直线一级倒立摆建模
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
直线一级倒立摆建模
一、直线一级倒立摆建模1、微分方程的推导对于倒立摆系统，经过小心假设忽略掉一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的刚体运动系统，可以在惯性坐标系统内应用景点力学理论建立系统的动力学方程。
微分方程的推导：在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示.图1做如下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数L 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑带摆杆初始位置为竖直向下）图2图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车和摆杆的相互作用力的水平和垂直方向的分量。
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量的正方向。
分析小车水平方向所受合力，可以得到方程：（式1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：= （式2、式3）将式3代入式1可得系统第一个运动方程：（式4）为了推出系统第二个运动方程，对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程：= （式5 式6）力矩平衡方程如下：（式7）式中：合并式6、式7得第二个运动方程：（式8）设θ = π +φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ <<1，则可以进行近似处理：用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：（式9）对式(3-9)进行拉普拉斯变换（推导传递函数时假设初始条件为0。
）：（式10）整理后得到传递函数：（式11）其中：2、状态空间方程设系统状态空间方程为：（式12）方程组对解代数方程，得到解如下：（式13）整理后得到系统状态空间方程：（式14）3、实际系统模型假定系统物理参数设计如下：M 小车质量 1.08Kg m 摆杆质量 0.1Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3mI 摆杆惯量 0.0027Kg*m*m将上述参数带入，可以得到以外界作用力作为输入的系统状态方程：======+++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u x x x y u x x x x 000100001034577.20914849.0008966.26234577.0010000689655.00914849.000010φφφφφφφ二、对象的性能分析1、分析系统的单位阶跃响应：a=[0 1 0 0;0 -0.0914849 0.689655 0;0 0 0 1;0 -0.234577 26.8966 0] b=[0;0.914849;0;2.34577] c=[1 0 0 0;0 0 1 0] d=[0;0] a =0 1.0000 0 0 0 -0.0915 0.6897 0 0 0 0 1.0000 0 -0.2346 26.8966 0b =0.91482.3458c =1 0 0 00 0 1 0d =利用传递函数得到如下响应曲线[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)num =0 -0.0000 0.9148 0.0000 -22.98860 -0.0000 2.3458 -0.0000 0 den =1.0000 0.0915 -26.8966 -2.2989 0 step(num,den)从图上可知其阶跃响应不稳定。
一级倒立摆的建模与控制分析
研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文一级倒立摆的建模与控制分析学院：机械工程学院班级：机研131姓名：尹润丰学号： 2013212020162014年6月2日目录1. 问题描述及状态空间表达式建立............................ - 1 -1.1问题描述................................................................. - 1 -1.2状态空间表达式的建立..................................................... - 1 -1.2.1直线一级倒立摆的数学模型........................................... - 1 -1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 ...................................... - 5 -2.应用MATLAB分析系统性能.................................. - 6 -2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析......................................... - 6 -2.2 系统可控性分析.......................................................... - 7 -2.3 系统可观测性分析........................................................ - 8 -3. 应用matlab进行综合设计................................. - 8 -3.1状态反馈原理............................................................. - 8 -3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真........................................ - 9 -4.应用Matlab进行系统最优控制设计......................... - 11 -5.总结.................................................... - 13 -1.问题描述及状态空间表达式建立1.1问题描述倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的建立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。
数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。
因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。
系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。
我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉－拉格朗日原理建立系统的动力学模型。
对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。
为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
直线单级倒立摆系统建模与磁悬浮建模与模型
直线单级倒立摆系统建模。
图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1(a)为直线单级倒立摆实际设备，为方便分析，将其抽象这小车与摆杆的示意图，如图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 (b)所示。
倒摆的参数与量纲见表 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
这和手持木棒使之直立不倒的现象很类似，研究此系统很有意义，如在火箭发射时，火箭必须靠开发动机来维持它沿推动力方向飞行。
显然，若对小车不加控制，摆杆的倒立状态是不稳定的平衡状态，若稍有振动摆杆必然倒下，实际上，这就是稳定性的含义。
这里暂不讨论如何控制的问题。
设加在小车上的力为F ，小车的位置为x ，摆杆与垂直向上方向的夹角φ，垂直向下方向的夹角为θ(πθφ=+)，在空气阻力很小可以忽略、杆是刚性的条件下，建立数学模型。
(a)实物图(b)示意图图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 直线单级倒立摆系统表 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 直线单级倒立摆系统参数参数 大小 摆杆质量m 0.109kg 小车质量M1.096k g摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l 0.25m摆杆绕其重心的转动惯量J 20.0034k g m ⋅摆杆与小车间的摩擦系数b 1 10.001N m s rad -⋅⋅⋅ 小车水平运动的摩擦系数b 2 10.1N s m -⋅⋅摆杆与垂直向上方向的夹角φπθ-图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-2单级倒立摆受力分析图解：定义逆时针转动为正方向。
设摆杆的重心为(),g g x y ,则sin cos g gx x l y l φφ=-⎧⎪⎨=⎪⎩ (1) 根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程：(1) 摆杆绕其重心转动的动力学方程为：1sin cos y x J N l N l b φφφφ=+- (2)式中，J 为摆杆绕其重心的转动惯量：22112123J mL L l ml ==。
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
一级倒立摆的可视化建模与稳定控制设计
1966年
1976年
1995年
倒立摆的应用
倒立摆的分类
直线倒立摆 一级倒立摆
基座运动
环形倒立摆
摆杆
二级倒立摆
平面倒立摆
多级倒立摆
另外根据材料分类：刚体摆杆倒立摆系统和柔性摆杆倒立摆系统 „„
根据不同的分类方法，我们可以将倒立摆进行不同的分类。
倒立摆的特点
特性：非线性、多变量、强耦合、不稳定性
倒立摆系统拥有低投入、简易的结构、直观 的形象、方便仿真等特点。
设计演示界面
保存文件，命名为 fangzhenjieguo.fig ，同时会自动生成一 个fangzhenjieguo.m 文件
将摆角、小车位 移和时间参量， 导入到工作区中 ，供GUI编程使 用。
打开之前保存演示界面是生成的fangzhenjieguo.m文件，找到 “仿真开始”按钮所对应的回调函数，在函数下方加入程序： sim('daolibaimoxing');%运行仿真模型
初始条件设为[0.1rad,0.5rad/s,0,0],仿真曲线如 图所示，上面图线为摆角，下面为小车位移。
右图为未加控制器前的系统 阶跃响应曲线，可以看出， 摆角和小车位移的曲线都是 发散的。通过与仿真结果比 较，可以看出，加了BP神经 网络控制器的倒立摆系统， 摆角和小车位移曲线趋于稳 定，说明所设计的BP神经网 络控制器能够起到有效的控 制作用。验证了控制器设计 的正确性和可行性。
四、GUI设计
图形用户界面（Graphical User Interface， 简称 GUI，又称图形用户接口）是指采用图形 方式显示的计算机操作用户界面。
GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、 占用资源少、高性能、高可靠性、便于移 植、可配置等特点。
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模首先，我们需要定义系统的坐标和状态变量。
在这个问题中，我们可以选择将质点的位置和角度作为系统的状态。
令x表示质点的水平位置，θ表示摆杆与竖直方向的夹角。
其次，我们需要确定系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和欧拉定理，可以得到如下的动力学方程：m * x'' = -m * g * sin(θ) - c * x';I * θ'' = m * g * cos(θ) * L - J * θ'其中，m是质点的质量，g是重力加速度，c是摩擦系数，L是摆杆的长度，I是质点关于摆杆固定点的转动惯量，J是摆杆的转动惯量。
最后，我们可以采用数值方法来求解这个动力学方程。
牛顿-欧拉方法是一种常用的数值方法，它基于一阶泰勒级数展开近似，并使用离散时间步长来进行数值计算。
具体步骤如下：1.将时间t离散化为n个时间步长Δt的序列：t_0,t_1,...,t_n。
2.初始化系统的状态变量：x(0),θ(0),x'(0),θ'(0)。
3.对于每个时间步长i，计算状态变量的更新：a. 计算加速度：x''(i) = (1/m) * (-m * g * sin(θ(i)) - c * x'(i))θ''(i) = (1/I) * (m * g * cos(θ(i)) * L - J * θ'(i))b.使用泰勒级数展开逼近位置和速度：x(i+1)=x(i)+Δt*x'(i)+0.5*Δt^2*x''(i)θ(i+1)=θ(i)+Δt*θ'(i)+0.5*Δt^2*θ''(i)c.使用泰勒级数展开逼近速度和加速度：x'(i+1)=x'(i)+Δt*x''(i)θ'(i+1)=θ'(i)+Δt*θ''(i)d.根据实际情况对状态进行调整，如质点位置不能超过摆杆范围等。
直线一级倒立摆建模与控制
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
ppt直线一级倒立摆(课件材料)
由上图可知，小车位移的单位阶跃响应和单位脉冲响应都是发散的，说 明该系统不稳定
技术资料
15
控制器设计
PID校正设计
频域法校正设计
极点配置法校正 设计
技术资料
16
PID控制原理及试凑法
结构框图及传函
控制器设计 （PID）
技术资料
17
G(s)
控制器设计 （PID）
增大系统的比例系数一般将加快系统的 响应，在有静态误差的情况下有利于减 小静差，但是过大的比例系数会使系统 有较大的超调甚至产生震荡，使稳定性 变坏。
arcsin( 0.4 ) 0.24
0.4 1
0.24
所以：σ≤0.2
技术资料
26
参数选择
控制器设计 （频域法）
取超调量σ=0.25， 55, K 2.464
则
设调节时间 ts 0.2s
则：c
K0
ts
1538.4.780
当：c m 1358..7408 时 0 0
技术资料
频域法校正的优点是可以很直观的表现响应与频率之间的 关系，可以直接改变低频段、中频段、高频段增益，可以 直观改变穿越频率，增加低频增益和使高频增益快速衰减。 缺点是比较麻烦，运算过程复杂。
PID法校正的优点是操作简单，对自动化专业知识的要求 低，但是不能准确的改变系统参数，通过比例、微分、积 分三个系数的调节得到预期的控制效果。
-177
y
z
-178
无宽脉冲幅值：0.05
d
-179
-180
-181
实验结果表明PID与频域法校正系统性
-182
能基本一致，极点配置法因为需要控制
小车位移所以调节时间略大
一阶倒立摆模型建立与正确性分析实验报告
一阶倒立摆模型建立与正确性分析【实验目的】学会建立一阶倒立摆模型建立，并结合物理现象与数值结果分析模型的正确性。
【实验设备与软件】MATLAB/Simulink【实验原理】对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程下面我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型一阶倒立摆系统的数学模型.微分方程的推导：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一阶倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统.图一直线一阶倒立摆系统图取小车质量M=1.096kg，摆杆质量m=0.109kg，摆杆与小车间的摩擦系数b1=0.001N.m.s.，小车水平运动的摩擦系数b2=0.1N.m.s.，摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l=0.25m，加在小车上的力F，小车位置X，摆的角度θ摆杆惯量J。
一．忽略摩擦摆杆绕其重心的转动方程为：J=—l （1）摆杆重心的水平运动可描述为：=m(x+) （2）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为：—mg= m(x+l) （3）小车水平方向运动可描述为：F—=M （4）由式(2)和式（4）得到：（M+m ）x+ml （—）=F （5）由式（1）式（2）和式（3）得：J+mml=mgl （6）整理式（5）和式（6）得：（7）若只考虑θ=0 在其工作点附近（0*<θ<10）的细微变化，这时可近似认为 ， sin θ=θ，cos θ=1,J=由此得到的简化近似模型为：代入数值得本实验中倒立摆的简化模型：二．有摩擦定义逆时针转动为正方向。
设摆杆的重心为（）,则（1）根据牛顿定律建立系统垂直和水平运动力学方程：（1） 摆杆绕其重心转动的力学方程为：J=l+l b1 （2）式中，J 为摆杆绕其重心的转动惯量：2312123J mL L ml ==。
这里，杆重力的转动力矩为0，小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为0。
一阶直线双倒立摆建模与模型分析
L1 ，L2 ——两个摆杆质心到转轴点的距离,
1Байду номын сангаас， 2 ——两个摆杆与竖直方向的夹角,
J1 ，J 2 ——两个摆杆的转动惯量。
2.1.1 对小车受力分析 对小车进行受力分析，受力情况如图 1-2。
vx1 x L1 1 cos 1
B 点在 x 轴方向的加速度为
（2-2）
1 J1 m1 L12 3
由此可得左杆绕质心 B 的转动方程为
| 1 | 10 , | 2 | 10 )进行线性化
（2-8）
处理。各参数计算可作如下近似处理：
(
d1 2 ) 0 dt
d2 2 ) 0 dt
cos 1 1
sin 1 1
1 Fy1 L1 sin 1 Fx1 L1 cos 1 m1 L12 1 3
1 引言
倒立摆是一个经典的“复杂的、非线性、多变 量、快速的、自然不稳定系统”。它的控制问题就 是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有 大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的 位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制 等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本 身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量的非线性 系统。倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制 理论很有效的实验设备。通过倒立摆这样一个典型 的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理 多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从 中找出最优秀的控制方法。由于控制理论的广泛应 用，由此系统研究产生的控制方法在军工、航天、
M ——小车的质量， F ——加在小车上的外力, x ——小车的位置 ,
m1 \，m2
——两个摆杆的质量,
直线一级倒立摆系统的建模及仿真
计算机控制技术课程设计实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真一、已知条件：图1倒立摆简化模型摆杆角度为输出，小车的位移为输入。
导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。
二、任务要求：总体任务通过调节PID参数，设计PID控制器实现摆杆在受到干扰的情况下，依然能恢复平衡。
具体包括以下几部分：1. 理论推导包括倒立摆系统的动力学模型，传递函数，离散传递函数，状态空间或差分方程，稳定性分析，PID控制器设计2. 程序实现实现内容：倒立摆系统模型，控制器以及仿真结果的显示。
开发语言和工具：Matlab m 文件或C/C++ (工具：VC++或其它)3. PID控制参数设定及仿真结果。
分别列出不同杆长的仿真结果（例如：L=0.25 和L=0.5）。
4. 将理论推导、程序实现、仿真结果写成实验报告。
具体求解过程如下：一，倒立摆系统动力学模型的建立图1 摆杆的受力分析图以摆杆为研究对象，对其进行受力分析，如图1所示。
根据质点系的达朗贝尔原理得IC I 0F CP mg CP M →→⨯+⨯-= （1）式中，IC F 为杆的惯性力，表达式为()IC C P CP CP IP ICP ICP t n t nF ma m a a a F F F ==++=++，m 为杆的质量，g 为重力加速度，I M 为杆的惯性力偶。
惯性力及惯性力偶的大小分别为2222IP P ICP I c 2221,,3t d x d d F ma m F m m M J mL dt dt dt θθαα======（2）式中，α为杆的角加速度，P a 为小车的加速度，2L 为杆的长度，θ为杆偏离中心位置的角度，x 偏离轨道中心的位移。
对（2）式代入（1）式，并整理可得22224sin cos 3d d x L g dt dt θθθ-=-（3） 当摆动较小时，可以进行近似处理sin ,cos 1θθθ≈≈。
直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制
直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制直线一级倒立摆是一种基于控制理论的研究对象，它可以通过数学建模来进行分析和控制。
数学建模的过程中，需要将倒立摆的动力学方程、控制器以及传感器等元器件进行建模。
根据建模结果可以分析系统的稳定性、响应速度等特征，并为设计控制策略提供参考。
根轨迹控制是一种常用于控制系统设计的方法，它通过分析控制系统的传递函数，绘制根轨迹图来评估控制系统的稳定性和性能。
对于直线一级倒立摆，可以根据其数学模型进行传递函数分析，得出控制系统的传递函数，并绘制根轨迹图。
在根轨迹图上，可以根据根轨迹的位置来判断系统的稳定性和响应速度，从而确定控制策略并调整控制参数，以实现目标控制效果。
因此，直线一级倒立摆的数学建模和根轨迹控制在控制理论研究和工程应用中具有重要意义，可以为控制系统设计提供有效的方法和手段。
直线一级倒立摆系统建模
自动化学院 控制理论与控制工程
• 自动控制领域中，建立数学模型的方法有两个，即 机理法和实验法。 • 实验法一般只用于建立输入输出模型，它是根 据输入和输出的实测数据进行进行相应的处理和计 算后得到系统的模型。其主要特点为：把研究对象 视为一个黑匣子，完全从外部特性上描述它的动态 性能而不需要深入了解被控对象的内部机理。实验 法在工程技术上有很大的用途，它让研究者省去了 对于现实环境中复杂、恶劣被控对象的深入研究， 从而让建模过程简单易行。但是，这也并不意味着 对内部过程一无所知。 • 就倒立摆系统而言，由于其本身是自然不稳定 的系统，非线性严重，应用实验法建模存在一定的 困难。另一方面，经过理想化的假设、忽略一些次 要影响时，倒立摆就是一个典型的运动系统，应用 经典力学相关理论可以方便的建立起数学模型。这 就意味着，机理建模法对于倒立摆系统更加合适。 下面就其中的牛顿－欧拉方法展开具体论述。
M m b
小车质量 摆杆质量 小车摩擦系数
1.096 0.109 0.1
Kg Kg N/m/sec m kg*m*m 秒
l
I T
摆杆转动轴心到 0.25 杆质心的长度 0.0034 摆杆惯量 采样频率 0.005
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型：
Φ(s ) 0.02725s 2 （1） = X (s ) 0.0102125s 2 − 0.26705
&&, φ& 求解，得： x & − (I + ml )b & x+
(
)
把上式改写成状态空间表达式的形式： 1 0 0 2 2 & x − (I + ml b) m gl 2 && 0 2 2 x = I (M + m) + Mml I (M + m) + Mml & 0 0 φ 0 − mlb mgl(M + m) && φ 0 2 2 I (M + m) + Mml I (M + m) + Mml x & x 1 0 0 0 x y= = φ 0 0 1 0 φ & φ
一阶倒立摆系统建模与仿真研究
一阶倒立摆系统建模与仿真研究一阶倒立摆系统是一种典型的非线性控制系统，具有多种状态和复杂的运动特性。
在实际生活中，倒立摆被广泛应用于许多领域，如机器人平衡控制、航空航天、制造业等。
因此，对一阶倒立摆系统进行建模与仿真研究具有重要的理论价值和实际意义。
ml''(t) + b*l'(t) + k*l(t) = F(t)其中，m为质量，b为阻尼系数，k为弹簧常数，l(t)为摆杆的位移，l'(t)为摆杆的加速度，l''(t)为摆杆的角加速度，F(t)为外界作用力。
在仿真过程中，需要设定摆杆的初始位置和速度。
一般而言，初始位置设为0，初始速度设为0。
边界条件则根据具体实验需求进行设定，如限制摆杆的最大位移、最大速度等。
利用MATLAB/Simulink等仿真软件进行建模和实验，可以方便地通过改变输入信号的参数（如力F）或系统参数（如质量m、阻尼系数b、弹簧常数k）来探究一阶倒立摆系统的性能和反应。
通过仿真实验，我们可以观察到一阶倒立摆系统在受到不同输入信号的作用下，会呈现出不同的运动规律。
在适当的输入信号作用下，摆杆能够达到稳定状态；而在某些特定的输入信号作用下，摆杆可能会出现共振现象。
在仿真过程中，我们可以发现一阶倒立摆系统具有一定的鲁棒性。
在一定范围内，即使输入信号发生变化或系统参数产生偏差，摆杆也能够保持稳定状态。
然而，当输入信号或系统参数超过一定范围时，摆杆可能会出现共振现象，导致系统失稳。
因此，在实际应用中，需要对输入信号和系统参数进行合理控制，以保证系统的稳定性。
为了避免共振现象的发生，可以通过优化系统参数或采用其他控制策略来实现。
例如，适当增加阻尼系数b能够减小系统的振荡幅度，有利于系统尽快达到稳定状态。
可以采用反馈控制策略，根据摆杆的实时运动状态调整输入信号，以抑制系统的共振响应。
本文对一阶倒立摆系统进行了建模与仿真研究，通过观察不同参数设置下的系统性能和反应，对其运动规律、鲁棒性及稳定性进行了分析。
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一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时，一般忽略掉系统中的一些次要因素•例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统，其机械部分遵循牛顿的力学定律，其电气部分遵守电磁学的基本定理•因此，可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型，通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统，都具有3个特性，即：不确定性、耦合性、开环不稳定性•直线型倒立摆系统，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统•小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动•小车导轨一般有固定的行程，因而小车的运动范围是受到限制的。
虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2)不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
3)耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
4)开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。
由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点：(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度；(2)为保证倒立摆能顺利起立，要求初始偏角小于20 ° ;（3）为保证倒立摆保持倒立的平衡态，要求控制系统响应速度足够快。
为此,设调整时间小2 s, 峰值时间小于0.5 s.对小车进行受力分析Nbx上图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车和摆杆的相互作用力的水平和垂直方向的分量。
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量的正方向。
其中：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数L 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置0 摆杆与垂直向上方向的夹角0 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑带摆杆初始位置为竖直向下）u 输入,即施加在小车上的外力；y 输出• 分析小车水平方向所受合力，可以得到方程：一債-•叮（式1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：■ 2dr= + R n 沁3（式2、式3）将式3代入式1可得系统第一个运动方程：-I （式4）为了推出系统第二个运动方程，对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程:（式5式6）力矩平衡方程如下:心⑺⑺匸（式7）式中：0 -r7 4^.C0S^- COS^SHl^- sill6^合并式6、式7得第二个运动方程:-:：' - ii -…：」（式 8）设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设小，即 <<1，则可以进行近似处理：用u 来代表被控对象的输入力cas B = — I ・ siii B = 一於》（-—）3 二 0drF ，线性化后两个运动方程如下:（式 9）对式（3-9）进行拉普拉斯变换（推导传递函数时假设初始条件为0。
）1/ +H1!1■ - ) — /^ZVis)s L+= C7(J )(式 10)整理后得到传递函数:Wf/ 7——3 O(s)q£7(f) 丄 b([ + rirl~) j (4f +； bntgl■S +S —3"(1fl 5其中：q [W +山）（/十川F ）-（M ）]X = AX + Ha设系统状态空间方程为:F YX +加 （式12）■ ■ 010 0X-（/ 1-川厂）6WflX[-t mi 1X7(Af + in) +Mail' J( A/ 4- ) 4-Mini ■i*I (J/ + 川} * Mnrhd0 0 0 1* M $0 ―wlb.气ml ■1/(.V * JJ ;) +' 儿订 + M ) + MntrL T Jf(3/ + w} * Mmf'参考相关资料得出系统实际模型参数如下：M 为小车质量1.096Kg M 为摆杆质量0.109Kg Be 为小车摩擦系数0.1N/m/sL 为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度 0.25mI 为摆杆转动惯量0.0034Kg*m*m代入相关数据得到：A=与1 （单位是弧度）相比很（式 11）Q 1.0UUH Q 00-0. 08830-0293000 1.00000-0. 236027.67000 B=O.S650□2.3570C=00010 1 00C01IJ0001D=将数据输入matlab进行建模a=[0 1 0 0;0 -0.08831 0.6293 0;0 0 0 1;0 -0.236 27.67 0]b=[0;0.865;0;2.357]c=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]d=[0;0;0;0][nu m,de n]=ss2tf(a,b,c,d)num =0 -0.0000 0.8650 -0.0000 -22.45130 0.8650 -0.0000 -22.4513 00 -0.0000 2.3570 0.0040 00 2.3570 0.0040 -0.0000 0 den =1.0000 0.0883 -27.6700 -2.2947 0、系统特性分析首先利用matlab进行仿真>> step (nu m,de n)利用传递函数得到如下响应曲线系统响应曲线是发散的 [z, p,k]=tf2zp( nu m,de n) 得：P =0 5.2576 -5.2630 -0.0829系统极点有一个在右半平面，系统不稳定利用matlab 命令uc=ctrb(a,b) ； r=rank(uc) 来判断系统能控性 结果如下： 匸-4 三、系统建模利用配置极点法对系统进行校正 性能指标1取超调量b =20%调整时间© =2秒 根据书上相关公式得：Z =0.456 n=4.39之后求出系统的主导极点;45 O-- n OC?】号」利用公式％= n n J 21计算出主导极点S1,2=-2 ± 3.9j再取两个实极点旳=-10, =-10接着利用matlab求取状态反馈矩阵K：K=acker(a,b,p)K =-85.5630 -35.0084 127.6198 22.9928利用simulink进行仿真设计：性能指标2取超调量b =10%调整时间© =1.5秒根据书上相关公式得：Z =0.59 n=4.5之后求出系统的主导极点$,2=- 2.655 ± 3.63 j 再取两个实极点旳=-15，可=-15接着利用matlab求取状态反馈矩阵K：K=acker(a,b,p)K =-202.6981 -80.2979 257.6800 44.4121仿真设计性能指标3取超调量b =15%调整时间© =2秒根据书上相关公式得：Z =0.52 n=3.869之后求出系统的主导极点q,2=- 2± 3.3 j 再取两个实极点旳=-10，可=-10 接着利用matlab求取状态反馈矩阵K：K=acker(a,b,p)K =-66.3214 -31.1617 118.7278 21.5810实验分析：性能指标1设定在超调量b =20%调整时间t=2秒时，系统响应超调量在7% 调整时间在2秒左右。
当性能指标2设定在超调量b =10%调整时间t=1.5秒时，实际超调量在4%调整时间在 1.5 秒。
性能指标3设定在超调量b =15%调整时间t=2s时，实际超调量为9%,调整时间1.5s左右。
从特征根的选取上来看，一般将特征根配置在原点的左边，而且离原点越远响应时间越短，但相应的反馈控制矩阵的控制力度也越大从以下数据可见一斑K1 =-85.5630 -35.0084 127.6198 22.9928 ; K2= -202.6981 -80.2979 257.6800 44.4121 ;第三组与第一组相比超调量稍微增加，而调整时间不变。
四、总结学习MATLA已经一学期了，matlab是一种非常方便的仿真工具，在矩阵计算上有很大的优势，在本次的实验过程中，通过matlab只有短短的几条语句就能将系统的反馈矩阵算出来，相比起自己手动计算的复杂性来说效率有了很大的提高，省心省力。
在这最后一次的自控原理实践课中，我对matab的运用以及系统的控制过程有了更深一步的了解也加强了自己的动手能力。
最后，感谢老师一学期来对我的辛勤教导。