巧用二次函数的轴对称性

巧用二次函数的轴对称性

抛物线的轴对称性,是二次函数的一个重要特征。若能巧妙运用，可使求解变得简洁。请看下面的例子:

一、求定点坐标

例1、(诸暨市)抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图1所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 ( )

A ．（12

，0）； B ．（1， 0）； C ．（2， 0）； D ．（3， 0）

解析：依题意，得y=a (x+1)2+ a 2-a +2

则抛物线对称轴为：直线x=-1

从而，点（-3，0）直线x=-1的距离为2，

所以，点（-3，0）关于直线x=-1的对称点的坐标为：（1，0），

选B 。

评注：由抛物线的轴对称性可知，抛物线与横轴的两个交点间的距

离相等。这就是本题解决问题的突破口。 二、代数式求值

例2、（芜湖市）如图2，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c

（a ＜0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 。 解析：连结BC 交OA 于点D ，则DC=DB=OD=DA.

由已知条件可知，点A 的坐标为:（0，c ），

所以点C 的坐标为：（2c ，2c ），从而有：2c =4

2

ac + c. 所以ac=-2.

评注：本题把抛物线的轴对称性与正方形的轴对称性对称性相结合，

得出抛物线上的点坐标，并由此得出等量关系，求未知代数式的值，

显得非常巧妙。

三、比数值大小

例3、（临沂市）若A （－134

，y 1）、B （－1，y 2）、C （53，y 3）为二次函数245y x x =--+的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B 、y 3＜y 2＜y1 C 、y 3＜y 1＜y 2 D 、y 2＜y 1＜y 3 解析：二次函数245y x x =--+可变形为： 9)2(2++-=x y ，由此可知，抛物线的

顶点坐标为：（-2，9），对称轴为：直线x=-2；

从而可知，点A 关于直线x=-2的对称点的坐标为（

43，y 1），这样，它与B （－1，y 2）、C （53

，y 3）都在对称轴的右侧，而抛物线的开口向下，于是，由抛物线的性质可知：y 2＜y 1＜y 3，选D 。

评注：本题借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点，变换到了同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较。当然，本题也可以用直接求函数值法进行比较。

四、求函数值

例4、（南通市）已知二次函数y ＝2x 2＋9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2 时的函数值与 ( )

A 、x ＝1时的函数值相等

B 、x ＝0时的函数值相等

C 、x ＝

41时的函数值相等 D 、x ＝－4

9时的函数值相等 解析：易知抛物线y ＝2 x 2＋9x+34的顶点横坐标为：－49， 当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，

则以x 1、x 2为横坐标的两点关于直线x=－4

9对称. 不妨设以x 1为横坐标的点在左，以x 2为横坐标的点在右，

于是有：x 2-（-

49）=-4

9- x 1. 所以，有x 2 +x 1=-29，则当x =-29时，y=0.选B. 评注：自变量不同时，函数值相等。由此可知，以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称。从而，得出这两个自变量的数值关系是本题的突破口。可见，运用轴对称性，能巧妙地解决问题。