广东省揭阳市2019届高三数学第一次模拟考试试题理
2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
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2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2+x﹣6<0},B=(﹣2,2),则∁A B=()A.(﹣3,﹣2)B.(﹣3,﹣2]C.(2,3)D.[2,3)2.(5分)已知向量,若,则λ的值为()A.﹣3B.C.D.33.(5分)已知是复数z的共轭复数,(z+1)(﹣1)是纯虚数,则|z|=()A.2B.C.1D.4.(5分)若,则sin4α﹣cos4α的值为()A.B.C.D.5.(5分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如图茎叶图:则下列结论中表述不正确的是()A.第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B.第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C.这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D.无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6.(5分)函数f(x)在[0,+∞)单调递减,且为偶函数.若f(2)=﹣1,则满足f(x﹣3)≥﹣1的x的取值范围是()A.[1,5]B.[1,3]C.[3,5]D.[﹣2,2]7.(5分)如图,网格纸上虚线小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.B.52C.D.568.(5分)某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节,且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为()A.6B.12C.24D.489.(5分)过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.210.(5分)如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,记正方形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC上任取一点,此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为p1、p2,则()A.p1=p2B.p1<p2C.p1≤p2D.p1≥p211.(5分)已知△ABC中,AB=AC=3,sin∠ABC=2sin A,延长AB到D使得BD=AB,连结CD,则CD的长为()A.B.C.D.312.(5分)已知函数f(x)=cosπx,,若∃x1、x2∈[0,1],使得f (x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)命题“对∀x∈[﹣1,1],x2+3x﹣1>0”的否定是;14.(5分)在曲线f(x)=sin x﹣cos x,的所有切线中,斜率为1的切线方程为.15.(5分)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形,且面积为,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的表面积为.16.(5分)已知点P在直线x+2y﹣1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,M(x0,y0)为PQ 的中点,且y0>2x0+1,则的取值范围是.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且,(其中p、m为常数),又a1=a2=3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a n,求数列{a n•b n}的前n项和T n.18.(12分)如图,在四边形ABED中,AB∥DE,AB⊥BE,点C在AB上,且AB⊥CD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE与平面PBC 所成的角为45°.(1)求证:平面PBC⊥平面DEBC;(2)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.19.(12分)某地种植常规稻A和杂交稻B,常规稻A的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为(x i,y i)(i=1,2,…10),并得到散点图如图,参考数据见下.(1)估计明年常规稻A的单价平均值;(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B的亩产超过765公斤的概率;(3)判断杂交稻B的单价y(单位:元/公斤)与种植亩数x(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A和杂交稻B中选择,明年种植哪种水稻收入更高?统计参考数据:=1.60,=2.82,(x i))y i)=﹣0.52,(x i)2=0.65,附:线性回归方程,b=.20.(12分)已知点在椭圆C:上,椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A、B两点,且满足|OA|2+|OB|2的值为常数,(其中O为坐标原点)(i)求k的值以及这个常数;(ii)写出一般性结论(不用证明):斜率为定值k的直线l与椭圆交于A、B两点,且满足|OA|2+|OB|2的值为常数,则k的值以及这个常数是多少?21.(12分)设函数(a、b∈R),(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点x1、x2,求证:x1+x2+2>2ax1x2.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=a2(a∈R,a为常数),过点P(2,1)、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足,(t为参数).(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且|P A|•|PB|=2,求a和||P A|﹣|PB||的值.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,(1)求函数f(x)的值域;(2)若x∈[﹣2,1]时,f(x)≤3x+a,求实数a的取值范围.2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解:根据题意,集合A={x|x2+x﹣6<0}=(﹣3,2),又由B=(﹣2,2),则∁A B=(﹣3,﹣2];故选:B.2.【解答】解:;∵;∴;∴λ=﹣3.故选:A.3.【解答】解:设复数z=a+bi,a、b∈R,则=a﹣bi,∴(z+1)(﹣1)=z•﹣z+﹣1=a2+b2﹣2bi﹣1,且为纯虚数,∴a2+b2﹣1=0,且﹣2b≠0,∴|z|==1.故选:C.4.【解答】解:由,得cos2α=,∴sin4α﹣cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α﹣cos2α)=﹣cos2α=﹣.故选:D.5.【解答】解:由茎叶图的性质得:在A中,第一种生产方式的工人中,有:=75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟,故A正确;在B中,第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高,故B正确;在C中,这40名工人完成任务所需时间的中位数为:=80,故C正确;在D中,第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟.第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟,故D错误.故选:D.6.【解答】解:法一:因函数f(x)在[0,+∞)单调递减,且为偶函数,则函数f(x)在(﹣∞,0)单调递增,由f(2)=f(﹣2)=﹣1,则﹣2≤x﹣3≤2⇒1≤x≤5.法二:由f(x﹣3)≥﹣1得f(x﹣3)≥f(2),即f(|x﹣3|)≥f(2),即﹣2≤x﹣3≤2,得1≤x≤5.即x的取值范围是[1,5],故选:A.7.【解答】解:由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体,几何体的直观图如图:其体积为.故选:D.8.【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①:将两节数学捆在一起与语文先进行排列有种排法,②:将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有种方法,根据乘法原理得不同课程安排种数为;故选:B.9.【解答】解:将x=±c代入双曲线的方程得,则2c=,即有ac=b2=c2﹣a2,由e=,可得:e2﹣e﹣1=0,解得.故选:B.10.【解答】解:设△ABC两直角边的长分别为a,b,其内接正方形的边长为x,因为DE∥BC,所以,解得:,由几何概型中的面积型可得:则,p2=1﹣p1=1﹣=,p1﹣p2=≤0,(当且仅当a=b时取等号),即p1≤p2,故选:C.11.【解答】解:∵AB=AC,∴∠ABC=,∴sin∠ABC=sin=cos,又sin∠ABC=2sin A=4sin cos,∴cos=4sin cos,∵0<A<π,∴0<<,∴cos≠0,∴sin=,∴cos A=1﹣2sin2=.在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AC2+AD2﹣2AC•AD•cos A=9+36﹣2×3×6×=.∴CD==.故选:C.12.【解答】解:设F、G分别为函数f(x)与g(x)定义在区间上[0,1]上的值域,则F=[﹣1,1],当a>0时,e a>1,单调递增,当a<0时,g(x)单调递减,,∃x1、x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)⇔F∩G≠ϕ,因为在(0,+∞)上递增,在(﹣∞,0)上递减,所以,所以解得(1)式,(2)式⇔∅,综上a≥,故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.【解答】解:命题为全称命题,则命题的否定为∃x∈[﹣1,1],x2+3x﹣1≤0.故答案为∃x∈[﹣1,1],x2+3x﹣1≤014.【解答】解:由f(x)=sin x﹣cos x,得f′(x)=cos x+sin x=,由,得sin(x+)=,∵,∴x+∈(,),∴x+=,即x=0.∴切点为(0,﹣1),切线方程为y+1=x,即x﹣y﹣1=0.故答案为:x﹣y﹣1=0.15.【解答】解:设圆锥母线长为l,由△SAB为等边三角形,且面积为,所以l2=4,解得l=4;又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8;又r2+h2=16,解得,(或设轴截面顶角为S,则由,求得S=90°,可得圆锥底面直径)所以圆锥的表面积为.故答案为:8(+1)π.16.【解答】解:点P所在的直线x+2y﹣1=0与点Q所在直线x+2y+3=0平行,因此可设PQ中点M(x0,y0)所在直线的方程为x+2y+m=0,∴=,解得m=1;∴PQ中点M(x0,y0)所在直线的方程为x+2y+1=0,联立,解得,其交点为N(﹣,﹣);′∴k ON=;令=k,∵PQ中点为M(x0,y0)满足x0+2y0+1=0,且y0>2x0+1,如图所示;∴﹣<k<;即的取值范围是(﹣,).故答案为:(﹣,).三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.【解答】解:(1)由a1=a2=3得3p+m=6,2(a1+a2)=9p+m=12,解得p=1,m=3,即,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当n≥2时,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得,即,∵a1=3不满足上式,∴;(2)依题意得当n=1时,T1=a1b1=3,当n≥2时,T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=3×1+3×1+32×2+…+3n﹣1×(n﹣1),,两式相减得:==,.显然当n=1时,T1=3符合上式.∴.18.【解答】证明:(1)∵AB⊥CD,AB⊥BE,∴CD∥EB,∵AC⊥CD,∴PC⊥CD,∴EB⊥PC,且PC∩BC=C,∴EB⊥平面PBC,又∵EB⊂平面DEBC,∴平面PBC⊥平面DEBC.解:(2)由(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°,∴△PBE为等腰直角三角形,∴PB=EB,∵AB∥DE,结合CD∥EB得BE=CD=2,∴PB=2,故△PBC为等边三角形,取BC的中点O,连结PO,∵PO⊥BC,∴PO⊥平面EBCD,以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,则B(0,1,0),E(2,1,0),D(2,﹣1,0),,从而,,,设平面PDE的一个法向量为,平面PEB的一个法向量为,则由得,令z=﹣2得,由得,令c=1得,设二面角D﹣PE﹣B的大小为θ,则,即二面角D﹣PE﹣B的余弦值为.19.【解答】解:(1)设明年常规稻A的单价为ξ,则ξ的分布列为:E(ξ)=3.5×0.1+3.6×0.6+3.7×0.3=3.62,估计明年常规稻A的单价平均值为3.62(元/公斤);﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)(2)杂交稻B的亩产平均值为:[(730+790+800)×0.005+(740+780)×0.01+(750+770)×0.02+760×0.025]×10=116+152+304+190=762.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为:p=0.2+0.1+0.5×2=0.4,则将来三年中至少有二年,杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为:.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)(3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近,所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)由题中提供的数据得:,由,所以线性回归方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)估计明年杂交稻B的单价元/公斤;估计明年杂交稻B的每亩平均收入为762×2.50=1905元/亩,估计明年常规稻A的每亩平均收入为500×E(ξ)=500×3.62=1810元/亩,因1905>1875,所以明年选择种植杂交稻B收入更高.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)20.【解答】解:(1)由点P在椭圆上得,2c=2,∴3b2+2a2=2a2b2,c=1,又a2=b2+c2,∴3b2+2(b2+1)=2(b2+1)b2,∴2b4﹣3b2﹣2=0,得b2=2,得a2=3,∴椭圆C的方程为;(2)(i)设直线l的方程为y=kx+t,联立,得(3k2+2)x2+6ktx+3t2﹣6=0,∴x1+x2=﹣,x1x2=又,y22=2(1﹣),∴====,要使|OA|2+|OB|2为常数,只需18k2﹣12=0,得,∴|OA|2+|OB|2=,∴,这个常数为5;(ii),这个常数为a2+b2.21.【解答】解:(1),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)设g(x)=ax2﹣x﹣1(x>0),①当a≤0时,g(x)<0,f'(x)<0;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)②当a>0时,由g(x)=0得或,记=x0则,∵∴当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.﹣﹣﹣(5分)(2)不妨设x1<x2,由已知得f(x1)=0,f(x2)=0,即,,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)两式相减得,∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)要证x1+x2+2>2ax1x2,即要证,只需证,只需证,即要证,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)设,则t>1,只需证,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)设,只需证h(t)>0,∵,∴h(t)在(1,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(1)=0,得证.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.【解答】解:(1)由ρ2cos2θ=a2得ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=a2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)又x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2﹣y2=a2,∴C的普通方程为x2﹣y2=a2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)∵过点P(2,1)、倾斜角为30°的直线l的普通方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)由得∴直线l的参数方程为(t为参数);﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(2)将代入x2﹣y2=a2,得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)依题意知则上方程的根t1、t2就是交点A、B对应的参数,∵,由参数t的几何意义知|P A|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1•t2|,得|t1•t2|=2,∵点P在A、B之间,∴t1•t2<0,∴t1•t2=﹣2,即2(3﹣a2)=﹣2,解得a2=4(满足△>0),∴a=±2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)∵||P A|﹣|PB||=||t 1|﹣|t2||=|t1+t2|,又,∴.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)[选修4-5:不等式选讲](10分)23.【解答】解:(1)法一:|f(x)|=||x+1|﹣|x﹣1||≤|(x+1)﹣(x﹣1)|=2,∴﹣2≤f(x)≤2,f(x)的值域为[﹣2,2];﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)法二:,得﹣2≤f(x)≤2,∴f(x)的值域为[﹣2,2];﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(2)由f(x)≤3x+a得a≥|x+1|﹣|x﹣1|﹣3x,由x∈[﹣2,1]得x﹣1≤0,∴a≥|x+1|+x﹣1﹣3x=|x+1|﹣2x﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)设g(x)=|x+1|﹣2x﹣1(﹣2≤x≤1),①当﹣2≤x≤﹣1时,x+1≤0,g(x)=﹣(x+1)﹣2x﹣1=﹣3x﹣2,∴g(x)max=g(﹣2)=4;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)②当﹣1<x≤1时,x+1>0,g(x)=x+1﹣2x﹣1=﹣x,∴g(x)<g(﹣1)=1;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)综上知,g(x)max=4,由a≥g(x)恒成立,得a≥4,即a的取值范围是[4,+∞).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)。
2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题含答案(2)
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化州市2019年高考第一次模拟考试理科数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{||21|3}A x x ,集合{|1}Bx x ,则A B ()A .(1,2) B.(1,2] C .[1,2) D .[1,2]2.已知(12)5z i i ,则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于()A .第一象限 B.第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.设,x y 满足约束条件360200,0xy x yxy ,则目标函数24z x y 的最小值为()A . -4 B .-2 C .0 D . 24.已知数列{}n a 为正数项的等比数列,n S 是它的前n 项和,若174a a ,且47522a a ,则4S ()A . 34B .32 C. 30 D .285.欧阳修的《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆盖其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为d 的圆面,中间有边长为3d 的正方形孔,现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴落入孔中的概率为()A .49 B .49 C. 14 D .586.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积是()A .43 B .223 C. 83 D .4237.设0,函数sin()13y x 的图像向左平移23个单位后与原图重合,则的最小值是()A .23 B .43 C.32 D .38.执行如图的程序框图,若输出的48S ,则输入k 的值可以为()A .6 B. 10 C. 4 D .8 9.函数21()(1)x f x a a 的部分图像大致为()。
广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(解析版)
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2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页,23小题,满分150分,考试用时120分钟 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=( )A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ,再由交集的定义即可得结果. 【详解】因为集合{}|02M x x=?,{}{}2|230|13N x x x x x =--<=-<<,{}|02M Nx x \??,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题,属于简单题. 研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数,1010a a ì+?ï\í-=ïî,即1a =,故选C.主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.3.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若36a =,312S =,则公差d 等于( ). A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C 【解析】试题分析:因为322123124S a a =??,所以32642d a a =-=-=,选C.考点:等差数列性质4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D 【解析】圆心C(3,0),k PC =12-,∵点P 是弦MN 的中点,∴PC ⊥MN , ∴k MN k PC =-1,∴k MN =2,∴弦MN 所在直线方程为y -1=2(x -1), 即2x -y -1=0.考点:圆的弦所在的直线方程.5.已知实数ln222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=,则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果. 【详解】由对数函数的性质0ln21<<, 所以22ln 22,+>所以由指数函数的单调性可得,200ln 2112222,0ln 2ln 21=<<=<<=,c a b \<<,故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题,属于中档题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(本题三个数分别在三个区间()()()0,1,1,2,2,+? );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.下列命题中,真命题的是( ) A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î,且2x y +>,则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域判断A ;根据特殊值判断B C 、;根据逆否命题与原命题的等价性判断D . 【详解】根据指数函数的性质可得x 0e >,故A 错误;2x =时,22x x >不成立,故B 错误;当0a b ==时,1ab=-不成立,故C 错误; 因为“2x y +>,则,x y 中至少有一个大于1”的逆否命题 “,x y 都小于等于1,则2x y +?”正确,所以“2x y +>,则,x y 中至少有一个大于1”正确,故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义,以及原命题与逆否命题的等价性,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题. 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位,再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p 骣琪=-琪桫的图象,则()f x =( ) A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B 【解析】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12,再把所得图象向右平移3p 个单位,即可得到()f x 的图象,根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式.【详解】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12,可得函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象, 再把函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象向右平移3p 个单位,即可得到()66366f x sin x sin x p pp 轾骣骣犏琪琪=--=-琪琪犏桫桫臌的图象, 所以()f x = 66sin x p骣琪-琪桫,故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度.8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( ) A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C 【解析】试题分析:甲取出的求有两种情况:(1)从甲取出1黄球1红球,概率为:132136213C C C ?,(2)从甲取出2红球,概率为:142136129C C C ?,故概率为125399+=.考点:1、古典概型;2、分类加法、分步乘法计数原理.9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为( )A.1 B. 31 C. 51 D. 22【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出A 的坐标,将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系,则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p骣琪琪桫,双曲线的焦点坐标为(),0c ,2p c \=,点A 是两曲线的一个交点,且AF x ^轴,将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a骣琪琪桫, 将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+, 即4224440a a b b +-=,解得222ba=+ 22222222b c a a a -\==+)22232221c a=+=解得21ce a==,故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率,是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,a c ,从而求出e ;②构造,a c 的齐次式,求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若367,63S S ==,则数列{}n na 的前n 项和为( ) A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D 【解析】当1q = 时,不成立,当1q ¹ 时,()3161171{1a q q a q -=-- ,两式相除得3631171163q q q -==-+ ,解得:2q = ,11a = 即1112n n n a a q --== ,12n n n a n -?? ,2112232......2n n s n -=+??+? ,2n s = ()211222......122n n n n -??+-?? ,两式相减得到:21122......22n n n s n --=++++-?()12212112n nn n n -=-?-?- ,所以()112nn s n =+-? ,故选D.11.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C 【解析】该几何体为如图所示的几何体11EFBC ABCD -,是从棱长为2的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分,其体积111111131111211212273232A B C D ABCD A A EF D D BC V V V V ---=--=-创创-创创=,故选C. 12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是( ) A. ()(--4)0+ト?,,B. ()0+¥, C. ()(--1)1+ト?,, D. ()--1¥, 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点,对函数求导得到切点处的斜率,由点斜式得到切线方程,化简为20x a =,整理得到方程2000x ax a --=有两个解即可,240a a D=+>解出不等式即可.【详解】设切点为()00,x x x e ,(1)x y x e =+¢,000(1)x x x y x e =\=+?¢,则切线方程为:()00000=1()x x y x e x e x x -+?,切线过点(,0)A a 代入得:()00000=1()x x x e x e a x -+?, 2001x a x \=+,即方程2000x ax a --=有两个解,则有2400a a a D=+>?或4a <-. 故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法,以及过某一点的切线方程的求法,其中应用到导数的几何意义,一般过某一点求切线方程的步骤为:一:设切点,求导并且表示在切点处的斜率;二:根据点斜式写切点处的切线方程;三:将所过的点代入切线方程,求出切点坐标;四:将切点代入切线方程,得到具体的表达式.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°,且1,2a b ==,则a b -=__________ 【答案】1 【解析】 【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值,再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45°,1,2a b ==,()2222a b a b a b -=+-?222cos 45a b a b °=+-?21221212=+-创?,可得1a b -=,故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式,属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式cos a ba b q ?;二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++,则2202413()()a a a a a ++-+=__________. 【答案】1令1x =,得401234(23)a a a a a +=++++; 令1x =-,得401234(23)a a a a a -+=-+-+;两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++?+--444(2(23)(1)1=?=-=.点睛: “赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b +++?R 的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法, 只需令1x =即可;对形如()(,)n ax by a b +?R 的式子求其展开式各项系数之和,只需令1x y ==即可.15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî,则11()()42x y z =的最小值为__________.【答案】C 【解析】试题分析:不等式组20{350x y x y -?-+?表示的平面区域如下图所示,目标函数2111()()()422x y x y z +==,设2t x y =+,令20x y +=得到如上图中的虚线,向上平移20x y +=易知在点()1,2A 处取得最小值,min 4t =,所以目标函数4min 11()216z ==. 考点:线性规划.16.在四面体P ABC -中,1PA PB PC BC ====,则该四面体体积的最大值为________. 3由于平面PBC 是边长为1的正三角形,P ABC A PBC V V --= ,底面面积固定,要使体积最大,只需高最大,故当PA ^平面PBC 时体积最大,2133113V =创?.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-23题为选考题,考生根据要求作答.17.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. (1)求角C 的大小;(2)若A=6p,△ABC 的面积为43M 为BC 的中点,求AM. 【答案】(1) 2;3C p=(2) 27【解析】 【分析】(1)利用正弦定理,结合同角三角函数的关系化简已知的等式,得到三边的关系式,再利用余弦定理表示出根据cos C 的值,可求角C 的大小;(2)求得()6B AC A pp =-+==,ABC D为等腰三角形,由三角形面积公式可求出CB CM 、的值,再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+() ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得:222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角,∴23C p= (2)由(1)知23C p =,∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形,即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 432CABSCA CB C =鬃=∴CA=4,CM=2由余弦定理得:222cos 27CA CM CM CA C +-鬃=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式,属于中档题. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.18.某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品,图1是设备改造前样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的频数分布表.表1,设备改造后样本的频数分布表:(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数;(2)企业将不合格品全部销毁后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在[25,30)内的定为一等品,每件售价240元,质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价180元,其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X (单位:元),求X 得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2;(2)分布列见解析, 400. 【解析】(1)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值;(2)X 的可能取值为:240, 300,360, 420, 480,根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236,利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)样本的质量指标平均值为0.0417.50.162.5??????30.2=. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .(2)根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236, 故从所有产品中随机抽一件,是一、二、三等品的概率分别为111,,236, 随机变量X 的取值为:240, 300,360, 420, 480,()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=;()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=, ()111480224P X ==?, 所以随机变量X 的分布列为:()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用,互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题. 求解数学期望问题,首先要正确理解题意,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要过三关:(1)阅读理解关;(2)概率计算关;(3)公式应用关.19.如图,多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为矩形,二面角A-CD-F 为60°,DE ∥CF ,CD ⊥DE ,AD=2,DE=DC=3,CF=6.(1)求证:BF ∥平面ADE ;(2)在线段CF 上求一点G ,使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】(1)详见解析;(2)点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】(1)先证明//BC 平面ADE ,//CF 平面ADE ,可得平面//BCF 平面ADE ,从而可得结果;(2)作AO DE ^于点O ,则AO ^平面CDEF ,以平行于DC 的直线为x 轴,DE 所在直线为y 轴,OA 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,设()3,,0,15G t t-#,利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量,结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =,利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =,从而可得结果.【详解】(1)因为ABCD 是矩形,所以BC ∥AD , 又因为BC 不包含于平面ADE , 所以BC ∥平面ADE ,因为DE ∥CF ,CF 不包含于平面ADE , 所以CF ∥平面ADE ,又因为BC ∩CF =C ,所以平面BCF ∥平面ADF , 而BF ⊂平面BCF ,所以BF ∥平面ADE .(2)∵CD ⊥AD ,CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ,作AO DE ^于点O ,则AO ^平面CDEF ,由2,3AD DE ==,得1,2DO EO ==,以O 为原点,平行于DC 的直线为x 轴,DE 所在直线为y 轴,OA 所在直线为z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则()()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --,()3OB OA AB OA DC =+=+=,设()3,,0,15G t t-#,则()()3,2,3,0,,3BE BG t =--=-,设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =,则由00m BE m BG ì?ïí?ïî,得323030x y z ty z ì-+-=ïíï-=î,取233x ty z tì=-ïï=íïïî, 得平面BEG 的一个法向量为()23m t t =-, 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =,23cos ,4413m n t m n m n t t ×\==-+,314t\=, 解得12t =或1322t =-(舍去),此时14CG CF =,得1342CG CF ==,即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C :22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12,点P 3(3,在C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点,过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ,求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】(1) 22143x y += ;(2) 最大值为34.【解析】 【分析】 (1) 根据离心率为12,点33,骣琪琪在椭圆上,结合性质222a b c =+ ,列出关于a 、b 、c 的方程组,求出a 、b ,即可得结果;(2)可设直线l 的方程为1x m y =+,与椭圆方程联立,可得()2234690m ymy ++-=,结合韦达定理、弦长公式,利用三角形面积公式可得12121221121234F ABm S F F y y m D +=-=+,换元后利用导数可得,1F ABS D 的最大值为3,再结11442F AB S a r rD =?可得结果.【详解】(1)依题意有22222123314c a a b c a bì=ïïï=+íïï+=ïî,解得231a b c ì=ïï=íï=ïî故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,设1F AB D 的内切圆半径为r ,1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==,11442F AB S a rr D \=?,根据题意知,直线l 的斜率不为零, 可设直线l 的方程为1x my =+,由221431x y x my ìï+=íï=+ïî,得()2234690m y my ++-=, ()()22636340,m m m R D=++>?,由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++, ()12212121212112142F ABm S F F y y y y y y D +\=-+-=,令t ,则1t ³,12124313F AB t S t t tD \==++, 令()13f t t t =+,则当1t ³时,()()21'10,3f t f t t=->单调递增,()()141,33F AB f t f S D \??,即当1,0t m ==时,1F AB S D 的最大值为3,此时max 34r =,故当直线l 的方程为1x =时,1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上,还是在y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>;③找关系:根据已知条件,建立关于a 、b 、c 的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 的有两个零点,求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0,()f x 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)递减;当104a <<,()f x 在(0,2)和a +?)上单调递增,在(2,aaa=14,()f x 在(0,+∞)递增;当a >14,()f x 在(02,+a 2)递减;(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】(1)求出()'f x ,分四种情况讨论a 的范围,在定义域内,分别令()'0f x >求得x 的范围,可得函数()f x增区间,()'0f x <求得x 的范围,可得函数()f x 的减区间;(2)由(1)知当0a <时,()f x 单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()2,+?,又()10f a =<,取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪,可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<,()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>,得188ln 2a >--,可证明,当14a =时与当0a >且14a ¹时,至多一个零点,综合讨论结果可得结论.【详解】(1)()f x 的定义域为()0,+?,()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫, (i )当0a £时,210ax -<恒成立,()0,2x Î时,()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增; ()2,x ??时,()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.(ii )当0a >时,由()'0f x =得,1232,x x x a a===-(舍去), ①当12x x =,即14a =时,()0f x ³恒成立,()f x 在()0,+?上单调递增;②当12x x >,即14a >时,x a骣琪Î琪桫或()2,x ??,()'0f x >恒成立,()f x 在(),2,a骣琪+?琪桫上单调递增;2x 骣Î时,()'0f x <恒成立,()f x 在2a骣琪琪桫上单调递减. ③当12x x <,即104a <<时,x a骣琪??琪桫或()0,2x Î时,()'0f x >恒成立,()f x 在()0,2,a骣琪+?琪桫单调递增,x 骣琪Î琪桫时,()'0f x <恒成立,()f x 在a骣琪琪桫上单调递减. 综上,当0a £时,()f x 单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()2,+?;当14a =时,()f x 单调递增区间为()0,+?,无单调递减区间为;当14a >时,()f x 单调递增区间为(),2,a 骣琪+?琪桫,单调递减区间为2a骣琪琪桫. (2)由(1)知当0a <时,()f x 单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()2,+?,又()10f a =<,取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪,令()()1212ln ,f x x x f x x =-=,则()12'10f x x=->在()2,+?成立,故()12ln f x x x =-单调递增,()()1052ln5122ln51f x ?=+->,()()0002220000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<, ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>,得188ln 2a >--,1088ln 2a \>>--,当0a =时,()21x f x x-=,只有一个零点,不符合题意;当14a =时,()f x 在()0,+?单调递增,至多只有一个零点,不符合题意;当0a >且14a ¹时,()f x 有两个极值,()()1222ln 20,2ln 4f a f a a a a a骣琪=-+>=-琪桫, 记()2ln g x x x x x =-,()()'1ln 1ln 2g x x x xx=++-+, 令()ln h x x x=+,则()3221121'22x h x x x x -=-+, 当14x >时,()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增;当104x <<时,()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减, 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增,0x ®时,()0g x ®,故2ln 0f a a a a a骣琪=->琪桫,又()()1222ln 204f a =-+>,由(1)知,()f x 至多只有一个零点,不符合题意, 综上,实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了函数思想,化归思想,抽象概括能力,综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合,设计综合题.(二)选考题:共10分,请在22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为23cos 2sin r q q =+,直线()1:6l R p q r =?,直线()2:3l R pq r =?,设极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程;(2)若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点,直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点,求△AOB 的面积.【答案】(1)13:l y x = ; 2:3l y x ;32,12x cos y sin q q qì=ïíï=+î 为参数;(2)23【解析】 【分析】(1)利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点,可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程;曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程,然后化为参数方程即可;(2)联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî,得14OA r ==,同理223OB r ==形面积公式可得结果.【详解】(1)依题意,直线1l 直角的坐标方程为3y x =, 直线2l 直角的坐标方程为3y x ,由2sin r q q =+得223cos 2sin rr q r q =+,222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==,()()222314x y r \=-+-=,\曲线C 的参数方程为32cos (12x y sin a a aì=ïíï=+î为参数).(2)联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî,得14OA r ==, 同理223OB r ==6AOBp?, 11142323222AOB S OA OB sin AOB D \=?创?,即AOB D 的面积为23【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程,属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî,222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. (1)当2a =时,解不等式()113x f x -+?; (2)设不等式()13x f x x -+?的解集为M ,若11[,]32M Í,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|01}x x x 3或.(2)14[,]23-. 【解析】试题分析:(1)利用零点分段讨论求解.(2)利用11,32x 轾Î犏犏臌化简313x x a x -+-?得到1x a -?在区间11,32轾犏犏臌上是恒成立的,也就是11a x a -<<+是不等式11,32轾犏犏臌的子集,据此得到关于a 的不等式组,求出它的解即可.解析:(1)当2a =时,原不等式可化为3123x x -+-?.①当13x £时,原不等式可化为3123x x -++-?,解得0x £,所以0x £; ②当123x <<时,原不等式可化为3123x x --+?,解得1x ³,所以12x ?; ③当2x ³时,原不等式可化为3123x x --+?,解得32x ³,所以2x ³.综上所述,当2a =时,不等式的解集为{}|01x x x 3或. (2)不等式()13x f x x -+?可化为313x x a x -+-?,依题意不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立,所以313x x a x -+-?,即1x a -?,即11a xa -#+,所以113112a a ì-?ïïíï+?ïî.解得1423a -#,故所求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌.。
【校级联考】广东省百校联考2019届高三高考模拟数学(理科)试题

………外…………○…学校:_…………○…………装…………○…绝密★启用前广东省百校联考2019届高三高考模拟数学(理科)试题试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1.若集合A ={x|3−2x <1}, B ={x|3x −2x 2≥0},则A ∩B =( ) A . (1,2] B . (1,94] C . (1,32] D . (1,+∞)2.已知复数z 满足(z +3)(1−i )=6−4i (i 为虚数单位),则z 的共轭复数所对应的点在( )A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 3.已知sinα+cosα=−75, 2sinα−cosα=−25,则cos2α=( ) A .725B . −725C .1625D . −16254.如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误..的是( )A . 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B . 2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高…○…………※※请※※不※○……全一致D . 从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长5.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ,若C =π4, a =4, S △ABC =2,则2a+3c−b 2sinA+3sinC−sinB= ( )A . √5B . 2√5C . 2√7D . 2√136.已知平面向量a ⃗,b ⃑ 满足|a |=2, |b ⃑ |=1,且(4a ⃗−b ⃑ )⋅(a ⃗+3b ⃑ )=2,则向量a ⃗, b ⃑ 的夹角θ为( )A . π6 B . π3 C . π2 D .2π37.为了得到y =−2cos2x 的图象,只需把函数y =√3sin2x −cos2x 的图象( )A . 向左平移π3个单位长度 B . 向右平移π3个单位长度C . 向左平移π6个单位长度 D . 向右平移π6个单位长度8.已知抛物线C 1: x 2=2py(y >0)的焦点为F 1,抛物线C 2:y 2=(4p +2)x 的焦点为F 2,点P(x 0,12)在C 1上,且|PF 1|=34,则直线F 1F 2的斜率为( )A . −12B . −14C . −13D . −159.如图,B 是AC 上一点,分别以AB, BC, AC 为直径作半圆.从B 作BD ⊥AC ,与半圆相交于D .AC =6, BD =2√2,在整个图形中随机取一点,则此点取自图中阴影部分的概率是( )A . 29B . 13C . 49D . 2310.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为( )……线…………○………………○…………装…………○…A . √5B . √6C . √7D . 2√2 11.已知双曲线x 2a−y 2b =1(a >0,b >0)的离心率为2,F 1, F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M(−a,0),N(0,b),点P 为线段MN 上的动点,当PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最小值和最大值时,△PF 1F 2的面积分别为S 1, S 2,则S1S 2=( )A . 4B . 8C . 2√3D . 4√312.已知函数f(x)=a x +e x −xlna (a >0, a ≠1),对任意x 1, x 2∈[0,1],不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −2恒成立,则a 的取值范围为( ) A . [12,e 2] B . [e e ,+∞) C . [12,+∞) D . [e 2,e e ]第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13.在(x+2x)4的展开式中,含x−2的项的系数是____________.14.已知实数x,y满足{y≥−13x+23,y≤−2x−1,y≤12x+4,则目标函数z=3x−y的最大值为____________.15.已知f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且g(0)=0,当x≥0时,f(x)−g(x)=x2+2x+2x+b(b为常数),则f(−1)+g(−1)=____________.16.在四面体A−BCD中,AB=AC=AD=BC=BD=2,若四面体A−BCD的外接球的体积V=8√23π,则CD=____________.三、解答题17.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足S1=1,且对任意正整数n,都有S n+1n+1+n=S n+1−S n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n2n,求数列{b n}的前n项和T n.18.某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查.现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类:A类(不参加课外阅读),B类(参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时),C类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时).调查结果如下表:……○…………装……学校:___________姓名:__…装…………○…………订…………○(2)根据表中的统计数据,完成下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关;(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况,记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值,求X 的数学期望. 附:K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).19.如图,在五面体ABCDFE 中,底面ABCD 为矩形,EF //AB ,BC ⊥FD ,过BC 的平面交棱FD 于P ,交棱FA 于Q .(1)证明:PQ //平面ABCD ;(2)若CD ⊥BE, EF =EC, CD =2EF, BC =tEF ,求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小.20.已知F 为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,点P(2,3)在C 上,且PF ⊥x 轴. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 交C 于A,B 两点,交直线x =8于点M .判定直线PA, PM, PB 的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由. 21.设函数f(x)=xe x +a(1−e x )+1. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在零点,证明:a >2. 22.[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =5cosαy =5+5sinα(α为参数).M 是曲线C 1上的动点,将线段OM 绕O 点顺时针旋转90°得到线段ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1, C 2的极坐标方程;(2)在(1)的条件下,若射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1, C 2分别交于A,B 两点(除极点外),且有定点T(4,0),求△TAB 的面积.23.[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x +m |−|2x −2m | (m >0).(1)当m =12时,求不等式f(x)≥12的解集;(2)对于任意的实数x ,存在实数t ,使得不等式f(x)+|t −3|<|t +4|成立,求实数m 的取值范围.参考答案1.C【解析】【分析】先化简集合,再根据集合交集的定义求解.【详解】因为A={x|x>1},B={x|0≤x≤32},所以A∩B={x|1<x≤32}.故选C.【点睛】本题考查了集合的交集运算,A∩B可理解为:集合A和集合B中的所有相同的元素的集合. 一般步骤为:先明确集合,即化简集合,然后再根据集合的运算规则求解.2.D【解析】【分析】利用复数的乘除运算性质可求得z=2+i,从而可得z=2−i,根据复数的几何意义可得解.【详解】因为z=6−4i1−i −3=(6−4i)⋅(1+i)(1−i)⋅(1+i)−3=−4i2+2i+61−i2−3=2+i,所以z=2−i,其在复平面对应的点为(2,−1),位于第四象限,故选D.【点睛】解答与复数有关的问题时,通常需要先把所给的复数化为a+bi (a,b∈R)的形式,再根据题意求解,复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面的对应点坐标是(a,b)3.A【解析】【分析】联立两个等式得方程组,解得sina的值,再根据二倍角的余弦公式求解.【详解】因为{sinα+cosα=−752sinα−cosα=−25,所以sinα=−35,从而cos2α=1−2sin2α=725.故选A.【点睛】本题考查了根据二倍角的余弦公式求值,二倍角的余弦公式:cos2a=1−2sin2a= 2cos2a−1=cos2a−sin2a4.D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A: 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值为4397−2411=1986,接近2000万件,所以A是正确的;对于选项B: 2018年1~4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%,均超过50%,在3月最高,所以B是正确的;对于选项C:2月份业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,所以C是正确的;对于选项D,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用,新知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.B【解析】【分析】根据三角形的面积公式求得b的值,再根据余弦定理求得c的值,再根据正弦定理求解2a+3c−b2sinA+3sinC−sinB的值.【详解】C =π4, a =4, S △ABC =12absinC =12×4×b ×√22=2,得b =√2,又根据余弦定理得:c 2=a 2+b 2−2abcosC =10,即c =√10,所以2a+3c−b2sinA+3sinC−sinB =2R =csinC =2√5. 故选B. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式,正弦定理,余弦定理的应用,考查了运算求解能力 ;熟练掌握公式和定理是解答本题的关键.6.D 【解析】 【分析】展开(4a ⃗−b ⃑ )⋅(a ⃗+3b⃑ ),利用向量的数量积公式,解得cosθ=−12,进而求解θ的值. 【详解】因为(4a ⃗−b ⃑ )⋅(a ⃗+3b ⃑ )=4a ⃗2−3b ⃑ 2+11a ⃗⋅b ⃑ =2 ,已知 |a |=2, |b ⃑ |=1,解得a ⃗⋅b ⃑ =−1, 由a ⃗⋅b ⃑ =|a |⋅|b⃑ |cosθ=2cosθ=−1,得cosθ=−12,所以θ=2π3.故选D 【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及向量的夹角,考查了运算求解能力;在解题时要注意两向量夹角的范围是[0,π].7.D 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式,得y =√3sin2x −cos2x =−2cos [2(x +π6)],再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为y =√3sin 2x −cos 2x =−2cos (2x +π3)=−2cos [2(x +π6)] ,故选D.要得到函数y =−2cos2x ,只需将y =√3sin2x −cos2x 的图象向右平移π6个单位长度即可. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换,考查了两角和的余弦公式的应用;解决三角函数图象的变换问题,首先要把变换前后的两个函数化为同名函数. 8.B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义,求得p 的值,即可得抛物线C 1,C 2的标准方程,求得抛物线的焦点坐标后,再根据斜率公式求解. 【详解】因为|PF 1|=34,所以12+p 2=34,解得p =12. C 1:x 2=y, C 2:y 2=4x, F 1(0,14), F 2(1,0),所以直线F 1F 2的斜率为140−1=−14.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用,考查了抛物线的简单性质,涉及了直线的斜率公式;抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离;解题过程中注意焦点的位置. 9.C 【解析】 【分析】求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积,再根据面积型几何概型的概率计算公式求解. 【详解】 连接AD,CD ,可知△ACD 是直角三角形,又BD ⊥AC ,所以BD 2=AB ⋅BC ,设AB =x(0<x <6),则有8=x(6−x),得x =2,所以AB =2, BC =4,由此可得图中阴影部分的面积等于π×322−(π×122+π×222)=2π,故概率P =2π12×9π=49.故选C【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法,当试验结果所构成的区域可用面积表示,用面积比计算概率.涉及了初中学习的射影定理,也可通过证明相似,求解各线段的长. 10.C【解析】【分析】由三视图还原几何体,采用补形法补成长方体,可知最长的棱与最短的棱,再求异面直线所成角的正切值.【详解】如图,AB=√5,BD=1, CD=√2,将四面体补成长方体,则BC=√3,可知最长的棱为长方体的体对角线AC=2√2,最短的棱为BD=1,BD平行与CE,异面直线AC与BD所成的角为∠ACE,因为BE=CD=√2, 则AE=√7,因为BD=CE=1,且根=√7.据面面垂直和线面垂直的性质,可知CE⊥AE,所以tan∠ACE=AECE故选C.【点睛】本题综合考查了由三视图还原几何体,考查了求异面直线夹角,考查了面面垂直和线面垂直的性质,涉及了长方体的结构特征;把不规则的几何体补成规则几何体,把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算求解.11.A【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a ,b ,c 的关系,可知c =2a, b =√3a ,根据题意表示出点p (m,√3m +√3a)和m 的取值范围,利用平面向量数量积的坐标表示得关于m 的一元二次函数,问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值,进而问题得解. 【详解】由e =ca =2,得c =2a, 则b =√3a ,故线段MN 所在直线的方程为y =√3(x +a),又点P 在线段MN 上,可设P(m,√3m +√3a),其中m ∈[−a,0],由于F 1(−c,0), F 2(c,0),即F 1(−2a,0), F 2(2a,0),得PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2a −m,−√3m −√3a), PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2a −m,−√3m −√3a),所以PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4m 2+6ma −a 2=4(m +34a)2−134a 2.由于m ∈[−a,0],可知当m =−34a 时,PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最小值,此时y P =√34a , 当m =0时,PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值,此时y P =√3a ,则S 2S 1=√3a √34a=4.故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用,涉及了双曲线的简单性质,平面向量的数量积表示,二次函数在给定区间的最值问题;关键是利用向量作为工具,通过运算脱去“向量外衣”,将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题,进而解决距离、夹角、最值等问题. 12.B 【解析】 【分析】先求导函数f ′(x),经过分析a 的取值范围,可知f(x) )在x ∈[0,1]是单调递增的,则不等式恒成立就转化为函数在区间内f(x)max −f(x)min ≤a −2,进而解不等式,可得a 的取值范围. 【详解】因为f(x)=a x +e x −xlna ,所以f ′(x)=a x lna +e x −lna =(a x −1)lna +e x . 当a >1时,对任意的x ∈[0,1],a x −1≥0, lna >0,恒有f ′(x)>0; 当0<a <1时,a x −1≤0, lna <0,恒有f ′(x)>0, 所以f(x)在x ∈[0,1]是单调递增的.那么对任意的x 1, x 2∈[0,1],不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −2恒成立,只要f(x)max−f(x)min≤a−2,且a≥2,f(x)max=f(1)=a+e−lna,f(x)min=f(0)=1+1=2,所以a−2≥a+e−lna−2,即lna≥e, a≥e e.故选B.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式的恒成立问题,涉及了求函数的导函数,导数与函数的单调性的关系,函数的最值等知识; 根据绝对值的意义,和函数的单调性,将含绝对值的不等式恒成立转化为函数最大值和最小值之间的差,是解决本题的基本思路.13.32【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出含x−2的项,进而可得其系数.【详解】T r+1=C4r x4−r(2x )r=C4r⋅2r x4−2r,令4−2r=−2,得r=3,所以含x−2的项的系数为C43⋅23=32 .故填:32.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,根据通项公式可求出对应项的系数.14.−4【解析】【分析】根据约束条件,画出可行域,再平移直线3x-y=0,确定取最大值时点的位置,进而求解.【详解】作可行域如图所示,由图可知,当z=3x−y过点B(−1,1)时,-z取得最小值4,则z取得最大值−4.故填:-4.【点睛】本题考查了线性规划求最值,解决这类问题一般要分三步:画出可行域、找出关键点、求出最值.线性规划求最值,通常利用“平移直线法”解决.15.−4【解析】【分析】根据函数的奇偶性,先求的b值,再代入x=1,求得f(1)−g(1)=4,进而求解f(−1)+g(−1)的值.【详解】由f(x)为定义在R上的奇函数可知f(0)=0,已知g(0)=0,所以f(0)−g(0)=20+b=0,得b=−1,所以f(1)−g(1)=4,于是f(−1)+g(−1)=−f(1)+g(1)=−[f(1)−g(1)]=−4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用,涉及了函数求值的知识;注意解析式所对应的自变量区间. 16.2√2【解析】【分析】设CD的中点为M,AB的中点为N,连接MN,可知球心O在MN上,连接CN,DN,OA,OD,设CD=2x,根据勾股定理,得方程,进而问题得解.设CD的中点为M,AB的中点为N,连接MN,由题目中已知条件可知,MN分别为CD,AB的垂直平分线,故四面体A−BCD的外接球球心O在线段MN上,连接CN,DN,OA,OD,设四面体A−BCD的外接球半径为r,由V=43πr3=8√23π,得r=√2.设CD=2x,在Rt△OAN中,ON=2−AN2=√2−1=1,在Rt△ADN中,DN=√AD2−AN2=√3,在Rt△DMN中,MN=√DN2−DM2=√3−x2,所以OM=MN−ON=√3−x2−1,在Rt△ODM中,OM2=OD2−DM2,由(√3−x2−1)2=2−x2,解得x=√2,所以CD=2√2.故填:2√2【点睛】本题考查了几何体的外接球的有关问题,关键是确定球心在几何体中的位置,根据已知条件,结合几何体的半径和表面积或体积公式求解.17.(1)a n=2n−1 (n∈N∗);(2)T n=3−2n+32n.【解析】【分析】(1)利用a n=S n−S n−1,(n≥2)结合已知条件,求得a n+1−a n=2,a2−a1=2,即可判断数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,进而求得数列{a n}的通项公式;(2)采用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n.(1)由S n+1n+1+n=S n+1−S n=a n+1,可得S n+1+n(n+1)=(n+1)a n+1,当n≥2时,S n+n(n−1)=na n,两式相减,得a n+1+2n=(n+1)a n+1−na n,整理得a n+1−a n=2,在S n+1n+1+n=a n+1中,令n=2,得S22+1=a2,即1+a2+2=2a2,解得a2=3,∴a2−a1=2,所以数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,∴a n=1+2(n−1)=2n−1.(2)由(1)可得b n=a n2n =2n−12n,所以T n=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n,①则12T n=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1,②①−②,得12T n=12+222+223+224+⋯+22n−2n−12n+1,整理得12T n=32−22n−2n−12n+1=32−2n+32n+1,所以T n=3−2n+32n.【点睛】本题考查了求数列的通项公式和错位相减法求数列的和;已知S n−S n−1的形式的式子,通常与a n=S n−S n−1,(n≥2)联系起来求解.18.(1)4,2;(2)列联表见解析,没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关;(3)5156.【解析】【分析】(1)设被抽取的20人中,男、女生人数分别为n1, n2;根据分层抽样的原理,求得n1, n2,进而求得x,y的值;(2)根据题意填写列联表,计算K2,对照临界值得出结论(3)X可能的取值为0,1,2,3,根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率,再得出X的数学期望.【详解】(1)设抽取的20人中,男、女生人数分别为n 1, n 2,则{n 1=20×12002000=12n 2=20×8002000=8 , 所以x =12−5−3=4, y =8−3−3=2. (2)列联表如下:K 2的观测值k =20×(4×6−2×8)212×8×14×6=1063≈0.159<2.706,所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关. (3)X 的可能取值为0,1,2,3, 则P(X =0)=C 33+C 21C 31C 31C 83=1956,P(X =1)=C 32C 31+C 32C 21+C 21C 32+C 22C 31C 83=37,P(X =2)=C 22C 31+C 32C 31C 83=314,P(X =3)=C 33C 83=156,所以EX =0×1956+1×37+2×1314+3×156=5156. 【点睛】本题考查了分层抽样原理,独立性检验思想,离散型变量的均值;用K 2的值可以决定是否拒绝原来的统计假设H 0,若K 2值较大,就拒绝H 0,即拒绝事件A 与事件B 无关;换一种说法:计算随机变量的观测值k 越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大 19.(1)见解析; (2)π4. 【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定与性质定理,证明PQ //平面ABCD ;(2)根据线面垂直的判定与性质,知CD ⊥CE ,BC ⊥CE ,以C 为坐标原点,CD ⃑⃑⃑⃑⃑ , CB ⃑⃑⃑⃑⃑ , CE ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,用空间向量法求二面角的大小. 【详解】(1)证明:因为底面ABCD 为矩形,所以AD //BC ,又因为AD ⊂平面ADF ,BC ⊄平面ADF ,所以BC //平面ADF ,又因为BC ⊂平面BCPQ ,平面BCPQ ∩平面ADF =PQ ,所以BC //PQ , 又因为PQ ⊄平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以PQ //平面ABCD . (2)解: ∵CD ⊥BE, CD ⊥CB, BE ∩CB =B ,∴CD ⊥平面BCE , 又因为CE ⊂平面BCE ,所以CD ⊥CE ;因为BC ⊥CD, BC ⊥FD, CD ∩FD =D ,所以BC ⊥平面CDFE ,所以BC ⊥CE ,以C 为坐标原点,CD ⃑⃑⃑⃑⃑ , CB ⃑⃑⃑⃑⃑ , CE ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在方向为x,y,z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C −xyz ,设EF =CE =1,则A(2,t,0), D(2,0,0), F(1,0,1),所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−t,0), AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−t,1), 设平面ADF 的一个法向量为n ⃑ =(x,y,z),则{n ⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−ty =0n ⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =−x −ty +z =0 ,令x =1,得n ⃑ =(1,0,1),易知平面BCE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(1,0,0),设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ,则cosθ=|n ⃑ ⋅m ⃑⃑⃑ ||n ⃑ |⋅|m ⃑⃑⃑ |=√22, 所以θ=π4,故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为π4. 【点睛】本题考查了线面平行的证明,考查了空间向量法求二面角,求二面角的空间向量坐标法的一般步骤:建立空间直角坐标系,确定点及向量的坐标,分别求出两个平面的法向量,通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.另外需注意本题中所求的为锐二面角.20.(1)x216+y212=1;(2)见解析.【解析】【分析】(1)将点的坐标代入椭圆方程,结合椭圆方程中a,b,c的关系,求出a2,b2的值,进而求得椭圆标准方程;(2)联立椭圆方程和直线方程,利用一元二次方程的根与系数的关系,结合斜率公式,证得k1+k2=2k3,进而问题得证.【详解】(1)因为点P(2,3)在C上,且PF⊥x轴,所以c=2,由{4a2+9b2=1a2−b2=4,得{a2=16b2=12,故椭圆C的方程为x 216+y212=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的的方程为y=k(x−2),令x=8,得M的坐标为(8,6k).由{x216+y212=1y=k(x−2),得(4k2+3)x2−16k2x+16(k2−3)=0.设A(x1,y1), B(x2,y2),则有x1+x2=16k24k2+3, x1x2=16(k2−3)4k2+3.①设直线PA, PM, PB的斜率分别为k1, k2, k3,从而k1=y1−3x1−2,k2=y2−3x2−2, k3=6k−38−2=k−12.因为直线AB的方程为y=k(x−2),所以y1=k(x1−2), y2=k(x2−2),所以k1+k2=y1−3x1−2+y2−3x2−2=y1x1−2+y2x2−2−3(1x1−2+1x2−2)=2k−3×x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4.②把①代入②,得k1+k2=2k−3×16k24k2+3−416(k2−3)4k2+3−32k24k2+3+4=2k−1.又k 3=k −12,所以k 1+k 2=2k 3,故直线PA, PM, PB 的斜率成等差数列.【点睛】本题考查了过一点求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了等差数列的判断;涉及椭圆与直线的交点问题时,通常联立椭圆方程和直线方程,得一元二次方程,再根据根与系数的关系求解.21.(1)在(a −1,+∞)上是增函数,在(−∞,a −1)上是减函数; (2)a >2. 【解析】 【分析】(1)先确定函数的定义域,然后求f ′(x),进而根据导数与函数单调性的关系,判断函数f(x) 的单调区间;(2)采用分离参数法,得a = x +x+1e x −1,根据f(x)在(0,+∞)上存在零点,可知a = x +x+1e x −1有解,构造g(x)=x +x+1e x −1,求导g ′(x),知g ′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,即零点k 满足g ′(k)=0,进而求得g(k) ∈(2,3),再根据a = x +x+1e x −1有解,得证a >2 【详解】(1)解:函数f(x)的定义域为(−∞,+∞),因为f(x)=xe x +a(1−e x )+1,所以f ′(x)=(x +1−a)e x . 所以当x >a −1时,f ′(x)>0,f(x)在(a −1,+∞)上是增函数; 当x <a −1时,f ′(x)<0,f(x)在(−∞,a −1)上是减函数. 所以f(x)在(a −1,+∞)上是增函数,在(−∞,a −1)上是减函数. (2)证明:由题意可得,当x >0时,f(x)=0有解, 即a =xe x +1e x −1=x (e x −1)+x+1e x −1=x +x+1e x −1有解.令g(x)=x +x+1e x −1,则g ′(x)=−xe x −1(e x −1)2+1=e x (e x −x−2)(e x −1)2.设函数ℎ(x)=e x −x −2, ℎ′(x)=e x −1>0,所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增. 又ℎ(1)=e −3<0, ℎ(2)=e 2−4>0,所以ℎ(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 故g ′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为k ,则k ∈(1,2). 当x ∈(0,k)时,g ′(x)<0;当x ∈(k,+∞)时,g ′(x)>0. 所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(k).又由g′(k)=0,可得e k=k+2,所以g(k)=k+k+1e k−1=k+1∈(2,3),因为a=g(x)在(0,+∞)上有解,所以a≥g(k)>2,即a>2.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间,考查了利用导数证明不等式成立,考查了利用导数研究函数的零点问题,涉及了求函数导数,函数零点存在性定理的应用等知识;从哪里入手,怎样构造,如何构造适当的函数,是解决此类问题的关键一步. 22.(1)ρ=10sinθ,ρ=10cosθ(ρ≠0);(2)15−5√3.【解析】【分析】(1)将曲线C1的参数方程转化为普通方程,然后由普通方程转化为极坐标方程;再用N 表示出M,根据点M在曲线C1上,采用相关点法,求轨迹C2的极坐标方程;(2)根据已知条件,求得S△TOA=15,S△TOB=5√3,通过S△TAB=S△TOA−S△TOB求解.【详解】(1)由题设,得C1的直角坐标方程为x2+(y−5)2=25,即x2+y2−10y=0,故C1的极坐标方程为ρ2−10ρsinθ=0,即ρ=10sinθ.设点N(ρ,θ)(ρ≠0),则由已知得M(ρ,θ+π2),代入C1的极坐标方程得ρ=10sin(θ+π2),即ρ=10cosθ(ρ≠0).(2)将θ=π3代入C1, C2的极坐标方程得A(5√3, π3), B(5,π3),又因为T(4,0),所以S△TOA=12|OA|⋅|OT|sinπ3=15,S△TOB=12|OB|⋅|OT|sinπ3=5√3,所以S△TAB=S△TOA−S△TOB=15−5√3.【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化,考查了点的极坐标以及极坐标与直角坐标的关系,涉及了三角函数的诱导公式和三角形的面积公式,考查了推理论证能力、运算求解能力,以及化归与转化思想.23.(1){x|13≤x≤1};(2)(0,72).【解析】【分析】(1)去掉绝对值符号,得到分段函数,然后求解不等式的解集.(2)不等式f(x)+|t−3|<|t+4|⇔f(x)≤|t+4|−|t−3|,根据已知条件,结合绝对值不等式的几何意义,转化求解f(x)max≤g(t)max即可.【详解】因为m>0,所以f(x)=|x+m|−|2x−2m|={x−3m, x≤−m3x−m, −m<x<m −x+3m, x≥m.(1)当m=12时,f(x)={x−32, x≤−123x−12, −12<x<12,−x+32, x≥12所以由f(x)≥12,可得{x−32≥12,x≤−12或{3x−12≥12,−12<x<12或{−x+32≥12x≥12,解得13≤x<12或12≤x≤1,故原不等式的解集为{x|13≤x≤1}.(2)因为f(x)+|t−3|<|t+4|⇔f(x)≤|t+4|−|t−3|,令g(t)=|t+4|−|t−3|,则由题设可得f(x)max≤g(t)max,由f(x)={x−3m, x≤−m3x−m, −m<x<m−x+3m, x≥m,得f(x)max=f(m)=2m.因为||t+4|−|t−3||≤|(t+4)−(t−3)|=7,所以−7≤g(t)≤7.故g(t)max=7,从而2m<7,即m<72,又已知m>0,故实数m的取值范围是(0,72).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了绝对值不等式的几何意义的应用;绝对值不等式问题中的求参数范围问题,一般思路是:借助绝对值的几何意义、零点分段法等,先求出相关函数的最值或值域,再根据题目要求求解.。
数学分类汇编(2)命题及其关系、充分条件与必要条件

(山东省德州市2019届高三期末联考数学(理科)试题)6.设且,则是的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab>1”与“”能否互推,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.【详解】若“ab>1”当a=﹣2,b=﹣1时,不能得到“”,若“”,例如当a=1,b=﹣1时,不能得到“ab>1“,故“ab>1”是“”的既不充分也不必要条件,故选:D.【点睛】本小题主要考查了充分必要条件,考查了对不等关系的分析,属于基础题.(辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学(文)试题)3.设,则“”是“函数在定义域上是奇函数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】注意到当时,函数是奇函数,故是函数为奇函数的充分不必要条件.【详解】当时,,,函数为奇函数;当时,,,函数为奇函数.故当时,函数是奇函数,所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断,考查函数奇偶性的定义以及判断,属于基础题.(四川省绵阳市2019届高三第二次(1月)诊断性考试数学理试题)4.“a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a=b=1时,两条直线平行成立,但由ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,可得ab=1,不一定是a=b=1.【详解】a=b=1时,两条直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,反之由ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,可得:ab=1,显然不一定是a=b=1,所以,必要性不成立,∴“a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.(湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题)3.在等比数列中,“,是方程的两根”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分、必要条件判定,即可。
2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学(四) 学生版
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2019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学(四)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2018·和平区期末]设集合错误!不能通过编辑域代码创建对象。
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2.[2018·长沙一模]设复数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
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在复平面内的对应点关于实轴对称,错误!不能通过编辑域代码创建对象。
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3.[2018·汕头冲刺]《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )A .错误!不能通过编辑域代码创建对象。
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(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
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2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部,则a =( ) A .12-B .12C .1-D .12.[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =,则集合A B I 中元素的个数为( ) A .2B .3C .4D .53.[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ,()2,3=-b ,且()m ⊥+a a b ,则m =( ) A .25B .25-C .0D .154.[2019·台州期末]已知圆C :()()22128x y -+-=,则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为( ) A .30x y +-=B .30x y --=C .230x y --=D .230x y +-=5.[2019·东北三校]中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( ) A .30种B .50种C .60种D .90种6.[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形,俯视图是扇形,则该几何体的体积为( )A .π9B .π3C .π6D .π187.[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是( ) A .函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B .函数()g x 的周期是π2C .函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18.[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A .0B .12C .1D .1-9.[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒( )A .3B .1C 3D .210.[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减,且为偶函数.若()21f =-,则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是( ) A .[]1,5B .[]1,3C .[]3,5D .[]2,2-11.[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ,使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线,则C 的离心率为( )AB .2CD .512.[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件:1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数:①()()10f x x x x=+>;②()()ln 0e f x x x =<<;③()cos f x x =;④()21f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边,S 是ABC △的面积,若8a =,5b =,S =,则c =_________.14.[2019·景山中学]已知a ,b 表示直线,α,β,γ表示不重合平面. ①若a αβ=I ,b α⊂,a b ⊥,则αβ⊥;②若a α⊂,a 垂直于β内任意一条直线,则αβ⊥; ③若αβ⊥,a αβ=I ,b αγ=I ,则a b ⊥;④若a α⊥,b β⊥,a b ∥,则αβ∥.上述命题中,正确命题的序号是__________.15.[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选播音主持,也不选广播电视;②乙同学不选广播电视,也不选公共演讲;③如果甲同学不选公共演讲,那么丁同学就不选广播电视.若这些信息都是正确的,依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)16.[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ,则实数m =________.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项,其中*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:21n T <.18.(12分)[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长,投资最多,难度最大的跨海桥梁项目,大桥建设需要许多桥梁构件.从某企业生产的桥梁构件中抽取100件,测量这些桥梁构件的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[)55,65,[)65,75,[]75,85内的频率之比为4:2:1.(1)求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件,记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ,求X 的分布列与数学期望.19.(12分)[2019·淄博模拟]如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥,1AB =,3CD =,2AP =,23DP =,60PAD ∠=︒,AB ⊥平面PAD ,点M 在棱PC 上.(1)求证:平面PAB ⊥平面PCD ;(2)若直线PA ∥平面MBD ,求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值.20.(12分)[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2.(1)求椭圆1C 的方程;(2)如图,点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N (M 、N 都在x 轴上方).且AFM OFN ∠=∠.证明:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.21.(12分)[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-,a ∈R . (1)当13a =-时,求函数()f x 的单调区间;(2)令函数()()2x x f x ϕ'=,若函数()x ϕ的最小值为32-,求实数a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=(a ∈R ,a 为常数)),过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+,(t 为参数).(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间),且2PA PB ⋅=,求a 和PA PB -的值.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t .求t 的值;若实数a ,b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值.2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学(二)答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部,∴122a=-,即1a =-.故选C . 2.【答案】A【解析】由题意,集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =, ∴{}8,14A B =I ,∴集合A B I 中元素的个数为2.故选A . 3.【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ,结合向量垂直判定,建立方程,可得12310m m --+=,解得25m =,故选A . 4.【答案】B【解析】根据题意,圆C :()()22128x y -+-=,P 的坐标为()3,0, 则有()()2231028-+-=,则P 在圆C 上,此时20113CP K -==--,则切线的斜率1k =, 则切线的方程为3y x =-,即30x y --=,故选B . 5.【答案】B【解析】若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11210C C 20⋅=,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11310C C 30⋅=,∴共有203050+=种.故选B . 6.【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形,圆锥的高为1,底面半径为1, 俯视图是扇形,圆心角为2π3,几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=.故选A .7.【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,当π12x =-时,π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称,故选项A 错误;周期2ππ2T ==,故选项B 错误; 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,,∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确;∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值,故选项D 错误.故选C .8.【答案】A【解析】第一次循环,1k =,cos01S ==,112k =+=,4k >不成立; 第二次循环,2k =,π131cos 1322S =+=+=,213k =+=,4k >不成立; 第三次循环,3k =,32π31cos 12322S =+=-=,314k =+=,4k >不成立; 第四次循环,4k =,1cos π110S =+=-=,415k =+=,4k >成立, 退出循环,输出0S =,故选A . 9.【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒.故选C .10.【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数,∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥, ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减,∴32x -≤,232x -≤-≤,15x ≤≤,故选A . 11.【答案】C【解析】()2,0F c ,直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线, 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+,即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线,可得122MF OP a ==,22MF b =,可得212MF MF a -=,即为222b a a -=,即2b a =,可得221145c b e a a==+=+=.故选C .12.【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ,2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立, (当且仅当1221x y x y =取等号)若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件:222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA u u u r,OB u u u r 共线,即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点: 对于①,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=,不可能有两个正根,故不存在; 对于②,,由图可知不存在;对于③,,由图可知存在;对于④,,由图可知存在,∴“柯西函数”的个数为2,故选B .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形,故得到角C 为π3,再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=.故答案为7.14.【答案】②④【解析】对于①,根据线面垂直的判定定理,需要一条直线垂直于两条相交的直线,故不正确, 对于②,a α⊂,a 垂直于β内任意一条直线,满足线面垂直的定理,即可得到αβ⊥, 又a α⊂,则αβ⊥,故正确,对于③,αβ⊥,a αβ=I ,b αγ=I ,则a b ⊥或a b ∥,或相交,故不正确, 对于④,可以证明αβ∥,故正确. 故答案为②④. 15.【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持,也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视,也不选公共演讲;由③知如果甲不选公共演讲,那么丁就不选广播电视,综上得甲、乙、丙均不选广播电视,故丁选广播电视,从而甲选公共演讲,丙选影视配音, 故答案为影视配音. 16.【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=,由e2mx x =,0x >且0m >,得x =e 2⎫⎪⎪⎭,代入eln y x =得e 2=,解得12m =,故答案为12.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1)n a n =;(2)见解析.【解析】(1)∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项,∴()221n n n n n S a a a a =+=+, 当1n =时,21112a a a =+,∴11a =.当2n ≥时,22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--,整理得()()1110n n n n a a a a --+--=. 又0n a >,∴()112n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列. ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=. (2)()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭,∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+. 18.【答案】(1)0.05;(2)见解析.【解析】(1)设区间[]75,85内的频率为x ,则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x . 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=,解得0.05x =. ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复实验, ∴X 服从二项分布(),B n p ,其中3n =.由(1)得,区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=, 将频率视为概率得0.6p =.∵X 的所有可能取值为0,1,2,3,且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=,()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=,()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=,()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=.∴X 的分布列为:X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=.19.【答案】(1)见解析;(2219565【解析】(1)∵AB ⊥平面PAD ,∴AB DP ⊥,又∵23DP=,2AP=,60PAD∠=︒,由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠,可得1sin2PDA∠=,∴30PDA∠=︒,90APD∠=︒,即DP AP⊥,∵AB AP A=I,∴DP⊥平面PAB,∵DP⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD;(2)以点A为坐标原点,AD所在的直线为y轴,AB所在的直线为z轴,如图所示,建立空间直角坐标系,其中()0,0,0A,()0,0,1B,()0,4,3C,()0,4,0D,)3,1,0P.从而()0,4,1BD=-u u u r,)3,1,0AP=u u u r,()3,3,3PC=-u u u r,设PM PCλ=u u u u r u u u r,从而得()33,31,3Mλλλ+,()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r,设平面MBD的法向量为(),,x y z=n,若直线PA∥平面MBD,满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn,即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=,得14λ=,取()3,3,12=--n,且()3,1,1BP=-u u u r,直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20.【答案】(1)2212xy+=;(2)直线l过定点()2,0.【解析】(1)由题意可知,抛物线2C的准线方程为1x=,又椭圆1C2,∴点2⎛⎝⎭在椭圆上,∴221112a b+=,①又2cea==,∴222212a bea-==,∴222a b=,②,由①②联立,解得22a=,21b=,∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=.(2)设直线:l y kx m =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,把直线l 代入椭圆方程,整理可得()222214220k x km m +++-=,()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22210k m -+>,∴122421kmx x k +=-+,21222221m x x k -=+,∵111FM y k x =+,221FN yk x =+,M 、N 都在x 轴上方,且AFM OFN ∠=∠,∴FM FN k k =-,∴121211y yx x =-++,即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++, 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=,∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭,即22224444420km k k m km k m m ---++=,整理可得2m k =, ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+,∴直线l 过定点()2,0. 21.【答案】(1)见解析;(2)56-.【解析】(1)13a =-时,()2ln f x x x x =--,则()()()221121x x x x f x x x +---'==, 令()'0f x =,解得12x =-或1x =,而0x >,故1x =,则当()0,1x ∈时,()0f x '<,即()f x 在区间内递减, 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在区间内递增. (2)由()23ln f x x ax x =+-,()123f x x a x'=+-, 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-,故()2661x x ax ϕ'=+-, 又()()264610a ∆=-⨯⨯->,故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根,不妨记为1x ,2x ,且12x x <, 又∵12106x x =-<,故120x x <<,当()20,x x ∈时,()0x ϕ'<,()x ϕ递减, 当()2,x x ∈+∞时,()0x ϕ'>,()x ϕ递增, 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-,①又()20x ϕ'=,∴2226610x ax +-=,即222166x a x -=,②将222166x a x -=代入式,得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--, 由题意得3221322x x --=-,即322230x x +-=,即()()222212230x x x -++=,解得21x =, 将21x =代入式中,得56a =-.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.【答案】(1)222x y a -=,3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数);(2)2a =±,432. 【解析】(1)由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=, ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+, 由32x =得112y t =+,∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数). (2)将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=,得()()222231230t t a ++-=, 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦,则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数,∵()21223t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得122t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间,∴120t t ⋅<,∴122t t ⋅=-,即()2232a -=-,解得24a =(满足0∆>),∴2a =±, ∵1212PA PB t t t t -=-=+,又()122231t t +=-, ∴432PA PB -=. 23.【答案】(1)2;(2)1.【解析】(1)()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,故当1x =-时,函数()f x 有最小值2,∴2t =. (2)由(1)可知22222a b +=,故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭, 当且仅当22122a b +=+=,即21a =,20b =时等号成立,故221112a b +++的最小值为1.。
广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
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广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x>1},B={x|(x+1)(x−3)<0},则(∁R A)∩B=( )A. (3,+∞)B. (−1,+∞)C. (−1,3)D. (−1,1]2.若复数(1−3i)z=3−i(i为虚数单位),则|z|−z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.双曲线x2−y23=1的两条渐近线的夹角的大小等于( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.在△ABC中,D是BC上一点,满足BD=3DC,M是AD的中点,若BM=λBA+μBC,则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 585.若两个等比数列{a n},{b n}的公比相等,且b1=4,a2=2a3,则{b n}的前6项和为( )A. 578B. 638C. 124D. 2526.若函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)在区间[a,b]上是减函数,且f(a)=1,f(b)=−1,b−a=π,则ω=( )A. 13B. 23C. 1D. 27.已知点A(−1,0),B(0,3),点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点,则▵PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1028.已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(−x)=f(x),若函数y=f(x)的图象与函数y=log2(2x+2−x)的图象有交点,且交点个数为奇数,则f(0)=( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、多选题:本题共3小题,共18分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.设A,B为随机事件,且P(A),P(B)是A,B发生的概率.P(A),P(B)∈(0,1),则下列说法正确的是( )A. 若A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)B. 若P(AB)=P(A)P(B),则A,B相互独立C. 若A,B互斥,则A,B相互独立D. 若A,B独立,则P(B|A)=P(B)10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,内角A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是( )A. AC=34B. AB=8C. CDBD =18D. ▵ABD的面积为37411.设函数f(x)=(x−1)2(x−4),则( )A. x=1是f(x)的极小值点B. f(2+x)+f(2−x)=−4C. 不等式−4<f(2x−1)<0的解集为{x|1<x<2}D. 当0<x<π2时,f(sin x)>f(sin2x)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
广东省揭阳市2019年高考一模数学(理科)参考答案

揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第1页(共12页)揭阳市2019高考一模数学 (理科)参考答案及评分说一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.一、选择题三、解答题17.解:(1)由123a a ==得36p m +=,122()912a a p m +=+=,解得1,3p m ==,-------------------------------------------------------------------------------2分即233n n S =+,-------------①当2n ≥时,11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-,即13(2)n n a n -=≥,-----------------------------4分∵ 13a =不满足上式,∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩-------------------------------------------------------6分(2)依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时,1113T a b ==, 当2n ≥时,112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得:231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯-------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第2页(共12页)3(23)154nn n T -+=.----------------------------------------------11分显然当1n =时,13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------12分18.解:(1)证明:∵AB ⊥CD ,AB ⊥BE ,∴CD//EB ,------------------1分∵AC ⊥CD ,∴PC ⊥CD ,∴EB ⊥PC ,-----------------------3分 且PC∩BC=C ,∴EB ⊥平面PBC ,------------------------------------------4分又∵EB ⊂平面DEBC ,∴平面PBC ⊥平面DEBC ;-------------------------5分 (2)由(1)知EB ⊥平面PBC ,∴EB ⊥PB ,由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°,-----------------------6分 ∴△PBE 为等腰直角三角形,∴PB=EB , ∵AB//DE ,结合CD//EB 得BE=CD=2,∴PB=2,故△PBC 为等边三角形,--------------------7分 取BC 的中点O ,连结PO ,∵ PO ⊥BC ,∴PO ⊥平面EBCD ,--------------------8分以O 为坐标原点,过点O 与BE 平行的直线为x 轴,CB 的直线为y 轴,OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图, 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -,,,P , 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ,设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =,平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =,则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,令2z =-得(3,0,2)m =--,-------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+-=⎪⎩ ,令1c =得(0,3,1)n =,----------------------10分 设二面角D-PE-B 的大小为θ,则cos ||||7mn m n θ⋅===⋅⨯, 即二面角D-PE-B 的余弦值为分 (其它解法请参照给分!)19.解:(1)设明年常规稻A 的单价为ξ,则ξ的分布列为揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第3页(共12页)() 3.5E ξ=⨯估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62(元/公斤);-----------------------------3分 (2)杂交稻B 的亩产平均值为:[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=.------------------------------------------------------5分 依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为:0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯,则将来三年中至少二年,杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为:22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=.------------------------------------------------7分(3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近,所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关,------------------------8分由题中提供的数据得:0.520.80.65b -==-,由y bx a =+得 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=, 所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+,--------------------------------------------10分 估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元/公斤; 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元/亩,估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元/亩,因1905>1875,所以明年选择种杂交稻B 收入更高.------------------------------------------------------12分 20.解:(1)由点P 在椭圆上得223112a b+=,2c =2,-----------------------------1分 2222322b a a b ∴+=,c =1,又222a b c =+, 222232(1)2(1)b b b b ∴++=+,422320b b ∴--=,解得22b =,得23a =,∴椭圆C 的方程为22132x y +=;----------------------------------------------4分 (2)(i )设直线l 的方程为y kx t =+,联立22132x y +=, 得222(32)6360k x ktx t +++-=,∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++----------------------5分又22112(1)3x y =-,22222(1)3x y =-, 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第4页(共12页)22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++--------------------------------8分 要使22||||OA OB +为常数,只需218120k -=,得223k =,---------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+,∴k ==,这个常数为5;-------------------------------10分(ii )b k a=±,这个常数为22a b +.----------------------------------------12分 21.解:(1)222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>,----------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->,①当0a ≤时,()0g x <,'()0f x <;----------------------------------------------2分 ②当0a >时,由()0g x =得x =0x =<,记x =0x =则201()1()(),(0)2g x ax x a x x x x a =--=-->,∵102x a->∴当0(0,)x x ∈时,()0g x <,'()0f x <,当0(,)x x ∈+∞时,()0g x >,'()0f x >,--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减; 当0a >时,()f x在(0,上单调递减,在)+∞上单调递增.-----5分(2)不妨设12x x <,由已知得1()0f x =,2()0f x =, 即1111ln ax x b x =--,2221ln ax x b x =--,---------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---, ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-,----------------------------------------------7分揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第5页(共12页)要证121222x x ax x ++>, 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-,只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-,只需证222121212ln x x xx x x ->,即要证2121212ln x x x x x x ->,---------------------------9分设21x t x =,则1t >,只需证12ln t t t->,-------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->,只需证()0h t >,222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>,()h t ∴在(1,)+∞上单调递增,()(1)0h t h ∴>=,得证.-------------------------------------------------------------------12分22.解:(1)由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=,--------------------------1分又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=,-----------------------------------------------------2分 ∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)1y x =-+,------3分由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数);-----------------------------------5分 (2)将212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=,得221)2(3)0t t a ++-=,----------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数,∵2122(3)t t a ⋅=-,揭阳市2019年高考一模数学(理科)试题 第6页(共12页)由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得12||2t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间,∴120t t ⋅<,∴122t t ⋅=-,即22(3)2a -=-,解得24a =(满足0∆>),∴2a =±,----------------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+,又121)t t +=-,∴||||||2PA PB -=.--------------------------------------------------------------------------10分 23.解:(1)法一:|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=,∴ 2()2f x -≤≤, ()f x 的值域为[-2, 2];-----------------------------------------4分法二:2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩,得2()2f x -≤≤,∴()f x 的值域为[-2, 2];-----------------------------------------------------------------4分 (2)由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---, 由[2,1]x ∈-得10x -≤,∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--,----------------------------------------5分 设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤,① 当21x -≤≤-时,10x +≤,()(1)2132g x x x x =-+--=--, ∴ max ()(2)4g x g =-=;-------------------------------------------------------------7分 ② 当11x -<≤时,10x +>,()121g x x x x =+--=-,∴ ()(1)1g x g <-=;-------------------------------------------------------------------9分 综上知,max ()4g x =,由()a g x ≥恒成立,得4a ≥,即a 的取值范围是[4,)+∞.----------------------10分。
干货提取01(第二篇)- 干货提取之2019届高三数学最新模拟试题精选精析(解析版)
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,则
,或
舍去 .故有
,即
,又 ,
,则
,
则
取得最大值为
.故选:D.
6. 【广东省揭阳市 2019 届高三一模】右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图 形,图中△ABC 为直角三 角形,四边形 DEFC 为它的内接正方形,已知 BC=2,AC=4,在△ABC 上任取一 点,则此点取自正方形 DEFC 的概率为
是线段
的垂直平分线,则 C 的离心率为 D.5
【解析】
,直线
是线段 的垂直平分线,可得 到渐近线的距离为
,
即有
,OP 为
的中位线,可得
,
,可得
,即为
,即
,可得
.故选:C.
12. 【河南名校联盟 2019 届高三下学期 2 月联考】设实数 ,且不等式
对
恒成立,则 的最大值是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
处的切线与 x 轴交点的横坐标即为 ,其中
A.
B.
C.
【答案】B
【解析】
,∴
,∴过点
,若
,则
D.
的切线方程为
等于( ) ,令 ,
得
,可得
,又
,所以
.
11. 【陕西省西安地区陕师大附中等八校 2019 届高三 3 月联考】已知双曲线
的右
焦点为 ,若 C 的左支上存在点 M,使得直线
A.
B.2
C.
【答案】C
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】不妨设
,其中
,由于
,故
,由于双曲线
的渐近线方程为
广东省揭阳市2017届高三第一次(3月)模拟考试数学理试题(图片版)
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揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题:(92,要使加工成的正方体新工件体积最大,则该正方体为圆锥的内接正方体,设棱长为2x 222x -=,解得12x =,故2x =1,故新工件的体积为1.(10)设曲线在点(,())a f a 处的切线的倾斜角为α,则122211)('tan =+≥≥+==ba ab b a a f α,故42ππα≤<. (11)易得点F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++,要△APF 的周长最小,只需|||'|AP PF +最小,如图,当A 、P 、F 三点共线时取到,故l 2||24(1AF a =+=.(12)由条件可在函数()f x 的值域为[0,1],方程()0f x =的根为0,π-,π,所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或π-=)(x f 或()f x π=的根,显然方程()0f x =有3个实根,π-=)(x f 与()f x π=均无实根,所以方程(())0f f x =的实根个数为3,即3m =;因x x x g sin 2)(-=是奇函数,先考虑],0[π∈x 的图象,因x x g cos 21)('-=,由0)('>x g 得],3(ππ∈x ,可知)(x g 在],3(ππ上递增,在]3,0(π上递减,又0)0(=g ,ππ=)(g ,由图象关于原点对称得)(x g 的示意图如右,极小值为7.033)3(-≈-=ππg ,D C B A 极大值为7.0)3(≈-πg . 方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或π-=)(x g 或π=)(x g 的根,显然方程()0g x =有3个根,方程π-=)(x g 与π=)(x g 各有1个根,从而方程(())0f g x =实根的个数为5,即n =5;记方程()0g x =除0外的另外两个实根 分别为00,x x -,可知10>x ,方程(())0g g x =的实根为方程()0g x =或0)(x x g =或0)(x x g -=的根,显然方程()0g x =有3个根,方程0)(x x g =与0)(x x g -=各有1个根,从而方程(())0g g x =根的个数为5,即t =5,故m n t ++=13.二、填空题:(15)依题意知△ABC 为直角三角形,其所在圆面的半径为152AC =,设三棱锥O-ABC 的高为h ,则由116832h ⨯⨯⨯=h =,设球O 的半径为R ,则由2225h R +=得10R =,故该球的表面积为400π.(16)解法1:设A ACD θ∠=∠=,02πθ<<,则2ADC πθ∠=-,又1AC =,由正弦定理得:1.sin 2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得: 112cos 5sin sin sin sin(2)66CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠- 55cos sin(2)sin()sin(2)626πππθθθθ⇒=-⇒-=-,由02πθ<< 550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<,得5226ππθθ-=-或5226ππθθπ-+-=3πθ⇒=或9π. [注:该题若考生漏掉一解扣2分]【或5cos sin(2)cos cos(2)63ππθθθθ=-⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π】 解法2:过点C 作CE AB ⊥于E ,A ACD θ∠=∠=,则2CDB θ∠=,在Rt △AEC 中,sin CE θ=,则在Rt △CED 中,θθθ2tan sin 2tan -=-=CE DE ,在Rt △CEB 中,tan 6CE BE θπ==,由BD=1得sin 1tan 2θθθ=sin cos2sin 2sin 2θθθθθ⇒=E D B 1C 1A 1B CAcos222cos θθθ⇒=cos cos(2)3πθθ⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π.】 三、解答题:(17)解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,则有1111464(2)(21)2()3a d a d a n d a nd +=+⎧⎨+-=⋅+-⎩, 解得11,2a d ==--------------------------------------------------------------------------------------4分 1(1)21n a a n d n ∴=+-=-------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)由11222332n n n n a b a b a b ++++=- ① 当1n =时,1112a b =,所以112b =-----------------------------------------------------------------7分 当2n ≥时,11221112132n n n n a b a b a b ---++++=- ②-----------------------------8分 ①式减去②式得212n n n n a b -=, 求得12n n b =,易知1n =也成立, 所以数列{}n b 为等比数列,-------------------------------------------------------------------------10分其前n 项和1211[1()]1221()1212n n n n T b b b -=+++==-- ------------------------------------12分 (18)解:(Ⅰ)连结ED ,-------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ,B 1C ∥平面A 1BD ,∴B 1C ∥ED ,-------------------------------------------------------2分∵E 为AB 1中点,∴D 为AC 中点,∵AB=BC , ∴BD ⊥AC ①,--------------------------------3分法一:由A 1A ⊥平面ABC ,⊂BD 平面ABC ,得A 1A ⊥BD ②,由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线,得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------5分【法二:由A 1A ⊥平面ABC ,A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ,又平面11ACC A 平面ABC=AC ,得BD ⊥平面11ACC A .】 (Ⅱ)由1AB =得BC=BB 1=1, 由(Ⅰ)知AC DA 21=,又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------6分 ∵2222BC AB AC +==,∴BC AB ⊥,-----------------7如图以B 为原点,建立空间直角坐标系xyz B -如图示, 则)1,0,1(1A ,)1,0,0(1B ,)0,21,21(D , 得)0,0,1(11=A B ,111(,,1)22B D =- ,1701105x 1210频率设),,(z y x m =是平面A 1B 1D 的一个法向量, 则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B m A B m 111 ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅021210111z y x B m x A B m ,令z =1,得)1,2,0(=m ,----------9分 设(,,)n a b c = 为平面A 1BD 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BA n n ,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00221c a BA n b a n , 令1c =得(1,1,1)n =- , ---------------------------------------------------------------------------10分依题意知二面角11B D A B --为锐二面角,设其大小为θ,则 |||||||,cos |cos m n m n m n ⋅⋅=><=θ515353=⋅=, 即二面角11B D A B --的余弦值为515.----------------------------------------------------12分 其它解法请参照给分.(19)解:(Ⅰ)在区间[30,60)的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距,----------------2分 设在区间[0,30)上,a =频率组距, 则130)21011051701(=⨯+++a , 解得2101=a ,-------------------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右;-----------------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)记水电站日利润为Y 元.由(Ⅰ)知:不能运行发电机的概率为71,恰好运行一台发电机的概率为73,恰好运行二台发电机的概率为72,恰好运行三台发电机的概率为71, ①若安装1台发电机,则Y 的值为-500,4000,其分布列为E (Y )=72350076400071500=⨯+⨯-;----------------------------------8分 ②若安装2台发电机,则Y 的值为-1000,3500,8000,其分布列为E (Y )=3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=;-----------------------------10分 ③若安装3台发电机,则Y 的值为-1500,3000,7500,12000,其分布列为E (Y )=7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-; ∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大,该水电站应安装3台发电机.--------------12分 (20)解:(I )由2222||a c b AF =+=,得3=a ,--------------------------1分 ABC ∆的周长为14)(2=+a AC ,即722=++a a b ,得72=b ,所以2=c ,椭圆的离心率为32=e ;---------------------------------------------4分 (II )显然直线l 的斜率存在,设l 的方程为)4(-=x k y , 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),N (x 0,y 0),由||||||||QN MQ PN MP =,得022101y y y y y y -=-,化简得)(221021y y y y y +=①,-----6分 由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ,得04956)79(222=+++k ky y k , 得7956221+-=+k k y y ,79492221+=k k y y ,----------------------------------------------------8分 代入①式得k y 470-=,由)4(00-=x k y 得490=x , 49471414||||1010011-+-=--+-=--==x x x x x x x PN MP λ,---------------------------------------10分 因为3491≤<x ,得434901≤-<x ,所以34371=+-≥λ, 因此,N 在一条直线49=x 上,实数),34[∞+∈λ.------------------------------------------12分 【法二:显然直线l 的斜率存在,设l 的方程为)4(-=x k y ,不妨设0>k ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),N (x 0,y 0),12y y <,由||||||||QN MQ PN MP ==λ,得022101y y y y y y -=-=λ,化简得)(221021y y y y y +=①,6分 由)(101y y y -=λ,)(022y y y -=λ,得)(1221y y y y -=+λ②,由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ,得04956)79(222=+++k ky y k ,可知=∆=⋅+-22249)79(4)56(k k k 0)1(364922>-⋅k k , 得7956221+-=+k k y y ,79492221+=k k y y ,)79(25622,1+∆±-=k k y ,----------------------8分 代入①式得k y 470-=,由)4(00-=x k y 得490=x ,---------------------------------------9分 由②式得79562+-k k 792+∆-⋅=k λ,得341341425622≥-=-=kk k k λ, 因此,N 在一条直线49=x 上,实数),34[∞+∈λ.--------------------------------------12分】 【法三:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),N (x 0,y 0),21x x <,由||||||||QN MQ PN MP ==λ, 得,,MP PN MQ QN λλ==- -----------------------------------------------------------------------5分 所以01010202411411x x y y x x y y λλλλλλλλ+⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎨-⎪=⎪-⎪-⎪=-⎩将()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆方程得------------------7分2200222002222002004()()(4)()111(1)97974(4)()()()(1)1197197x y x y x y x y λλλλλλλλλλλλλλ+⎧⎪⎧++++=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨----⎪⎪+=-⎪⎪--⎩+=⎪⎩-----------------9分 上面两式相减化简得490=x 0110101744||4119||4x x MP PN x x x x x λ--∴===-+=-+---, 因为3491≤<x ,得434901≤-<x ,所以34371=+-≥λ, 因此,N 在一条直线49=x 上,实数),34[∞+∈λ.----------------------------------12分】 (21)解法1:(I )函数()f x 的零点即方程()0=f x 的根,由(2)0-+=x x e ax 得(2)=-x ax x e ,令()(2)=-x g x x e ,则'()(2)(1)=-+-=-x x x g x e x e x e ,--------------------2分由'()0g x >得1x <,∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增,由'()0g x <得1x >,∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减,----3分∴当1=x 时,函数()g x 有最大值,max ()(1)==g x g e ,又当1x <时,()g x >0,当→-∞x 时()0→g x ;当2<x 时()g x >0,(2)0=g ,当2>x 时()0<g x ,----------------------------------------4分 ∴当0≥a 时,ax y =与()g x 只有一个公共点,从而函数()f x 有一个零点;---------- 5分 当0<a 时,ax y =与()g x 有两个公共点,从而函数()f x 有两个零点.-----------------6分 (II )设12<x x 由(I )知0<a 且120,2<>x x ,由1111()(2)0=-+=x f x x e ax ,得111(2)-=-x x e a x (10<x ) 由2222()(2)0=-+=x f x x e ax ,得222(2)-=-x x e a x (22>x )-----------------------8分 ∴2a 111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=, -------------------------9分 ∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ,2210e e x x ≤<+,(两者仅当221=+x x 时取等号) ∴212121)(24x x x x x x ≥++-,又021<x x , ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ,----------------------------------------------------------------------11分 ∴22211e ea x x ≤⋅≤+,由0<a 得0<≤-a e .--------------------------------------------------------------------------------12分【解法2:(I )∵02)0(≠-=f ,0=∴x 不是函数的零点; 当0≠x 时,由0)2()(=+-=ax e x x f x 得x e x a x)2(--=,------------------------------1分 设x e x x g x )2()(--=,则0)22()('22<+--=xe x x x g x,----------------------------------2分 所以)(x g 在)0,(-∞和),0(∞+上单调递减,-----------------------------------------------------3分 当0>x 且0→x 时,+∞→)(x g ;当+∞→x 时,-∞→)(x g ;当0<x 且0→x 时,-∞→)(x g ;当-∞→x 时,0)(→x g ;当0<x 时,由0)(<x g ,有)0,()(-∞∈x g ,当0>x 时,有0)2(=g ,),()(∞+-∞∈x g ,所以当0≥a 时,曲线a y =与)(x g 只一个公共点,函数)(x f 有一个零点; -----------5分 当0<a 时,曲线a y =与()g x 有两个公共点,函数)(x f 有两个零点; -----------------6分 (II )不妨设21x x <,由(I )得0<a ,且01<x ,22>x ,由0)(1=x f ,0)(2=x f ,得)(1x g a =,)(2x g a =,∴)()(212x g x g a ⋅=111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=,-----8分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ,2210e e x x ≤<+,(两者仅当221=+x x 时取等号) ∴212121)(24x x x x x x ≥++-,又021<x x ,----------------------------------------------------10分 ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ,------------------------------------------------------------------------11分 ∴22211e ea x x ≤⋅≤+,由0<a 得0<≤-a e .------------------------------------------------12分】选做题: (22)解:(I )曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=,-------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=;---------------------------------------5分 (II )解法1:联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=,得22(cos sin )20ρραα+--=,-----------------------------------------------------------------6分设),(1αρA 、),(2αρB ,则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+,---------8分 由|2|||21ρρ+=OM , 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ,--------------------------------9分 当34πα=时,|OM |取最大值2.----------------------------------------------------------------10分 【解法2:由(I )知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心,以2为半径的圆,在直角坐标系中,直线l 的方程为x y ⋅=αtan ,则||PM =-----------------------------------------------------6分 ∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+,---------------------------------8分 当(,)2παπ∈时,t a n 0α<,21tan 2|tan |αα+≥,222|tan |||121tan OM αα=+≤+,当且仅当t a n 1α=-,即34πα=时取等号,∴||OM ≤即||OM 的最大值为2.------------------------------------------------------------10分】(23)解:(I )当1a =时,不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时,得113x x x ---≥0x ⇒≤,∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时,得113x x x -++≥23x ⇒≤,∴213x -<≤------------------------------2分 当1x ≥时,得113x x x -++≥0x ⇒≤,与1x ≥矛盾,--------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤ =2{|}3x x ≤-------------------------5分 (II )|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ,1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤--------------------------------------------------7分 4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ,------------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”,得证. ------------------------------------------------------------------------10分。
广东省揭阳市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(含答案)

2019届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学(理科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =+-<,(2,2)B =-,则A C B =A .(3,2)--B .(3,2]--C .(2,3)D .[2,3)2.已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=,若()a b c +⊥,则λ的值为A .3-B .13-C .13D .33.已知z 是复数z 的共轭复数,(1)(1)z z +-是纯虚数,则||z =A .2B .32C .1D .124.若3sin(2)25πα-= ,则44sin cos αα-的值为A .45B .35C .45-D .35-5.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动, 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名 工人,将他们随机分成两组,每组20人, 第一组工人用第一种生产方式,第二组工人 用第二种生产方式.根据工人完成生产任务 的工作时间(单位:min )绘制了如右茎叶图: 则下列结论中表述不正确...的是 A. 第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.B6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减,且为偶函数.若(12)f =-,则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是 A .[1,5] B .[1,3] C .[3,5] D .[2,2]-7. 如图,网格纸上虚线小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体 的三视图,则该几何体的体积为A .643B .52C .1533D .56 8.某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节, 且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为 A .6 B .12 C .24 D .489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x方形,则该双曲线的离心率为A 1B .12C .32D .210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,记正方 形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC 上任取一点,此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ,则A .12p p =B .12p p <C .12p p ≤D .12p p ≥11.已知△ABC 中,AB=AC=3,sin 2sin ABC A ∠= ,延长AB 到D 使得BD=AB ,连结CD ,则CD 的长为A .B C D . 12.已知函数()cos f x x π=,1()(0)2ax g x e a a =-+≠,若12[0,1]x x ∃∈、,使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是A .1[,0)2-B .1[,)2+∞C .1[,0)[,)2-∞+∞D .11[,0)(0,]22-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______;14.在曲线()sin cos f x x x =-,(,)22x ππ∈-的所有切线中,斜率为1的切线方程为 . 15.已知圆锥的顶点为S ,底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形,且面积为又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上,M 00(,)x y 为PQ 的中点,且0021y x >+,则y x 的取值范围是 . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.(一)必考题:共60分17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且23nn S p m =⋅+,(其中p m 、为常数),又123a a ==.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设3log n n b a =,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 18.(12分)如图,在四边形ABED 中,AB//DE ,AB ⊥BE ,点C在AB 上,且AB ⊥CD ,AC=BC=CD=2,现将△ACD 沿CD 折起,使点A 到达点P 的位置,且PE 与平面PBC 所成的角为45°.(1)求证:平面PBC ⊥平面DEBC ; (2)求二面角D-PE-B 的余弦值. 19.(12分)某地种植常规稻A 和杂交稻B ,常规稻A 的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B 的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B 的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =,并得到散点图如下,参考数据见下.(1)估计明年常规稻A 的单价平均值;(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B 的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率;(3)判断杂交稻B 的单价y (单位:元/公斤)与种植亩数x (单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A 和杂交稻B 中选择,明年种植哪种水稻收入更高?统计参考数据: 1.60x =, 2.82y =,101()()0.52iii x x y y =--=-∑,1021()0.65ii x x =-=∑,附:线性回归方程ˆybx a =+,121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑.20.(12分)已知点在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上,椭圆C (1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且满足22||||OA OB +的值为常数,(其中O 为坐标原点)(i )求k 的值以及这个常数;(ii )写出一般性结论(不用证明):斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点,且满足22||||OA OB +的值为常数,则k 的值以及这个常数是多少?21.(12分)设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、, (1)讨论()f x 的单调性;(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ,求证:121222x x ax x ++>.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4:坐标系与参数方程] (10分)以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=(a R ∈,a 为常数),过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足22x =+,(t 为参数). (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间),且||||2PA PB ⋅=,求a 和||||||PA PB -的值.23. [选修45:不等式选讲] (10分) 已知函数()|1||1|f x x x =+--, (1)求函数()f x 的值域;(2)若[2,1]x ∈-时,()3f x x a ≤+,求实数a 的取值范围.揭阳市2019高考一模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.由()(22)1f f =-=-,则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D. 法二:由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--,即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩,综合得15x ≤≤. 7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体,其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=. 8. 第一步:将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法,第二步:将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法,根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±,则222b c ac c a a=⇒=-11e e⇒-=,解得e =. 10. 法一:设△ABC 两直角边的长分别为,a b ,其内接正方形的边长为x ,由x b xa b-=得abx a b=+,则122()ab p a b =+,222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+(当且仅当a b =时取等号). 法二(特殊法):设1,2,BC AC ==CD x =,则23x =,故12445,1999p p ==-=,从而排除A 、D ,当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =,排除B ,故选C . 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==,在等腰三角形ABC 中 311cos 434ABC ∠=⨯=,从而1cos 4DBC ∠=-,由余弦定理得:2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=,故2CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域,则[1,1]F =-,当a >0时,1a e >,1()()2a x g x e a =-+单调递增,当a <0时,()g x 单调递减, 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2,因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增,在(,0)-∞上递减,所以3()(0)2h a h >=, 所以解得()1式12a ⇔≥,()2式⇔∅.解析:14.设切点为00(,)x y ,则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ππ∈-,得00x =,01y =-,故所求的切线方程为10x y --=(或1y x =-).15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形,且面积为24l =⇒=,又设圆锥底面半径为r ,高为h ,则由轴截面的面积为8得8rh =,又2216r h +=,解得r =(或设轴截面顶角为S ,则由21sin 82l S =得90S =︒,可得圆锥底面直径2r =,)故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行,故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线,其方程为210x y ++=,即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=,而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方,易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--,故问题转化为求射线(不含端点)00210x y ++=(035x <-)上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.三、解答题17.解:(1)由123a a ==得36p m +=,122()912a a p m +=+=,解得1,3p m ==,-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+,-------------①当2n ≥时,11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-,即13(2)n n a n -=≥,--------------------------------------------4分∵ 13a =不满足上式,∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分(2)依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时,1113T a b ==, 当2n ≥时,112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得:231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当1n =时,13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分18.解:(1)证明:∵AB ⊥CD ,AB ⊥BE ,∴CD//EB ,---------------------------------------------1分∵AC ⊥CD ,∴PC ⊥CD ,∴EB ⊥PC ,--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C ,∴EB ⊥平面PBC ,----------------------------------------------------------------------------------4分 又∵EB ⊂平面DEBC ,∴平面PBC ⊥平面DEBC ; ---------------------------------------5分 (2)由(1)知EB ⊥平面PBC ,∴EB ⊥PB ,由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°,--------------------------------6分 ∴△PBE 为等腰直角三角形,∴PB=EB , ∵AB//DE ,结合CD//EB 得BE=CD=2,∴PB=2,故△PBC 为等边三角形,--------------------7分 取BC 的中点O ,连结PO ,∵ PO ⊥BC ,∴PO ⊥平面EBCD ,--------------------8分以O 为坐标原点,过点O 与BE 平行的直线为x 轴,CB 的直线为y 轴,OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图, 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -,,,P , 从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =,(2,1,PE = ,设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =,平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =, 则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,令2z =-得(3,0,2)m =--,----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,令1c =得(0,3,1)n =,------------------------10分 设二面角D-PE-B 的大小为θ,则cos 7||||7m nm n θ⋅===-⋅⨯, 即二面角D-PE-B 的余弦值为分 (其它解法请参照给分!)19.解:(1)设明年常规稻A 的单价为ξ,则ξ的分布列为3.62=,估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62(元/公斤);----------------------------------------3分 (2)杂交稻B 的亩产平均值为:[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=.--------------------------------------------------------------------5分 依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为:0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯,则将来三年中至少有二年,杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为:22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=.--------------------------------------------------------------7分(3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近,所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关, -------------------------------------------------------------------------------------------------8分由题中提供的数据得:0.520.80.65b -==-,由y b x a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y b x =-=+⨯=, 所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+,--------------------------------------------------------------10分 估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元/公斤; 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元/亩,估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元/亩,因1905>1875,所以明年选择种植杂交稻B 收入更高. -------------------------------------------12分 20.解:(1)由点P 在椭圆上得223112a b +=,2c =2, --------------------------------------------1分 2222322b a a b ∴+=,c =1,又222a b c =+, 222232(1)2(1)b b b b ∴++=+,422320b b ∴--=,解得22b =,得23a =,∴椭圆C 的方程为22132x y +=;-------------------------------------------------------------------4分 (2)(i )设直线l 的方程为y kx t =+,联立22132x y +=,得222(32)6360k x ktx t +++-=, ∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分又22112(1)3x y =-,22222(1)3x y =-, 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++ 22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分要使22||||OA OB +为常数,只需218120k -=,得223k =,------------------------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+,∴k ==,这个常数为5; ----------------------------------------------------------10分 (ii )bk a=±,这个常数为22a b +.------------------------------------------------------------12分21.解:(1)222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>,---------------------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->,①当0a ≤时,()0g x <,'()0f x <;------------------------------------------------------------2分 ②当0a >时,由()0g x =得x =或0x =<,记12x a+=0x =则20()1()(0)g x ax x a x x x x =--=-->,∵0x >∴当0(0,)x x ∈时,()0g x <,'()0f x <,当0(,)x x ∈+∞时,()0g x >,'()0f x >,--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减; 当0a >时,()f x在1(0,2a+上单调递减,在1()2a ++∞上单调递增.---5分 (2)不妨设12x x <,由已知得1()0f x =,2()0f x =,即1111ln ax x b x =--,2221ln ax x b x =--,---------------------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---, ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-,---------------------------------------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>, 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-,只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-, 只需证222121212ln x x x x x x ->,即要证2121212ln x x x x x x ->,---------------------------------------9分 设21x t x =,则1t >,只需证12ln t t t->,------------------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->,只需证()0h t >, 222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>, ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增,()(1)0h t h ∴>=,得证.---------------------------------------------------------------------------12分22.解:(1)由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=, --------------------------------------1分又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=,-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)13y x =-+,--------------3分由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数);-------------------------------------------5分(2)将2212x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=,得221)2(3)0t t a ++-=,----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数,∵2122(3)t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得12||2t t ⋅=,∵点P 在A 、B 之间,∴120t t ⋅<,∴122t t ⋅=-,即22(3)2a -=-,解得24a =(满足0∆>),∴2a =±,-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+,又121)t t +=-,∴||||||2PA PB -=.-------------------------------------------------------------------------10分 23.解:(1)法一:|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=,∴ 2()2f x -≤≤, ()f x 的值域为[-2, 2];----------------------------------------------------4分法二:2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩,得2()2f x -≤≤,∴()f x 的值域为[-2, 2];----------------------------------------------------------------------------4分 (2)由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---,由[2,1]x ∈-得10x -≤,∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--,----------------------------------------------------5分 设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤,① 当21x -≤≤-时,10x +≤,()(1)2132g x x x x =-+--=--,∴ max ()(2)4g x g =-=;--------------------------------------------------------------------------7分 ② 当11x -<≤时,10x +>,()121g x x x x =+--=-,∴ ()(1)1g x g <-=;-------------------------------------------------------------------------------9分 综上知,max ()4g x =,由()a g x ≥恒成立,得4a ≥,即a 的取值范围是[4,)+∞.---------------------------------10分。
2019届高三数学上学期第一次月考试题理(4)word版本
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重庆市铜梁县2018 届高三数学上学期第一次月考试题理考试范围:会合简略逻辑,函数观点,表示,分析式,定义域,值域,函数的性质,指对函数,函数图象,函数与方程;考试时间: 120 分钟;注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第 I 卷(选择题)一、选择题(此题共12 道小题,每题 5 分,共 60 分)2< 0},B={x|x ≥1} ,则U)1. 已知全集 U=R, A={x|x ﹣2x A∪( ? B) =(A.( 0, +∞)B.(﹣∞, 1)C.(﹣∞, 2)D.( 0,1)2. 已知会合 A={1, 2, 3,4} , B={y|y=3x﹣2, x∈ A} ,则 A∩ B=()A. {1} B. {4}C. {1 ,3}D.{1 , 4}3. 在△ ABC中,“AB AC> 0”是“△ ABC为锐角三角形”的()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充足必需条件 D .既不充足也不用要条件4.以下说法错误的选项是()A.命题“若 x2﹣4x+3=0 ,则 x=3”的逆否命题是:“若x≠ 3,则 x2﹣ 4x+3≠ 0”B.“ x> 1”是“ |x| > 0”的充足不用要条件C.若 p 且 q 为假命题,则p、 q 均为假命题D.命题 p:“ ? x∈ R使得 x2+x+1< 0”,则?p:“ ? x∈R,均有 x2+x+1≥ 0”5.已知 0< a<1,则 a2、 2a、log 2a 的大小关系是()A. a2> 2a>log2a B.2a>a2>log 2a C.log 2 a>a2>2a D. 2a> log 2a> a26.函数 y=log ( x+2)﹣ 1( a> 0,a≠1)的图象恒过定点A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,此中am> 0,n> 0,则+的最小值为()A. 3+2 B. 3+2 C. 7D. 117. 已知 f(x)是定义在R 上的偶函数,在 [0 ,+∞)上是增函数,若 a=f(sin 12),b=f(cos5),77c=f ( tan 2),则()7A. a>b> c B. c> a> b C. b>a> c D.c> b> a8. 若函数 y=f (x) x∈R 足 f ( x+2) =f (x),且 x∈[-1,1],f(x)=1x2,g( x)=,函数h( x)=f ( x) g( x)在区x∈ [-5,11] 内零点的个数()A.8B. 10C. 12D. 149f( x)是定在R 上的恒不零的函数,随意数x,y∈ R,都有 f ( x)?f ( y)=f (x+y ),若 a1=,a n=f(n)(n∈ N*),数列{a n}的前n和S n的取范是()A.[,2)B.[,2] C.[,1)D.[,1]10. 如所示,点 P 从点 A 出,按逆方向沿 a 的正三角形ABC运一周, O 的中心,点P走的行程x,△ OAP的面 f (x)(当 A、O、P 三点共,面函数 f ( x)的象大概()ABC 0),A.B.C.D.11. 函数 f ( x) =( x a) |x a|+b , a,b∈ R,以下表达中,正确的序号是()① 随意数② 随意数a,b,函数a,b,函数y=f (x)在y=f ( x)在R 上是函数;R 上都不是函数;③ 随意数 a, b,函数 y=f ( x)的象都是中心称象;④存在数 a,b,使得函数 y=f (x)的象不是中心称象.A.①③ B .②③ C .①④D .③④12. 已知函数,如在区(1, +∞)上存在n(n≥ 2)个不同的数 x1,x2,x3,⋯,x n,使得比= A. {2 , 3, 4, 5} B . {2 ,3}C.{2 , 3,5}=⋯=D.{2 , 3,4}成立,n 的取会合是()第II卷(非)二、填空题(此题共 4 道小题,每题 5 分,共 20 分)13.命题:“ ? x∈ R, x2﹣x﹣ 1< 0”的否认是.14.定义在 R 上的奇函数 f ( x)以 2 为周期,则 f (1) =.15.设有两个命题, p:对于 x 的不等式 a x> 1( a>0,且 a≠ 1)的解集是 {x|x < 0} ;q:函数 y=lg ( ax2﹣ x+a)的定义域为R.假如 p∨q 为真命题, p∧ q 为假命题,则实数 a 的取值范围是.16.在以下命题中①函数 f ( x) =在定义域内为单一递减函数;②已知定义在R上周期为 4 的函数 f ( x)知足 f ( 2﹣ x) =f (2+x),则 f ( x)必定为偶函数;③若 f ( x)为奇函数,则 f ( x) dx=2 f ( x)dx ( a>0);④已知函数 f (x) =ax3+bx2+cx+d ( a≠ 0),则 a+b+c=0 是 f ( x)有极值的充足不用要条件;⑤已知函数 f (x) =x﹣ sinx ,若 a+b> 0,则 f ( a) +f ( b)> 0.此中正确命题的序号为(写出全部正确命题的序号).三、解答题(此题共7道小题,第 1题 12分,第 2题 12分,第 3题 12分,第 4题 12分,第 5题 12分,第 6题 10分,第 7题10分,共 70分)17.已知会合 A={x|x 2﹣ 4x﹣5≤ 0} ,函数 y=ln ( x2﹣ 4)的定义域为B.(Ⅰ)求 A∩ B;(Ⅱ)若 C={x|x ≤ a﹣ 1} ,且 A∪( ?R B) ? C,务实数 a 的取值范围.18.已知对于 x 的不等式 ax2﹣ 3x+2 ≤0 的解集为 {x|1 ≤x≤ b} .(1)务实数 a,b 的值;(2)解对于 x 的不等式:x c> 0( c 为常数).ax b19. 已知函数 f (x) =是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f ()=.(1)确立函数 f ( x)的分析式;(2)证明 f ( x)在(﹣ 1, 1)上是增函数;( 3)解不等式 f ( t ﹣ 1)+f ( t )< 0.20.已知对于 x 的不等式 x2﹣( a2+3a+2) x+3a( a2+2)< 0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间( m,n)的长度为 d=n﹣ m,若 a∈ R,求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设对于 x 的方程 2x2﹣ ax﹣ 2=0 的两根分别为α、β(α<β),函数(1)证明 f ( x)在区间(α,β)上是增函数;(2)当 a 为什么值时, f (x)在区间 [ α,β] 上的最大值与最小值之差最小.选做第 22 或 23 题,若两题均选做,只计第22 题的分。
【市级联考】广东省揭阳市2019届高三一模数学(理科)试题-e785c9a7f138489097f166fb44c51ea1

○…………外○…………内绝密★启用前【市级联考】广东省揭阳市2019届高三一模数学(理科)试题试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1.已知集合A ={x|x 2+x −6<0},B =(−2, 2),则C A B = A .(−3, −2)B .(−3, −2]C .(2, 3)D .[2, 3)2.已知向量a ⃑=(1,2),b ⃑⃑=(2,−1),c ⃑=(1,λ),若(a ⃑+b ⃑⃑)⊥c ⃑,则λ的值为 A .−3B .−13C .13D .33.已知z̅是复数z 的共轭复数,(z +1)(z̅−1)是纯虚数,则|z|= A .2B .32C .1D .124.若sin(π2−2α)=35,则sin 4α−cos 4α的值为 A .45B .35C .−45D .−355.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了茎叶图:则下列结论中表述不正确...的是……外…………○……………○…※※※答※※题※※……内…………○……………○…B .第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C .这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D .无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6.函数f(x)在[0,+∞)单调递减,且为偶函数.若f(2)=−1,则满足f(x −3)≥−1的x 的取值范围是 A .[1,5]B .[1,3]C .[3,5]D .[−2,2]7.如图,网格纸上虚线小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A .643B .52C .5313D .568.某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节,且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为 A .6B .12C .24D .489.过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为 A .√5−1B .√5+12C .32D .210.右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,记正方形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC 上任取一点,此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为p 1、p 2,则A .p 1=p 2B .p 1<p 2C .p 1≤p 2D .p 1≥p 211.已知△ABC 中,AB=AC=3,sin∠ABC =2sinA ,延长AB 到D 使得BD=AB ,连结CD ,则CD 的长为A.3√32B.3√102C.3√62D.3√612.已知函数f(x)=cosπx,g(x)=e ax−a+12(a≠0),若∃x1、x2∈[0,1],使得f(x1)= g(x2),则实数a的取值范围是A.[−12,0)B.[12, +∞)C.[−∞,0)∪[12, +∞) D.[−12,0)∪(0,12]……○…………※※请※※不※……○…………第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13.命题“对∀x ∈[−1,1],x 2+3x −1>0”的否定是 _______;14.在曲线f(x)=sinx −cosx ,x ∈(−π2,π2)的所有切线中,斜率为1的切线方程为________.15.已知圆锥的顶点为S ,底面圆周上的两点A 、B 满足ΔSAB 为等边三角形,且面积为4√3,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的表面积为_____________.16.已知点P 在直线x +2y −1=0上,点Q 在直线x +2y +3=0上,M (x 0,y 0)为PQ 的中点,且y 0>2x 0+1,则y0x 0的取值范围是___________.三、解答题17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3n ⋅p +m ,(其中p 、m 为常数),又a 1=a 2=3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 3a n ,求数列{a n ⋅b n }的前n 项和T n .18.如图,在四边形ABED 中,AB//DE ,AB ⊥BE ,点C 在AB 上,且AB ⊥CD ,AC=BC=CD=2,现将△ACD 沿CD 折起,使点A 到达点P 的位置,且PE 与平面PBC 所成的角为45°.(1)求证:平面PBC ⊥平面DEBC ; (2)求二面角D-PE-B 的余弦值.19.某地种植常规稻A 和杂交稻B ,常规稻A 的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B 的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B 的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)订…………○…………线…………○…_考号:___________订…………○…………线…………○…下.(1)估计明年常规稻A 的单价平均值;(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B 的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率; (3)判断杂交稻B 的单价y (单位:元/公斤)与种植亩数x (单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A 和杂交稻B 中选择,明年种植哪种水稻收入更高?统计参考数据:x̅=1.60,y ̅=2.82,∑(x i −x̅)(y i −y ̅)10i=1=−0.52,∑(x i −x̅)210i=1=0.65,附:线性回归方程y ̂=bx +a ,b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)ni=1∑(x i −x̅)2n i=1.20.已知点P(√62, 1)在椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上,椭圆C 的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且满足|OA|2+|OB|2的值为常数,(其中O 为坐标原点) (i )求k 的值以及这个常数;(ii )写出一般性结论(不用证明):斜率为定值k 的直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)交于A 、B 两点,且满足|OA|2+|OB|2的值为常数,则k 的值以及这个常数是多少? 1(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点x1、x2,求证:x1+x2+2>2ax1x2.22.以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=a2(a∈R,a为常数)),过点P(2, 1)、倾斜角为30°的直线l的参数方程满t,(t为参数).足x=2+√32(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且|PA|⋅|PB|=2,求a和||PA|−|PB||的值.23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−1|,(1)求函数f(x)的值域;(2)若x∈[−2, 1]时,f(x)≤3x+a,求实数a的取值范围.参考答案1.B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A,再根据补集定义求结果.【详解】因为A={x|x2+x−6<0}=(−3,2),所以C A B=(−3, −2],选B.【点睛】求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.2.A【解析】【分析】先求a⃑+b⃑⃑,再根据向量数量积得方程,解得λ的值.【详解】因为a⃑+b⃑⃑=(3,1),所以由(a⃑+b⃑⃑)⊥c⃑得(3,1)∙(1,λ)=0,3+λ=0,λ=−3,选A.【点睛】求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|cosθ;二是坐标公式a⃑⋅b⃑⃑=x1x2+y1y2;三是利用数量积的几何意义.3.C【解析】【分析】先根据纯虚数概念求得z,再根据复数的模的定义求结果.【详解】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a−bi,因此(z+1)(z−1)=(a+1+bi)(a−1−bi)=a2−1+b2−2bi因为(z+1)(z̅−1)是纯虚数,所以a2−1+b2=0,−2b≠0∴a2+b2=1,|z|=√a2+b2=1,选C.【点睛】熟悉复数相关基本概念,如复数a+bi(a,b∈R)的实部为a、虚部为b、模为√a2+b2、对应点为(a,b)、共轭为a−bi.4.D【解析】【分析】先根据诱导公式化简sin(π2−2α),再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果. 【详解】因为sin(π2−2α)=35,所以cos2α=35,因此sin4α−cos4α=sin2α−cos2α=−cos2α=−35,选D.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式,考查基本分析求解能力.属基本题.5.D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数,再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中,完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占1520=75%,第一种生产方式的中,完成生产任务所需要的平均时间为68+72+76+77+79+82+83+83+84+85+86+87+87+88+89+90+90+91+91+9220=84,第二种生产方式的中,完成生产任务所需要的平均时间为65+65+66+68+69+70+71+72+72+73+74+75+76+76+78+81+84+84+85+9020=74.7,所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高,这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79,81,中位数为79+812=80,所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图,考查基本分析求解能力.属基本题.6.A【解析】【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式,再解含绝对值不等式得结果.【详解】因为函数f(x)为偶函数,所以f(x−3)≥−1=f(2)等价于f(|x−3|)≥f(2),因为函数f(x)在[0,+∞)单调递减,所以|x−3|≤2,−2≤x−3≤2,1≤x≤5,选A.【点睛】解抽象函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(ℎ(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与ℎ(x)的取值应在外层函数的定义域内.7.D【解析】【分析】先还原几何体,再根据柱体体积公式求体积.【详解】几何体上部分为一个三棱柱(底面为高为1,底为4的等腰三角形,柱体高为4),下部分为×1×4×4+4×3×4=56,一个长方体(长宽高分别为4,3,4),因此几何体的体积为12选D.【点睛】若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解体积.8.B【解析】【分析】先安排数学与语文,再插空安排物理化学,最后根据乘法原理求结果.【详解】先安排数学与语文有两种排法,产生三个空位,从中选两个安排物理化学,有A32=6种排法,所以星期一上午不同课程安排种数为2×6=12,选B.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法:分布计数原理与分类计数原理,具体问题可使用对应方法:如(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.9.B【解析】【分析】先求交点坐标,再根据题意列方程解得离心率.【详解】令x=c得|y|=b 2a ,由题意得2b2a=2c,c2−a2=ac,e2−e−1=0,e=1+√52,(负值舍去),选B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,而建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.C【解析】【分析】先用直角△ABC两直角边长表示正方形边长,再根据几何概型概率求p1、p2,最后利用作差法比较p1、p2大小,即得结果.【详解】设BC=a,AC=b,CF=x,则xa =b−xb,x=aba+b,所以p1=x212ab=2ab(a+b)2,p2=1−p1,因此p2−p1=1−2p1=1−4ab(a+b)2=(a−b)2(a+b)2≥0∴p2≥p1,选C.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.11.C【分析】先根据正弦定理化角为边,解得BC ,再根据余弦定理列方程解得CD. 【详解】因为sin∠ABC =2sinA ,所以AC =2BC, 即BC =32,因为BD=AB ,所以AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC+BD 2+BC 2−CD 22BD⋅BC =0,32+(32)2−322×3×32+32+(32)2−CD 22×3×32=0, CD 2=544,CD =3√62,选C.【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 12.B 【解析】 【分析】先求f(x),g(x)在[0,1]上值域,再根据两值域关系确定实数a 的取值范围. 【详解】当x ∈[0,1]时,πx ∈[0,π],f(x)=cosπx ∈[−1,1],当x ∈[0,1]时,a >0时,g(x)∈[32−a,e a −a +12],a <0时,g(x)∈[e a −a +12,32−a],令h (a )=e a −a +12,则ℎ′(a)=e a −1,当a >0时ℎ′(a)>0,ℎ(a)>e 0−0+12=32>1, 当−12≤a <0时ℎ(a)≥e−12+12+12>1,当a <−12时ℎ(a)>−a +12>1,即当a <0时e a −a +12>1由题意得两函数值域交集非空,即{a >032−a ≤1 解得a ≥12,选B.【点睛】对于方程任意或存在性问题,一般转化为对应函数值域包含关系,即∀x 1,∃x 2,f(x 1)=g(x 2)⇒y =f(x)的值域包含于y =g(x)的值域;∃x 1,∃x 2,f(x 1)=g(x 2)⇒y =f(x)的值域与y =g(x)的值域交集非空。
【2019广东揭阳高考一模】广东省揭阳市2019届高三第一次模拟考试 数学(理)
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2019届广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学(理科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =+-<,(2,2)B =-,则A C B =A .(3,2)--B .(3,2]--C .(2,3)D .[2,3)2.已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=,若()a b c +⊥,则λ的值为A .3-B .13-C .13D .3 3.已知z 是复数z 的共轭复数,(1)(1)z z +-是纯虚数,则||z =A .2B .32C .1D .12 4.若3sin(2)25πα-= ,则44sin cos αα-的值为 A .45 B .35 C .45- D .35- 5.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了如右茎叶图:则下列结论中表述不正确...的是 A. 第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80BD. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减,且为偶函数.若(12)f =-,则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是A .[1,5]B .[1,3]C .[3,5]D .[2,2]- 7. 如图,网格纸上虚线小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A .643B .52C .1533D .56 8.某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节,且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为A .6B .12C .24D .489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x形,则该双曲线的离心率为A 1BC .32D .2 10. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,记正方形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC 上任取一点,此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ,则A .12p p =B .12p p <C .12p p ≤D .12p p ≥ 11.已知△ABC 中,AB=AC=3,sin 2sin ABC A ∠= ,延长AB 到D 使得BD=AB ,连结CD ,则CD 的长为A .BCD .12.已知函数()cos f x x π=,1()(0)2ax g x e a a =-+≠,若12[0,1]x x ∃∈、,使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是 A .1[,0)2- B .1[,)2+∞ C .1[,0)[,)2-∞+∞ D .11[,0)(0,]22- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______; 14.在曲线()sin cos f x x x =-,(,)22x ππ∈-的所有切线中,斜率为1的切线方程为 . 15.已知圆锥的顶点为S ,底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形,且面积为知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上,M 00(,)x y 为PQ 的中点,且0021y x >+,则00y x 的取值范围是 .。
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广东省揭阳市2019届高三数学第一次模拟考试试题 理本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =+-<,(2,2)B =-,则A C B =A .(3,2)--B .(3,2]--C .(2,3)D .[2,3)2.已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=r r r ,若()a b c +⊥r r r,则λ的值为A .3-B .13-C .13D .33.已知z 是复数z 的共轭复数,(1)(1)z z +-是纯虚数,则||z =A .2B .32C .1D .124.若3sin(2)25πα-= ,则44sin cos αα-的值为 A .45 B .35 C .45-D .35-5.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方 式.为比较两种生产方式的效率,选取40名 工人,将他们随机分成两组,每组20人, 第一组工人用第一种生产方式,第二组工人 用第二种生产方式.根据工人完成生产任务 的工作时间(单位:min )绘制了如右茎叶图:EDCBA则下列结论中表述不正确...的是 A. 第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减,且为偶函数.若(12)f =-,则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是 A .[1,5]B .[1,3]C .[3,5]D .[2,2]-7. 如图,网格纸上虚线小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体 的三视图,则该几何体的体积为 A .643B .52C .1533D .56 8.某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节, 且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为 A .6 B .12 C .24 D .489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为 A .51-B .512+ C .32D .210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,记正方 形为区域Ⅰ,图中阴影部分为区域Ⅱ,在△ABC 上任取一点,此点取 自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ,则A .12p p =B .12p p <C .12p p ≤D .12p p ≥11.已知△ABC 中,AB=AC=3,sin 2sin ABC A ∠= ,延长AB 到D 使得BD=AB ,连结CD ,则CD 的长为 A .332B .3102C .362D .3612.已知函数()cos f x x π=,1()(0)2ax g x e a a =-+≠,若12[0,1]x x ∃∈、,使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是A .1[,0)2-B .1[,)2+∞C .1[,0)[,)2-∞+∞UD .11[,0)(0,]22-U 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______; 14.在曲线()sin cos f x x x =-,(,)22x ππ∈-的所有切线中,斜率为1的切线方程为 .15.已知圆锥的顶点为S ,底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形,且面积为43,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上,M 00(,)x y 为PQ 的中点,且0021y x >+,则y x 的取值范围是 . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分 17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且23nn S p m =⋅+,(其中p m 、为常数),又123a a ==.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设3log n n b a =,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 18.(12分)如图,在四边形ABED 中,AB//DE ,AB ⊥BE ,点C 在AB 上, 且AB ⊥CD ,AC=BC=CD=2,现将△ACD 沿CD 折起,使点A 到达点P 的位置,且PE 与平面PBC 所成的角为45°.(1)求证:平面PBC ⊥平面DEBC ; (2)求二面角D-PE-B 的余弦值. 19.(12分)某地种植常规稻A 和杂交稻B ,常规稻A 的亩产稳定为500公斤,今年单价为3.50元/公斤,估计明年单价不变的可能性为10%,变为3.60元/公斤的可能性为60%,变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B 的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B 的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =L ,并得到散点图如下,参考数据见下.(1)估计明年常规稻A 的单价平均值;(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B 的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率; (3)判断杂交稻B 的单价y (单位:元/公斤)与种植亩数x (单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻A 和杂交稻B 中选择,明年种植哪种水稻收入更高?统计参考数据: 1.60x =, 2.82y =,101()()0.52iii x x y y =--=-∑,1021()0.65ii x x =-=∑,附:线性回归方程ˆybx a =+,121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑.20.(12分)已知点6(,1)P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上,椭圆C 的焦距为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且满足22||||OA OB +的值为常数,(其中O 为坐标原点)(i )求k 的值以及这个常数;(ii )写出一般性结论(不用证明):斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点,且满足22||||OA OB +的值为常数,则k 的值以及这个常数是多少? 21.(12分)设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、, (1)讨论()f x 的单调性;(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ,求证:121222x x ax x ++>.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4:坐标系与参数方程] (10分)以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=(a R ∈,a 为常数),过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足22x =+,(t 为参数). (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间),且||||2PA PB ⋅=,求a 和||||||PA PB -的值.23. [选修4-5:不等式选讲] (10分) 已知函数()|1||1|f x x x =+--, (1)求函数()f x 的值域;(2)若[2,1]x ∈-时,()3f x x a ≤+,求实数a 的取值范围.揭阳市2019高考一模数学 (理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题递增,由()(22)1f f =-=-,则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D. 法二:由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--,即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩,综合得15x ≤≤. 7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体,其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=.8. 第一步:将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法,第二步:将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法,根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±,则222b c ac c a a=⇒=-11e e⇒-=,解得e =. 10. 法一:设△ABC 两直角边的长分别为,a b ,其内接正方形的边长为x ,由x b xa b-=得abx a b=+,则122()ab p a b =+,222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+(当且仅当a b =时取等号).法二(特殊法):设1,2,BC AC ==CD x =,则23x =,故12445,1999p p ==-=,从而排除A 、D ,当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =,排除B ,故选C . 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==,在等腰三角形ABC 中 311cos 434ABC ∠=⨯=,从而1cos 4DBC ∠=-,由余弦定理得:2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=,故CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域,则[1,1]F =-,当a >0时,1a e >,1()()2a x g x e a =-+单调递增,当a <0时,()g x 单调递减, 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =F G φ⇔≠I ()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2,因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增,在(,0)-∞上递减,所以3()(0)2h a h >=, 所以解得()1式12a ⇔≥,()2式⇔∅. 二、填空题解析:14.设切点为00(,)x y ,则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ∈-,得00x =,01y =-,故所求的切线方程为10x y --=(或1y x =-).15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形,且面积为244l ==,又设圆锥底面半径为r ,高为h ,则由轴截面的面积为8得8rh =,又2216r h +=,解得r =(或设轴截面顶角为S ,则由21sin 82l S =得90S =︒,可得圆锥底面直径2r =,)故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行,故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线,其方程为210x y ++=,即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=,而满足不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方,易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--,故问题转化为求射线(不含端点)00210x y ++=(035x <-)上的点M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.三、解答题17.解:(1)由123a a ==得36p m +=,122()912a a p m +=+=,解得1,3p m ==,-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+,-------------①当2n ≥时,11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-,即13(2)n n a n -=≥,--------------------------------------------4分 ∵ 13a =不满足上式,∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分(2)依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时,1113T a b ==, 当2n ≥时,112233n n n T a b a b a b a b =++++L 213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-L 223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-L两式相减得:231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯-L ---------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分显然当1n =时,13T =符合上式∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分18.解:(1)证明:∵AB⊥CD ,AB ⊥BE ,∴CD//EB ,---------------------------------------------1分∵AC⊥CD,∴PC⊥CD,∴EB⊥PC,--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C, ∴EB⊥平面PBC,----------------------------------------------------------------------------------4分又∵EB⊂平面DEBC ,∴平面PBC ⊥平面DEBC ;---------------------------------------5分 (2)由(1)知EB⊥平面PBC ,∴EB⊥PB,由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB=45°,分∴△PBE 为等腰直角三角形,∴PB=EB, ∵AB//DE,结合CD//EB 得BE=CD=2,∴PB=2,故△PBC 为等边三角形,--------------------7取BC 的中点O ,连结PO ,∵ PO⊥BC,∴PO⊥平面EBCD ,--------------------8分 以O 为坐标原点,过点O 与BE 平行的直线为x 轴,CB 所在 的直线为y 轴,OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图, 则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -,,,P ,从而(0,2,0)DE =u u u r ,(2,0,0)BE =u u u r,(2,1,PE =u u u r,设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =u r ,平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =r,则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r得2020y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,令2z =-得(2)m =-u r ,----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,令1c =得n =r ,------------------------10分设二面角D-PE-B 的大小为θ,则cos 7||||m n m n θ⋅===-⋅u r ru r u u r , 即二面角D-PE-B的余弦值为分 (其它解法请参照给分!)19.解:(1)设明年常规稻A 的单价为ξ,则ξ的分布列为3.62=,估计明年常规稻A的单价平均值为3.62(元/公斤);----------------------------------------3分 (2)杂交稻B 的亩产平均值为:[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯116152304190762=+++=.--------------------------------------------------------------------5分依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为:0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯,则将来三年中至少有二年,杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为:22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=.--------------------------------------------------------------7分(3)因为散点图中各点大致分布在一条直线附近,所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关,-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 由题中提供的数据得:0.520.80.65b -==-,由y bx a =+2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=,所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+,--------------------------------------------------------------10分估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元/公斤; 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元/亩,估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元/亩, 因1905>1875,所以明年选择种植杂交稻B收入更高. -------------------------------------------12分 20.解:(1)由点P 在椭圆上得223112a b+=,2c =2, --------------------------------------------1分2222322b a a b ∴+=,c =1,又222a b c =+,222232(1)2(1)b b b b ∴++=+,422320b b ∴--=,解得22b =,得23a =,∴椭圆C的方程为22132x y +=;-------------------------------------------------------------------4分(2)(i )设直线l 的方程为y kx t =+,联立22132x y +=,得222(32)6360k x ktx t +++-=, ∴2121222636(1)(2)3232kt t x x x x k k -+=-=++L L L L ------------------------------------------5分又22112(1)3x y =-,22222(1)3x y =-, 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分要使22||||OA OB +为常数,只需218120k -=,得223k =,------------------------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+,∴3k ==±,这个常数为5;----------------------------------------------------------10分(ii)bk a=±,这个常数为22a b +.------------------------------------------------------------12分21.解:(1)222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>,---------------------------------------------1分设2()1(0)g x ax x x =-->, ①当a ≤时,()0g x <,'()0f x <;------------------------------------------------------------2分②当0a >时,由()0g x =得12x a +=或102x a-=<,记x =0x =则20()1()(0)g x ax x a x x x x =--=->,∵0x >∴当0(0,)x x ∈时,()0g x <,'()0f x <,当0(,)x x ∈+∞时,()0g x >,'()0f x >,--------------------------------------4分∴当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递减;当0a >时,()f x在1(0,2a上单调递减,在1()2a ++∞上单调递增.---5分(2)不妨设12x x <,由已知得1()0f x =,2()0f x =,即1111ln ax x b x =--,2221ln ax x b x =--,---------------------------------------------------6分两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---, ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-,---------------------------------------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>, 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-,只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-,只需证222121212ln x x xx x x ->,即要证2121212ln x x xx x x ->,---------------------------------------9分设21x t x =,则1t >,只需证12ln t t t->,------------------------------------------------------10分设1()2ln (1)h t t t t t=-->,只需证()0h t >,222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>Q ,()h t ∴在(1,)+∞上单调递增, ()(1)0h t h ∴>=,得证.---------------------------------------------------------------------------12分 22.解:(1)由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=,--------------------------------------1分又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得222x y a -=, ∴C的普通方程为222x y a -=,-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为2)13y x =-+,--------------3分由2x =得112y t =+ ∴直线l的参数方程为2212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数);-------------------------------------------5分(2)将2212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=,得221)2(3)0t t a ++-=,----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数,∵2122(3)t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得12||2t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间,∴120t t ⋅<,∴122t t ⋅=-,即22(3)2a -=-,解得24a =(满足0∆>),∴2a =±,-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+,又121)t t +=-,∴||||||2PA PB -=.-------------------------------------------------------------------------10分23.解:(1)法一:|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=,∴2()2f x -≤≤,()f x 的值域为[-2, 2];----------------------------------------------------4分法二:2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩,得2()2f x -≤≤,∴()f x 的值域为[-2, 2];----------------------------------------------------------------------------4分(2)由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---, 由[2,1]x ∈-得10x -≤, ∴|1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--,----------------------------------------------------5分设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤,① 当21x -≤≤-时,10x +≤,()(1)2132g x x x x =-+--=--, ∴max ()(2)4g x g =-=;--------------------------------------------------------------------------7分② 当11x -<≤时,10x +>,()121g x x x x =+--=-, ∴()(1)1g x g <-=;-------------------------------------------------------------------------------9分综上知,max ()4g x =, 由()a g x ≥恒成立,得4a ≥,即a 的取值范围是[4,)+∞.---------------------------------10分。