定条件的指数s,p,对任意在E上局部L s可积的微分l-形式,复合算子的高阶可积性仍然成立㊂3㊀应㊀用近年来,关于算子在加权微分形式L p空间有界性问题的研究已取得一些成果,但由于在证明过程中需要用到弱逆Hölder不等式,因此关于加权不等式的结论仅对A-调和方程的解成立㊂而由定理2,则可得到对任意L p可积的微分形式均成立的加权结果㊂引理3㊀如果w(x)ɪA r(E),则存在与w无关的常数γ>1和C>0,使得w γ,BɤC|B|(1-γ)γ w 1,B(7)对所有球B⊂E都成立㊂定理3㊀设E为有界凸区域,n<p<ɕ,T为同伦算子,D为Dirac算子,G为Green算子,如果权函数w(x)满足A r(E)条件,其中1<r<p/n,则对任意uɪL p(E,Λl),存在与u无关的常数C使得 TDGu p,B,wɤC u p,B,w对所有的球B⊂E都成立㊂证明:由于w(x)满足A r(E)条件,由引理3,存在常数γ>1和正数C1使得对所有的球B⊂E有 w γ,BɤC1|B|(1-γ)γ w 1,B取t=γp/(γ-1),则由Hölder不等式有 TDGu p,B,wɤ(ʏB|TDGu|t d x)1t(ʏB wγd x)1γp= TDGu t,B w 1pγ,B(8)这样,将式(7)代入式(8)中,有TDGu p,B,wɤC2|B|(1-γ)γp TDGu t,B w 1p1,B(9)记m=p/r,则由定理2可以得到TDGu t,BɤC3 u m,B(10)其中C3与t,m,n有关㊂再由式(9)和式(10),有 TDGu p,B,wɤC4|B|(1-γ)γp u m,B w 1p1,B 又由于1/p+(r-1)/p=1/m,于是由Hölder不等式有u m,Bɤ(ʏB(|u|w1p)p d x)1pʏB1w()1r-1d x()p r-1= u p,B,wʏB1w()1r-1d x()p r-1(11)注意到wɪA r(E),因此存在常数C5>0使得对所有的球B⊂E,有1|B|ʏB wdx()1p1|B|ʏB1w()1(r-1)d x()(r-1)p<C5<ɕ这样,再由式(10)和式(11),立即有TDGu p,B,wɤC6|B|1-γPγ|B|1P|B|r-1P u p,B,w=C6|B|r P+1-γPγ u p,B,wɤC6|D|r P+1-γPγ u p,B,wɤC7 u p,B,w结论得证㊂4㊀结论本文证明了微分形式L s空间同伦算子T㊁Green 算子和Dirac算子的复合算子T D G当1<p< n时的高阶可积性,并进一步证明了复合算子当pȡn时的高阶范数估计以及对L p可积微分形式成立的局部加权范数不等式㊂参考文献:[1]㊀IWANIEC T.,LUTOBORSKI A.Integral Estimates forNull Lagrangians[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1993,125(1):25.[2]㊀SCOTT C.Theory of Differential Forms on Manifolds[J].Transactions of the American Mathematical Society,1995,347(6):2075.[3]㊀毕卉,于冰,李贯锋.复合算子的Lipschitz和BMO范数不等式[J].黑龙江大学自然科学学报,2017,34(5):556.BI Hui,YU Bing,LI Guanfeng.Lipschitz and BMONorm Inequalities for the Composite Operator[J].Journalof Natural Science of Heilongjiang University,2017,34(5):556.[4]㊀AGARWAL R.P.,DING Shusen,NOLDER C.Ine-qualities Fordifferential Forms[M].Springer,2009.[5]㊀高红亚,褚玉明.拟正则映射与A-调和方程[M].北741第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G的高阶可积性京:科学出版社,2013.[6]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,DENG Hua,et al.Global Integrability for Solutions to Quasilinear EllipticSystems[J].Manuscripta Mathematica,2021,164:23.[7]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,REN Wei.GlobalRegularity for Minimizers of Some Anisotropic VariationalIntegrals[J].J.Optimization Theory and Applications,2021,188(2):523.[8]㊀NOLDER C.Global Integrability Theorems for A-harmon-ic Tensors[J].Journal of Mathematical Analysis and Ap-plications,2000,247(1):236.[9]㊀DING Shusen,LIU Bing.A Singular Integral of the Com-posite Operator[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(8):1271.[10]DING Shusen,LIU Bing.Dirac-harmonic Equations forDifferential Forms[J].Nonlinear Analysis,2015,22:43.[11]BI Hui,XING Yuming.Poincare-type Inequalities withLp(logL)-norms for Greenᶄs Operator[J].Computers&Mathematics with Applications,2010,60(10):2764.[12]BI Hui,DING Shusen.Some Strong(p,q)-type Ine-qualities for the Homotopy Operator[J].Computers&Mathematics with Applications,2011,62(4):1780.[13]BI Hui,SUN Yuli.Imbedding Inequalities for the Com-posite Operator in the Sobolev Spaces of DifferentialForms[J].J.Inequalities and Applications,2015,2015(1):1.[14]XING Yuming,DING Shusen.Higher Integrability ofGreenᶄs Operator and Homotopy Operator[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2017,446(1):648.[15]GAO Hongya,LIANG Shuang,CHI Yi.Global Integra-bility Related to Anisotropic Operators[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2016,442(1):244.[16]LU Yueming,LIAN Pan.Variational Integral and SomeInequalities of a Class of Quasilinear Elliptic System[J].Advances in Applied Clifford Algebras,2020,30(4):62.[17]LU Yueming.On Weak Solutions to Dirac Harmonic E-quations for Differential Forms[J].Advances in AppliedClifford Algebras,2017,27(4):3167. 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二元函数在有界闭区域上可积性理论及其证明
二元函数在有界闭区域上可积性理论及其证明赵江鹏(云南工商学院数学教研组云南昆明651701)摘要：关于二元函数可积性理论如可积的充分条件、必要条件、充要条件等，已经有较为成熟的结论及方法，但在目前的教材中，只给出有界闭区域上的有界函数可积性的证明，其他未予以证明。
该文针对文章中的可积性定理（定理1、定理2、定理4）给出自己的证明，从而使二元函数在有界闭区域上可积性理论得以完善，同时使得相关定理、性质证明的方法更加多样化。
关键词：可积性二元函数有界闭区域振幅一致连续中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)05(b)-0223-03二元函数可积性理论是数学分析教材里比较基础的理论（数学分析（下册），215~216页）[1]，而在相关参考文献（数学分析（下册），103页）[1]里，仅交代出二元函数可积性理论类似于一元函数，但除定理3外，其余并未给出详尽证明。
该文主要讨论二元函数z=f(x y)在有界闭区域D上可积性理论及其证明[2],下面将需要证明的定理[3]陈述如下。
引理1：函数f(x y)在D上可积的第一充要条件是：s=S。
定理1：z=f(x y)在有界闭区域D上可积的充要条件是：对于任意正数ε，存在分割T，使得：S(T)-s(T)<ε。
定理2：有界闭区域D上的连续函数必可积。
定理3：设z=f(x y)在有界闭区域D上的有界函数，若z=f(x y)的不连续点都落在有限条曲线上，则z=f(x y)在区域D上可积。
定理4：z=f(x y)在有界闭区域D上可积的充要条件是：lim S(T)T®0=lim s(T)T®0在证明以上定理之前，先交代一下证明需要用到的预备定理[4]、定义及文中出现的一些符号。
定义1:设函数z=f(x y)在区域D上有界，T为D的一个分割，其σ1 σ2 σn是分割T分割出的n个可求面积的区域，M i=sup(x y)Îσif(x y)，m i=inf(x y)Îσi f(x y)，(i=1 2 n)。
《高等数学》课堂教学中融入课程思政案例
《高等数学》课堂教学中融入课程思政案例作者：范慧玲曹鸣宇袁玉萍张丽来源：《科技资讯》2021年第08期DOI：10.16661/ki.1672-3791.2010-5042-9427摘要：寻找每个知识点的课程思政元素是改变传统数学课的闪光点，其可以给枯燥的理论课堂带来生机，活跃学生的学习热情，使得学生在学习理论的同时树立正确的三观。
该文以高等数学中的定积分的概念为例，在设计课堂教学的过程中以问题导入的形式，引导学生思考、分析问题，将知识点和哲学思想联系在一起，以提高学生分析、解决问题的能力，逐步培养他们理论联系实际的能力。
关键词：高等数学课程思政定积分教学反思中图分类号：G642 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）03（b）-0158-03Advanced Mathematics Classroom Teaching Incorporates Curriculum Ideology and Politics Cases——Take The Concept of Definite Integral as an ExampleFAN Huiling* CAO Mingyu YUAN Yuping ZHANG Li（The College of Science of Heilongjiang Bayi Agricultural University， Daqing，Heilongjiang Province， 163319 China）Abstract： Finding the ideological and political elements of the curriculum for each knowledge point is the shining point of changing the traditional mathematics class. It can bring vitality to the boring theory class， activate the students' enthusiasm for learning， and enable students to establish correct three views while learning theories. Taking the definition of definite integral as an example，this paper takes the form of asking problems during the teaching processes， it can guide the students to think and analyse problems， to link the topic with philosophical thoughts， it can improve the capacity of the students in analyzing and solving problems. It can cultivate the ability to combine theory with practice.Key Words： advanced Mathematics; Ideological and political elements of the curriculum; Definite integral;Reflection on teaching為了将教师思政和课堂思政以及专业思政加以落实，教师必须在高校课程方面做到对于思想政治工作的整体推进，并且做到对全部课程育人方面功能的充分发挥。
微积分(I)复习(不定积分与定积分)
7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8） 估 值 定 理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10） 广 义 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且 在[a, b]
上 不 变 号, 则 存 在 [a, b], 使 得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解 令 x asec t, 则
原式
a tant asec t
asin t cos2 t
dt
a
sin 2 t cos2 t
dt
a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限 值 为f ( x)在[a, b]上 的 定 积 分 ， 记 作
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k1
f (k )xk
此 时 称f ( x)在[a, b]上 可 积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.
第一节-定积分的概念与性质名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
第一节 定积分旳概念与性质
一、问题旳提出
y
B
C
我们平时在平面几何和立体几何
D
中学到旳都是非常规则旳图形，
A
C
如三角形、梯形、圆等等。
oa
Ex
b
它们旳面积计算都由公式给定，了解也相对简朴。但是， 现实中还会有另外某些图形，它们旳面积计算就无法由 给定旳公式给出。如右上图。这么旳图形面积应该怎么 计算呢？
n个小矩形旳面积和:
我们称
为黎曼和(Riemann Sums)
二、定积分旳定义
n
若f (x)是定义在闭区间[a ，b]上旳函数，假如
lim
n
i 1
Ai
存在，则f (x)在[a ，b]
上是可积分旳，称此极限值为f (x)在[a，b]上旳定积分。
b
n
a
f
( x)dx
lim
n
i 1
Ai
n
我们将 Ai A1 A2 .... An 称为黎曼和。
31
一般称F(x)是f(x)旳一种原函数
(2) 在计算定积分时，经常用符号
来表达
F(b)−F(a)，牛顿—莱布尼茨公式也能够写作
常见函数旳原函数
(1)0 的原函数＝__c_； (2)1 的原函数＝__x_＋__c___；
xα＋1
(3)xα 的原函数＝__α_＋__1___＋c(α≠－1，x>0)
初等数学背景下，曲线下旳面积(Area Under a Curve)是相当困难旳问题。但 是，利用定积分(The Definite Integral)解答，手到擒来
黎曼和 Riemann Sums
一分为二，n=2
连续函数可积
连续函数可积连续函数可积是数学分析中的一个重要概念，它在许多实际问题的研究中起着关键的作用。
连续函数是指在某个区间上存在定义域上的连续性质的函数，而可积则是指在该区间上存在定积分。
本文将从连续函数的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行阐述。
我们来回顾一下连续函数的定义。
连续函数是指在其定义域上的每一个点上都具有连续性质的函数，即函数值与自变量的极限相等。
例如，函数f(x)在区间[a, b]上连续，即对于任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε成立。
这一定义确保了函数在区间上没有间断点或跳跃点，而是平滑地变化。
接下来，我们来讨论连续函数的可积性质。
根据黎曼积分的定义，一个函数在某个区间上可积，当且仅当它在该区间上有界并且极限为0的分割下，上下和的差趋近于0。
对于连续函数而言，由于其连续性质，它在定义域上是有界的，因此只需要证明它在每个分割下的上下和的差趋近于0即可。
这意味着连续函数在该区间上是可积的。
连续函数可积的性质使得它在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，连续函数可积的概念可以用来描述物体的运动轨迹。
通过将时间划分成很小的时间段，我们可以将物体在每个时间段内的位移与时间的乘积求和，从而得到物体在整个时间段内的总位移。
这个总位移就是连续函数在该时间段上的定积分，而连续函数可积性质保证了这个定积分的存在性。
在经济学中，连续函数可积的概念可以用来描述供需关系。
通过将价格划分成很小的价格段，我们可以将每个价格段上的供给量与需求量的乘积求和，从而得到整个价格区间上的供给总量和需求总量。
这个供给总量和需求总量就是连续函数在该价格区间上的定积分，而连续函数可积性质保证了这个定积分的存在性。
连续函数可积的性质还可以用于优化问题的求解。
在数学优化中，我们经常需要求解一个目标函数在某个区间上的最大值或最小值。
通过将区间划分成很小的子区间，并计算目标函数在每个子区间上的定积分，我们可以近似地得到目标函数在整个区间上的值，并找到最大值或最小值所对应的自变量取值。
【doc】几类函数间断点的判定及其应用
几类函数间断点的判定及其应用2009年第4期总第145期林区教学TeachingofForestryRegionNo.42o()9GeneralNo.145几类函数间断点的判定及其应用于继杰(哈尔滨电力职业技术学院,哈尔滨150o30)摘要:研究了黎曼函数,狄利克雷函数,单调函数,复合函数,导函数,可积函数几类常见函数的间断点,从而得到了一些判定这几类函数间断点类型的简便方法,并利用它们去解决一些具体问题.关键词:间断点;单调;连续中图分类号:O174文献标志码:A文章编号:1008—6714(2009)04—0095—03对函数间断点的分析和研究,可以使我们更好地从反面来了解连续函数的性质.通过研究,函数连续性这个概念得到了很好的补充,适用范围也大大的增加.通过一些简单的例子使大家初步掌握函数间断点的一些特点,并能运用这些特点去解决一些间断点的判定问题.一,函数的间断点及其类型若函数)在a点不满足连续定义的条件,则称函数,()在a点间断(或不连续),a是函数)的间断点(或不连续点),函数)在a不满足连续定义的条件只有三种情况:(1)函数)在a点没有定义.(2)极限limf()存在,即f(a一0)=/(a+0),但limf()n).(3)极限不存在:口-0)与n+0)函数都存在,但n一0)cf(o+O);(a一0)与n+0)至少有一个不存在.因此,a是函数)的间断点相应地有以下分类.1.第一类间断点它包括可去间断点与跳跃间断点两种,它的特点是函数在该点处的左右极限都存在.(1)可去间断点:若极限存在,即,(o-o)与,(a+0)都存在,且.一0)=a+0),而limf(x)口)或.不属于函数)的定义域,则称n是函数)的可去间断点.例如,函数)=lsgnI,因为1i)=l≠0)=0故原点为)=jsgn}的可去间断点.又如函数g()=,虽然()=1,但g()在原点无定义,所以原点是函数g()的可去间断点.收稿日期:2008—03—16作者简介:于继杰(1967一),女,黑龙江绥化人,副教授,从事高等数学教育研究.若n为函数)的可去间断点,只须补充定义或改变,()在a处函数值,可使函数)在点a变间断为连续,这也是我们讨论间断点的目的.(2)跳跃间断点:若极限存在,即a+O)与a一0)都存在,但f(a一0)≠a+O),则称a是函数,()的跳跃间断点.例如,函数)=[],当=n(n为整数)时,lim[x]=n一1,lim=nM.t—●n'所有在整数点上函数的左,右极限都不相等.又如符号函数)=sgn()在点0处左右极限不相等:lim厂()=一1,li=l,符号函数)=sgn在=0处有跳跃间断点,从而整数点都是函数-厂()=[].2.第二类间断点函数的所有其他形式的不连续点,即函数在该点处至少有一侧的极限不存在.1例如函数)=在一0时不存在有限的极限,所以=o是函数厂()=÷的第二类间断点,如图1.Ji廿.\\,一函数)=sin÷在点=o处的左右极限都不存在,所以=0也是/的第二类间断点,如图2.●I八八八\厂'./\\VVV图20+0)不存在0-0)不存在～95—二,几类特殊函数的间断点为了更好地认识间断点的特点,我们从以下几类特殊函数入手讨论它们的间断点的判定问题.1.黎曼函数的间断点对于黎曼函数(),我们已知,对任意,皆有limR(x)=O,因此R()在无理点连续,在有理点不连续, 且有理点是第一类间断点,即R(‰+0)=R(‰一0)=0 R(x.)≠0,.为有理点.2.狄利克雷函数的间断点对于狄利克雷函数,在其定义域上每一点都是第二类间断点.3.单调函数的间断点单调函数是一类特殊的函数,我们有如下结论:定理l:单调函数的间断点只能是第一类间断点.证明:可设函数)在区间,上是递增函数于是,当∈,,且<时,有/()<X0)从而,由函数极限的单调有界定理可知:‰一0)存在且/(.一0)=limf(x).)同理可证,(‰+0)存在且,(‰+0)=lima)‰)又.是厂()的间断点从而,%是)的第一类间断点.4.复合函数的间断点定理2:设Y=g(u)是连续函数,"=)在D上有定义且g与/可复合,则下列结论成立:(1)g))的间断点的集合是)间断点集合的子集;(2)若Y=g(u)严格单调,则,()的跳跃间断点也是g))的跳跃间断点;(3)若‰为厂()的可去间断点,,(),g(f())在‰有定义且Y=g(")严格单调,则‰也是g(f(x))的可去间断点.证明:(1)因为‰是,()的连续点由复合函数的连续性可知gO~(x))在粕也连续因此g(f(x))的不连续点集合是()的不连续点集合的子集即g))的间断点集合是,()间断点集合的子集合.(2)由条件:是f()的跳跃间断点,根据跳跃间断点的定义有+0)≠o一0),不妨设.+0)>o一0)由于Y=g()严格单调,可设Y=g()严格单调递增因此有g己.+0))>gr(.一0))设()=gU(x))~Ellimg己))=limh(x)=h(xo+0)=g0+0))同理lim_g(f())=lim.h(z)=h(o一0)=g(f(o一—'n一D0))故有limg))>lim_g))即粕是))的跳跃间断点.(3)由条件:.是f()的可去间断点,又f(),一96～g))在粕处有定义贝Ⅱ,(o)=Aor(0+0)=,(.一0)≠A由于g(")严格单调,则g(u)与n一一对应故g(,r(o+0))=g0^(.一0))≠g(,.))=g(a)5.导函数的间断点定理3:设函数,()在(.,b)内可导,则(o,b)中的点或者()的连续点,或者()的第二类间断点.证明:因为函数f(X)在(o,b)内处处有导数,设.是/()在(n,b)内的间断点,则V‰∈(口,b)f(Xo)=f+()=lim二型一.一O=lira—_n+0=)其中‰<<,则,()在‰处有右极限时,必有,(Xo)()=,'(%+0)同理f(‰)=,一()=lim兰!二—一0—X0=lira…一O=)其中<<‰,则,()在.处有左极限时,必有/(.)=.1im()=,(.一)_[0于是,对(n,b)内任意一点.有如下两种情形: (1)若f()在.点的左右极限都存在,必是f(.)=(.+O)=(.一0)即‰是的连续点.(2)若,()在‰点至少有一侧的极限不存在,则.是-厂的第二类间断点.命题证毕.该命题还应注意以下问题:①)处处可导的前提必不可少,否则命题不一定成例如)=ll,当>0时,厂()=1;当<0时,f()=一1,则=0是f()的第一类间断点,而)在=0处不可导.②函数)在(o,b)内处处有导数的条件是充分的,但非必要的.例如)=n÷,当≠0时,f()=sin÷—1cos=0点是唯一的间断点,且为第二类间断点,但厂()在=0不可导.6.可积函数的间断点引理:(Lesbegue定理)函数)在[o,b]上可积的充要条件是)在[0,b]上有界且几乎处处连续.由Lesbegue定理的必要性易得到如下推论:推论:函数)在[o,b]上可积,则f()的间断点所构成的集合是一个零测量集.注:以上的可积指的是Pdmman可积.三,几类特殊函数问断点的应用为了更好地利用这些简便方法去解决一些具体问题,我们还从这几类特殊的函数人手给出它们的一些应用.例l,设)是[o,b]上的单调递增函数.证明:若)的值域为If(.)b)],则)在[n,b]上连续.分析:由于单调函数的间断点只能是第一类间断点,所以在一些单调函数连续性的证明中,我们可以利用反证法,由以上特点得出其矛盾所在,从而使题目得到相应的证明.证明:(反证法)假若结论不成立,即存在∈[.,b],使得)在‰不连续.由于)单调递增,由定理l可得到,是第一类间因此.)-f(‰一0)与.)一+0)中至少有一个大于0不妨设‰)一%-0)>0又由于z)是单调递增的从而‰一0)与f(.)之间的数不属于函数的值域o)b)]这与题目条件矛盾,因此)在[.,b]上连续.例2,设-厂()=[]+,∈[0,+),g(")=In,E[0,+∞)求g(f(x))的间断点及其类型.分析:这是一个讨论复合函数间断点类型的题目,我们可以利用定理2的三个结论对本题作如下分析:由于)=[])=ln,g=ln,形式比较复杂,而且难以求解,于是我们不妨分析)的间断点,利用定理2(2),具体求解如下.解:g(￡')=In},Ⅱ∈[o,+..)上是连续的其导函数g(u)=×1>U故g(")严格单调)=[]+,∈[0,+∞)易知)的间断点为:=l,2,3,…且为)的跳跃间断点从而据定理2(2)可知:=l,2,3,…为g())的跳跃间断点.例3,设函数)={l:证明:不存在一个函数的f()为其导函数(中科院数学所,1983)分析:定理3是关于导函数间断点判定的一个简便方法,通过对它的分析我们可以很容易得到这样一个推论: 如果函数)在某区间,上存在第一类间断点,那么)一定不存在原函数.证明:(利用推论)因为li)=0≠0)所以=0为,()的第一类间断点由推论得)不存在原函数即不存在一个函数的,()为其导函数.例4,设函数)在[n,b]上可积,且存在常数m,M,对任意的E[o,b]有ms,()s朋,又g()定义在[m,肘]上且连续.证明复合函数g))在[.,b]上可积.分析:这是一道复合函数间断点与可积函数间断点判定方法的综合.首先,根据定理2(1)可以在f()与g))之间建立桥梁,然后通过Lesbegue定理和其推论来解出这道题.证明:设是)的不连续点由定理2(1)可得:g))的间断点集合是)间断点集合的子集因为函数)在[o,b]上可积,所以f()在[.,b]上有界且几乎处处连续这证明了g(f(x))在[.,b]上可积.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991:89—90.[2]王戈平.数学分析选讲[M].徐州:中国矿业大学出版社, 2002:81—83.[3]裴孑L文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:56.[责任编辑:李海波]---——97?--——。
2018常微分方程考研复试真题及答案
2•指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非裁It方程,并说明卑由；d) t2 ^4+t—+(t2-i)u=odr dt(2) — =x2+y2;ax⑶賓牛0dx Q3•求曲线肢pCe'+CMe*所満足的徹分方椁4. 验证函数是微分方f?y' -4y=0 解，逍一步验jj［它是通解。
5•试用一阶撤分方程形氏不变11来解方« —=2xax6•什么叫枳分一个徹分方程?7 •什么是求解常微分方样的初等枳分法？8・分离变量一阶方程的特征是什么?9. 来下列方程的通解di y =sinx(2i x2y2y +1=y.dy(3i tgx—=1+ydxf/v(4i — =exp(2x-y)dxdy _ y I⑸ ~dx--厂(6 ) x2 ydx=(1-y2 +x-2x 2 y2 )dx(7 ) (x2 +1)( y2 -1 )dx+xydy=O10. ®述齐次函数的定义11. 试给岀一阶方f?y = f(x.y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的計征。
说明二个方相的关系。
12. 求解齐次方相通常用什么初等变换，新IF1函数导釵关系如何？13. 求解下列方f? — =dx x・_y・14. 求解下列方程（1）（ x+2y ） dx—xdy=O⑵ T=-Vdx x 2y15. 学斗dx Q +16（x2 +y2）dx—2xydy=017 dy 二2y_x_4dx 2x - y+ 518 ------------- 199-将（2兀一4尹+6）必+〔兀+尸一茅旳=0化为齐次方程。
10.求解/（A+y+1）20 ---------------------- 271. 求下列方程通解（或通积分）（1）解 $垃总- co$&$ing> d狞=0・C2）解sec2 i9Jgg>^g> + sec2（pig9d6= 0.（3）解字=0十尸）\axC4）解 2y\x^-y\ = -y^ctgx2-求解方程/+/+x2｝；-x=0;3. 求解方程p-'y= x©；4. 求解方程”=b - F - 15. 求方程y= 2A满足条件6. 解方程”十尹理卫=卩（力竺凹@0）是兀的已知可微函数）。
高等数学9-2'利用极坐标系计算二重积分
二重积分的性质
总结词
二重积分具有可加性、可交换性、可分解性和可积性等性质。
详细描述
二重积分具有可加性，即如果两个平面区域的边界曲线可以相加或相减，那么它们的二重积分也可以相加或相减。 二重积分还具有可交换性，即积分区域和被积函数的顺序可以交换，不影响二重积分的值。此外，二重积分还具 有可分解性和可积性等重要性质，这些性质在计算二重积分时非常有用。
ERA
二重积分的定义与几何意义
总结词
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
详细描述
二重积分是高等数学中的重要概念，它表示一个函数在平面区域上的累积效果。通过二 重积分，我们可以计算平面曲线的长度、平面图形的面积以及立体的体积等。二重积分
的几何意义是二维曲面的面积，即由函数z=f(x,y)所确定的曲面的面积。
05
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章内容的总结
极坐标系的基本概念 极坐标系是二维平面上的一个坐标系，其中每个点由一个距离和一个角度确定。
极坐标系中的基本元素包括极点、极轴、极径和极角。
本章内容的总结
二重积分的极坐标形式
二重积分在极பைடு நூலகம்标系中的表示形式与直角坐标系 有所不同。
极坐标系中的二重积分可以表示为对面积的积分， 其中面积由极径和角度确定。
本章内容的总结
极坐标系中的面积元素
1
2
在极坐标系中，面积元素是极径和角度的函数。
3
掌握面积元素的计算对于理解和计算二重积分至 关重要。
本章内容的总结
二重积分的计算方法
利用极坐标系计算二重积分的基本步骤包括：选择合适的积分次序、将直角坐标 转换为极坐标、选择适当的面积元素进行积分。
微积分学P.P.t标准课件12-第12讲函数的连续性
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复合函数在定义域内连 续，则其复合函数也连 续。
03
连续函数的极限值等于 该函数的极限值。
04
连续函数的定积分存在 。
连续函数的图像特征
01
02
03
04
连续函数的图像是一条连续不 断的曲线。
连续函数在定义域内的任意两 点之间都可以画出一条线段， 该线段位于曲线上或者与曲线
相切。
连续函数的图像在定义域内不 会出现间断点或垂直渐近线。
如果函数在某一点处的极 限值等于该点的函数值， 则函数在该点连续。
函数在区间连续
如果函数在区间内的每一 点都连续，则函数在该区 间连续。
左连续与右连续
如果函数在某一点的左侧 或右侧的极限值等于该点 的函数值，则函数在该点 左连续或右连续。
连续函数的性质
01
连续函数的和、差、积 、商仍为连续函数。
02
x1和x2，只要|x1 - x2| < δ，就有|f(x1) - f(x2)| < ε，则函数在该区间
上一致连续。
常见函数的连续性判定
一次函数的连续性
一次函数在其定义域内是 连续的。
二次函数的连续性
二次函数在其定义域内是 连续的，但在其拐点处可 能不连续。
分段函数的连续性
分段函数在其定义域内是 连续的，但需要注意在分 段点处的连续性。
利用连续性证明不等式
利用连续性证明不等式的性质
通过函数的连续性，可以证明一些不等式。例如，如果函数 在某区间上连续且单调递增，那么在该区间上任意取两个数 x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，从而证明了函数的单调性。
高等数学教案定积分及其应用
高等数学教学教案第5章 定积分及其应用,n ），每个小区间的长度记为,2,,n ），在()i f ξi x ∆，再求和1,2,,n ），，如果该极限存在，则称函数上可积，此极限值为)d x x ，即⎰称为被积函数，x()]d n f x ±±(bn af ⎰()d b ak f x x =⎰（区间可加性）设,,a b c )d c ax x f =⎰（保序性）若在区间[a )d x 0≥．授课序号02授课序号03授课序号04为A 的平板水平的放置在液体深为h 处，那么平板一侧所受的液体静压力方向垂直于物体表面，各点压强的大小与方向皆不变，则物体所受的总压力为PA F =.如果平板倾斜放置在液体中，那么，由于液体深度不同的点处压强P 不相等，平板一侧所受的液体压力就不能用上述方法计算.3. 引力由万有引力定律知，质量分别为21,m m ，相距为r 的两个质点间的引力大小为221r m m G F ⋅=，其中G 为万有引力系数，引力的方向沿着两质点的连线.举例说明怎样用定积分解决某些引力问题.4. 函数的平均值函数)(x f 在],[b a 上的平均值1()d b a y f x x b a=-⎰,恰好是定积分中值定理中的)(ξf . 四．例题讲解例1.求由两抛物线2y x =与2x y =所围成图形的面积A ．例2.求由抛物线22y x =与直线4y x =-所围成图形的面积A ． 例3.求椭圆⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x （0>a ，0>b ）所围图形的面积.例4.计算心形线)cos 1(θρ+=a （0>a ）所围图形的面积.例5.如图5.25，连接坐标原点O 及点(,)P h r 的直线, 直线x h =及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为r ，高为h 的圆锥体．计算这个圆锥体的体积．图5.25例6.计算由椭圆22221x y a b+=所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．例7.计算由曲线3y x =，x 轴及直线2x =所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．例8.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成α角，计算该平面截圆柱体所得立体的体积．(a) (b)图5.29例9.计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度． 例10.计算摆线(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0>a ）的一拱(02)t ≤≤π的长度（图5.32）． 例11.求阿基米德螺线θρa =（0>a ）相应于θ从0到π2一段（图5.33）的弧长.例12.设在x 轴上的原点处放置了一个电量为1q +的点电荷，将另一带电量为2q +的点电荷放入由1q +形成的电场中，求电场力将2q +从x a =排斥到x b =时所做的功．例13.一个底半径为R 米，高为H 米的圆柱体水桶，盛满了水，问水泵将水桶内的水全部抽出来要做多少功 （水密度为33100.1m kg ⨯=ρ）.例14.设半径为R 的圆形水闸门，水面与闸顶齐，求闸门一侧所受的总压力.图5.35例15.一个水平放置的线密度为μ，长度为l 的均匀细直棒，在其延长线上放置一个质量为m 的质点，该质点距细直棒最近端点的距离为r .求细直棒对质点的引力大小.Ox x yydyy +R2水面复合化成形加工方法及技术基础5.1 材料成形加工技术的复合化20世纪70年代开始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，20世纪80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术一起列为高新技术革命的重要标志。
第一讲二重积分三重积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
若被积函数，积分区域关于x,y,z具有轮换对称性
f (x)dv f (y)dv= f (z)dv
二、三重积分旳计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
旳密度函数 , 经过计算该物体旳质量引出下列各计算 措施:
函数，则
x
0, f (x, y)关于y为奇函数
D
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
y)关于y为偶函数
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(2)假如积分区域D有关y轴对称，f(x,y) 为x旳奇偶函数，
0, f (x, y)关于x为奇函数
D
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
分
若D为 X – 型区域
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
y y 2(x)
D x
则
f (x, y) dx
D
若D为Y –型区域 D
dy
: 1(
b
dx
a
y) c
2 (x) 1( x)
x 2
yd
f (
(x, y)
o a y 1(x) b y) d y
y x 2( d y
x 1(y)
x
y)
则
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxd y
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体旳质量为
y
f (x, y, z) d v
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证明2 我们也可从正面来证明：可积
有界。
因为 f 在[a,b] 上可积，记f 在[a,b] 上的积分为I ，
则对于 =1, 必定存在[a,b] 的一个分割T ，使得
n
f i xi I 1
i 1
f
1
1
xk
I 1
n i2
f
i xi
此时,把在xi1, xi 中的i固定下来,i 2,3, , n,
定理 9.4 函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，则 f ( x) 在区间[a, b]上可积。
定理 9.5 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上有界， 且只有有限多个间断点，则 f ( x) 在区间 [a, b]上可积。
定理 9.6 如果函数 f ( x) 是区间[a,b] 上的单调函 数，则函数 f ( x)在区间[a,b] 上可积。
f
k
GM
xk
G f i xi ik
于是有 n
f i xi f k xk f i xi
i 1
ik
GM
xk
xk
G
M
由此可见，对于无论多么小的 T ，按上述方
法选取点集 i 时，总能使得积分和的绝对值大
于任意给定的M>0,而这与 f 在[a,b] 上可积矛盾。
定理9.2 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上可积，则 f ( x) 在区间[a, b]上有界。
x
n
n
于是我们分别称S T Mixi，s T mixi
i 1
i 1
为f 关于分割T的达布 Darboux上和与达布下和，
任取i i ，显然有s T f i xi S T
T
与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与i 无关。
定理 9.3 函数f 在a,b上可积的充要 条件是： 0, a,b的分割T i，
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解 根据定理可知，该函数的定积分是存在 的。并且可以利用积分的区间可加性得到：
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6
0
1
o 12x
休 息 ， 休 息 一 会 ！
符号 1 1 dx表示的不是一个定积分。 0x
例 1 在[0,1] 上 Dirichlet 函数 有界但不可积。
显然 D x 1, x 0,1。
D
x
1 0, x
, xQ R\Q
对于0,1的任一分割T，由有理数与无理数在实
数中的稠密性，在分割T的任一i上，当i都取有
n
理数时， D i xi 1，而当i都取无理数时， i 1
§3 函数的可积性问题(I)
牛顿—莱布尼茨公式的证明过程显示了： 闭区间上的连续函数是Riemann可积的。
那么，一般而言，闭区间上的函数需满 足怎样的条件，使其是Riemann可积的呢？
函数的可积性问题是一个复杂的问题。
1、可积的必要条件
定理9.2 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上可积，则 f ( x)
使得S T s T .
记i Mi mi，称为是函数f 在i上的振幅，
S T s T ixi
T
定理 9.3 函数f 在a,b上可积的充要 条件是： 0, a,b的分割T i，
使得 ixi . T
3.可积的充分条件
在前面定理 9.1 证明的中我们已经看到了：函数
f ( x)在区间[a, b]上连续，则 f ( x) 在区间[a, b] 上可积。
在区间[a, b]上有界。
证明 用反证法。若f在[a,b] 上无界，则对于[a,b]
上的任意一个分割T ，必定存在属于T 的某个小区 间Δk ， f 在Δk 上无界。在i≠k 的 各个小区间Δi上任
意取ξi ，并记
G f i xi ik
现在对于任意大的正数M，由于f 在Δk 上无界，故
存在ξkΔk ，使得
所以上式右边是一个确定的正数，而1 是在
x0 , x1上任意活动的. 这样，我们可以证明 f 在Δ1= [x0 , x1]上是有 界的，同样，可以证明 f 在Δi= [xi-1 , xi]上都是有 界的，所以 f 在[a,b]上是有界的。
在[a,b] 上f 有界是可积的必要条件,即有界未必可积。
比如，因为函数 1 在(0,1]上无界，所以 x
证明
不失一般性，设f 为增函数，且f b f a，
否则,如果f b f a，则 f 在a,b上为常数，
当然是可积的。
对a,b的任一分割T，f 在T所属的每个小区间
i xi1, xi 上的振幅为i f xi f xi1 .
n
于是有 ixi f xi f xi1 T
n
D i xi 0。所以无论 T 多么小，只要i取
i 1
法不同，积分和就有不同的极限，说明D x在
0,1上不可积。
2、可积的充要条件
设T i ,i 1, 2, , n为对a,b的任意一个分割，由
f 在a,b上有界，则 f 在每个i上有上、下确界：
Mi
sup
i
f
x，mi
inf i
f
T
1
f b f a T ，
由此可见， 0,只要 T
，
f b f a
就有 ixi ，所以f 在a,b上可积。
T
注1 单调函数如果有间断点，则其间断点 必定为第一类间断点。（P73/Ex6）
注2 单调函数可以有至多可列多个间断点， 但其仍然是Riemann可积的。
)
2x 5
0 1