线性动态电路的复频域分析

第十四章线性动态电路的复频域分析

一、教学目标

应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。一般来说，后一种方法比前一种方法简便。本章介绍的就是后一种方法。

1.知识教学点

(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展

开定理

(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电

路的画法

(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用

(4)线性动态电路的复频域分析法

(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()

H jω之间的关系

H s与()

2.能力训练点

（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数

（2）正确画出运算电路

（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路

（4）求网络函数及其极点、零点

（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应

3.其它

（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围

（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘

二、教学方法

1 教法指导

（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。重点放在部分分式展开法。

（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。

（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。讲解清楚()

H s的求法及其几种表示方法；

H jω及()

h t的联系；网络函数的一些应用。

H s、()

()

2 学法指导

预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分

解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。

本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。

（2）在掌握基尔霍夫定律的运算形式、元件的运算阻抗和运算导纳与运算电路的画法的

基础上，熟练掌握线性动态电路的复频域分析法。

（3） 掌握网络函数。 （4）了解卷积定理 知识详解

知识点1 拉普拉斯变换

1. 定义：

拉普拉斯正变换 ⎰

∞

--

=0)()(dt e t f s F st 简记为()F s =ℒ[]()f t

拉普拉斯反变换 1

()()2j st j f t F s e ds j σσ

π+∞-∞

=

⎰ 简记为()f t =ℒ[]1()F s -

)(s F 称为象函数；)(t f 称为原函数，其定义域为[0, )∞。

常用信号的象函数

2. 基本性质：

拉氏变换有许多运算性质，常用的几个基本性质如下表。

知识点2 象函数的部分分式展开

线性时不变电路中的象函数通常为s 的有理分式，即下列形式的s 的两个实系数多项式之比

11101110

()m m m

m n

n n b s b s b s b F s s a s a s a ''-''---''''++++=++++ 求原函数不用拉氏反变换公式，而采用部分分式展开法。

当有理分式为假分式（m n '≥）时，先利于多项式的除法，把有理假分式化为一个多项式与有理真分式之和

11

11011010

110()

()()m m m n m n

m n k m m m n m n k n n k n b s b s b s b N s F s c s

c s

c s c c s s a s a s a D s -'-''----''----=-++++=++

+++=+

++++∑式中，m n <。然后对真分式进行部分分式展开，分为下列三种情况：

（1）0)(=s D 的根为不等实根

∑

=---=---++++=n

k k

k

n m m m m p s A p s p s p s b s b s b s b s F 1210111)())(()( 式中待定系数由下述公式确定

k

p s k k s F p s A =-=)()(

根据拉氏反变换的线性性质对展开式各部分分式进行反变换，可求出已知象函数的原函数为

1

()()k n

p t k k f t A e t ε==∑

（2）0)(=s D 的根中有重根

设1s p =为l 阶重根，其余()n l -个根均为单根，则

111011111()()()()()m m l n j m m k

l k

k j l l n j

A b s b s b s b A F s s p s p s p s p s p --==++++++==+-----∑∑

式中待定系数可由下述公式确定

11

111()() (1,2,,)(1)!k l k k s p d A s p F s k l k ds

--=⎡⎤=-=⎣⎦-

()()

( 1,2,,)j

j j s p A s p F s j l l n ==-=++

所以

()11

11()()()1!j l n p t p t k k j k j l A f t t e t A e t k εε-==+⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦

∑∑

（3）0)(=s D 的根中有共轭复根

当0)(=s D 有共轭复根时，仍可按（1）和（2）的方法进行，但计算比较复杂。可用下面的简便方法。

设0)(=s D 有一对共轭单根1,2s j αω=-± ① 方式1

*

()()K K K K F s s j s j s j s j θθαωαωαωαω⎛∠∠-⎫⎛⎫=

+++=

+++ ⎪ ⎪+-+++-++⎝⎭

⎝⎭

式中*K 为K 的共轭。则

()2cos()()t f t K e t t αωθε-=

+++

② 方式2

*22()K K A s B F s s j s j s αωαωαωαω

⎛⎫++=

+++=

++ ⎪+-++++⎝⎭（）（）

则

()()cos sin t t f t Ae t Be t ααωω--=

+++

知识点3 运算电路

1. 基尔霍夫定律的s 域形式

KCL 的复频域形式：0)(=∑s I KVL 的复频域形式：

0)(=∑s U

KCL 和KVL 方程复频域形式的列写规律与时域相同。基尔霍夫定律的复频域形式和时域形式在形式上是相同的，差别仅在于一个用象函数为变量，另一个用时域函数为变量。 2. 元件VAR 的s 域形式

（1）电阻、电感和电容的s 域模型如表所示。