双原子分子电子态振动跃迁F-C因子的计算

双原子分子电子态振动跃迁F-C因子的计算

摘要：分子激光冷却作为当前冷分子研究的热点，受到广泛关注。针对激光冷却分子中如何找到合适的候选分子，最为关键的问题就是要找到这些分子部的结构参数、能量光谱，从而为下一步的能级激发奠定基本依据。本文结合F-C因子计算原理，给出了F-C因子计算的理论解释；以MgF双原子分子为例，提出一种利用Morse 精确求解薛定谔方程；通过计算，得到MgF不同振动态的F-C 因子。通过利用这种方法，也为激光冷却实验中的光谱数据测量提供了参考。

关键词：振动跃迁；Franck - Condon 因子；振动结构强度；Morse势能函数

Calculation of the F-C factor of the electronic states of the double

atom molecule

Abstract: molecular laser cooling, as a hot spot in the research of cold molecules, has received extensive attention. In order to find a suitable candidate molecule in laser cooling, the key problem is to find the molecular structure parameters, the internal energy spectrum, which lay a fundamental basis for the next step of the excitation level. This paper combines the F-C factor calculation principle, explain the F-C factor calculation theory; secondly, the MgF diatomic molecule as an example, using a Morse exact solution of Schrodinger equation; finally through calculation, MgF dynamic different vibration factor F-C. By using this method, it also provides a reference for the measurement of spectral data in laser cooling experiments.

Key words: vibrational transition; Condon - Franck factor; vibrational structure intensity; Morse potential energy function

在分子结构与分子光谱理论中，有关分子光谱带系的跃迁几率、谱线相对强度等光谱参量的计算公式都包含 Franck - Condon 因子(简称 F-C 因子) , 可以说 , F- C 因子与分子光谱问题的研究直接相关. 双原子分子 F- C 因子的计算在化学物理、定量光谱学 、等离子体辐射诊断等领域中都有着极其重要的意义. 计算F- C 因子，常常需要应用各种数值计算方法来求解能量算符的本征值方程。本文则结合F-C 原理，提出一种通过 Morse 对薛定谔方程进行求解，从而得到其振动波函数。

1、Franck-Condon 原理

1925 年 Franck 在分析光解离现象，讨论分子光解离过程时，提出了一套假说。他认为：在“冷”气体中，分子无振动地处于最低电子态（基态），原子核的运动由势函数)(1r V 决定，如果分子吸收一份量子的能量能够从基态跃迁到激发态，那么在这样的过程中，除分子电子态的能量发生变化外，无其它变化。光的吸收仅仅使原子核的相互作用势由)(1r V 变为)(2r V （即)(2r V 代替)(1r V ），但由于新的作用势)(2r V 有不同于)(2r V 的平衡位置，分子吸收光能量后，原子将离开平衡位置开始振动。如果max 2012)(V r V >（其中，max 2V 是)(2r V 在区域 ∞<

1926 年 Condon 发展了 Franck 的假说，将上述观点推广到分子的电子跃迁，不管是吸收还是发射过程，以及初始状态有无振动。主要观点是：（1）由于原子核的质量远远大于电子的质量，相对于原子核周期性振动而言，电子跃迁被认为是发生在可以忽略的极短时间。（2）如果跃迁时刻的原子间距是r ，

动量是r p ，那么可以假设电子跃迁不改变r 和r p 值，仅仅以一个新的势函数代替原先的势函数。（3）电子跃迁时刻的r 和r p 值，完全决定末态分子的振动运动。两年后，Condon 又用全量子理论对上述观点进行了解释。

1.1电子谱带振动结构强度分布的经典解释

Franck-Condon 原理可以解释分子电子光谱振动结构的强度分布。由于分子中的电子跃迁发生得很快(约 10-16秒)，而核运动的周期较大(约 10-13秒)，以至跃迁前后的核间距和核运动速度几乎不变，换句话说，在两个势能曲线之间垂直向上和向下跃迁的几率最大。也就说是在发生电子跃迁时，分子中各原子核的位置及其环境可视为几乎不变。即垂直跃迁的几率最大。这个思想是 J. Franck 在 1925年首先提出来的。

图1 对吸收光谱的解释

对于吸收光谱，因为大多数分子原来都处于基态，即如图1中，势能曲线e E 的最低点 A 处（忽略零点振动）。根据 Franck-Condon 原理，电子跃迁后的一瞬间，分子将处于 A 点正上方上势能曲线'e E 上的 B 点处。B 点处对应的分子核间距和 A 点处的相同，并且相对速度为零（势能曲线上各点的振动动能为零）。根据两势能曲线的最低点核间距 R 值的对比，可以解释吸收光谱振动带强度分布的不同情况。

1.2电子谱带振动结构强度分布的量子力学解释