(完整word)人教版七年级数学上册专题复习数轴上的动点问题讲义含部分答案

数轴上的运动问题

在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。

【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？ 【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：

小明 甲地

乙地

【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。 200 ÷180 =

10 （米/秒）

9

【解法二】用方程解。设速度为 x 米/ 秒，根据路程=时间×速度，得： 200 = 180x ，解得 x =

10

。

9

如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。

【题 2】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t 。 （1）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 运动的距离； （2）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

（4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点 P 为线段 AB 的三等分点？

【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。

（1）根据路程=速度×时间，有： AP = t ； （2） AP = t ，故点 P 表示的数为t ；

（3）点 B 表示的数为 200，点 P 表示的数为t ，且 P 在 B 左边，故 PB = 200 - t 。 （4）若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况：

①AP=2PB ，即： t = 2 ⨯ (200 - t )，解得t = 400

秒； 3

②2AP=PB ，即： 2t = 200 - t ，解得t =

200

秒； 3

现在，我们将【题 2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：

【题 3】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为b ，且数 A 和数 B 的距离为 200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t 。

（1）用含 a 的代数式表示数 B ；

（2）用含 a 和 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难

度也会有所下降。

（1）由数轴上两点间距离公式可得： b - a = 200，整理得： b = 200 + a ；

（2）由路程=速度×时间得， AP = t ，即 A 、P 两点间的距离为t ；同（1）可得，点 P 表示的数为 a + t 。 （3）由于数 B ≥数 P ，故根据数轴上两点间距离公式有： BP = b - (a + t ) = a + 200 - (a + t ) = 200 - t 。

我们发现，只要线段 AB 的长度固定，点 P 到 B 的距离跟 A 、B 表示的数无关。

接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题 4】。

【题 4】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止；另一电子蚂蚁 Q 在同一时间从 B 出发，以 2 个单位每秒的速度由 B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为 t 。 （1）当电子蚂蚁 P 、Q 相距 40 个单位长度时，求运动时间 t ； （2）用含 t 的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。

【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。

（1）在运动的过程中，点 P 和点 Q 的位置有三种情况：P 在 Q 的右边，P 和 Q 重合，P 在 Q 的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q 到 A 后，Q 停止，但 P 继续往 B 运动，故也得考虑这种情况。

①P 、Q 都在运动时， 0秒≤ t ≤ 100秒时，点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为 200 - 2t ，故 P 、Q 两

点间的距离为 200 - 2

t -

t 。根据题意有： 200 - 2t - t = 40 。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。

②Q 停止运动，P 继续运动，此时 PQ 距离＞100，故不符合题意。

（2）①P 与 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左边，此时有数 Q ＞数 P ， 0秒≤ t ＜

200

秒，此时： 3

PQ = 200 - 2t - t = 200 - 3t

②P 与 Q 相遇后，Q 停止运动前，即 Q 在 P 的左边，此时有数 P ＞数 Q ，

200

秒≤ t ≤ 100秒，此时： 3

PQ = t - (200 - 2t ) = 3t - 200

③Q 停止运动，P 继续向 B 运动直至停止，数 Q 为 0，数 P ＞数 Q ，100秒＜t ≤ 200秒，此时：

PQ = t - 0 = t