一元二次方程专题复习资料全
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题
一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
一元二次方程总复习文库.docx
一元二次方程总复习考点1: 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,只系数不为0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c=0(a^0)o注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1 •直接开平方法：对形如(x+a) 2=b (bMO)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±4b/. x{ =-a+ X-)=-a- 4b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=O(k^O)的一般步骤是：①化为一般形式；②移项,将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)?二b的形式；⑤如果b$0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果bWO,则原方程无解.3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是x = ~h± ^~4aC (b2-4ac0)o步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a, b, c的值；③求出b2—4ac的值，当b2—4ac^0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法•理论根据：若ab=O,则a=()或b=()。
步骤是：①将方程右边化为()；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项：(1)在一元二次方程的一般形式屮要注意，强调aH().因当a=()时，不含有二次项，即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；②若b2 —4ac<0,则方程无解.⑶利用因式分解法解方程吋，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如一2(X+4)2 =3 (x+4)中,不能随便约去x+4o⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法〜因式分解法〜公式法.6.一•元二次方程解的情况(1)b2-4ac>0«方程有两个不相等的实数根；(2)b2-4ac=0<=>方程冇两个相等的实数根；(3朋一4acW()O方程没有实数根。
《一元二次方程》总复习、练习、中学考试真题【题型解析汇报】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac 2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
《一元二次方程》复习资料(打印版)
《一元二次方程》第一节认识一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义（重点）（温馨提示：紧扣定义理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，这三个要素必须同时满足，缺一不可。
）例题1：下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2-1对应练习1：下列方程是一元二次方程的是（）A． B．2x-3y+1=0 C．（x-3）（x-2）=x2 D．（3x-1）（3x+1）=3 知识点二：一元二次方程的一般形式（重点）（温馨提示：一元二次方程的一般形式的特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式，其中a≠0是重要组成部分。
）例题1、一元二次方程2x2-5x-7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5；2；7 B．2；-5；-7 C．2；5；-7 D．-2；5；7对应练习1：把一元二次方程（1-x）（2-x）=3-x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（）A．2、3、-1 B．2、-3、-1 C．2、-3、1 D．2、3、1对应练习2：下列一元二次方程是一般形式的为（）A．（x-1）2=0 B．3x2-4x+1=0 C．x（x+5）=0 D．（x+6）2-9=0对应练习3：把方程（x-1）2+2=2x（x-3）化为一般形式是，其中二次项是，一次项系数是．知识点三：一元二次方程的解温馨提示：根据方程的解的定义，用代入法和整体思想求代数式的值。
例题1、已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式2m2-4027m-2+ 的值．对应练习1：（2016•攀枝花）若x=-2是关于x的一元二次方程x2+ax-a2=0的一个根，则a的值为（）A．-1或4 B．-1或-4 C．1或-4 D．1或4对应练习2：[易错题哦～～～]（2016•济宁二模）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（）A．-1 B．1 C．1或-1 D．-1或0知识点四：根据实际问题列一元二次方程（重点）例题1：（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=0第二节：用配方法求解一元二次方程（温馨提示：适用方程为一边是未知数或含有未知数的代数式的平方，另一边是非负．．常数。
专题2.1 一元二次方程(基础)(解析版)
专题2.1 一元二次方程目录一元二次方程的定义 (1)一元二次方程项数系数 (2)一元二次方程含参 (4)一元二次方程的解 (5)直接开平方法 (6)配方法 (8)一元二次方程判别式 (11)含参求根的辨别式 (12)根的辨别式综合运用 (13)因式分解法 (16)十字相乘 (17)根与系数的关系..............................................................................................................................19一元二次方程的定义【例1】下列是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．22x x -=C ．22(2)x x x -=-D ．11x x+=【解答】解：A 、当0a =时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；B 、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意；C 、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；D 、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B ．【变式训练1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【解答】解：A ．该方程是分式方程，故本选项不合题意；B ．当0a =时，20ax bx c ++=不是关于x 的一元二次方程，故本选项不合题意；C ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D 、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式训练2】下列关于x 的方程是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．20x =C ．212x x x +=D ．220x y +=【解答】解：A 、该选项a 可能等于0，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B 、该选项有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；C 、该选项为分式方程，故该选项不符合题意；D 、该选项有两个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B ．【变式训练3】下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．6x p =B ．32x x -=C ．1xy =D ．256x x +=【解答】解：A 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B 、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D ．一元二次方程项数系数【例2】把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是( )A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【解答】解：(1)(1)3x x x +-=，2130x x --=，即2310x x --=，故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是( )A ．1B ．8C ．7D ．2【解答】解：关于x 的一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项分别为4、1和3-．所以一元二次方程2430x x +-=的一次项系数、二次项系数、常数项的和是4132+-=．故选：D ．【变式训练2】方程2514x x -=化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是( )A ．4，1-B ．4，1C ．4-，1-D ．4-，1【解答】解：2514x x -=化成一元二次方程一般形式是25410x x --=，它的一次项系数是4-，常数项是1-．故选：C ．【变式训练3】把方程225(2)x x x +=-化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．1，3-，2B ．1，7，10-C ．1，5-，12D ．1，3-，10【解答】解：225(2)x x x +=-，22510x x x +=-，225100x x x +-+=，23100x x -+=，则1a =，3b =-，10c =，故选：D ．【例3】若关于x 的方程2(1)2a x -=为一元二次方程，则a 满足( )A ．1a =B ．1a ¹C ．0a =D ．0a ¹【解答】解：Q 方程2(1)2a x -=为一元二次方程，10a \-¹，解得1a ¹．故选：B ．【变式训练1】若||1(3)(3)50m m x m x -+---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．3B ．3-C ．3±D ．2±【解答】解：由题意可知：||1230m m -=ìí+¹î，解得：3m =，故选：A ．【变式训练2】若方程||1(1)23m m x x +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．不存在【解答】解：由题意得：||12m +=，且10m -¹，解得：1m =-，故选：B ．【变式训练3】已知关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，则( )A ．2m ¹±B ．2m =-C ．2m =D ．2m =±【解答】解：Q 关于x 的方程||(2)340m m x x ---=是一元二次方程，\20||2m m -¹ìí=î，解得2m =-，故选：B ．【例4】如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式a b +的值为( )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，10a b \++=，1a b \+=-．故选：A ．【变式训练1】若关于x 的方程2240x ax a ++=有一个根为3-，则a 的值是( )A ．9B ．4.5C ．3D ．3-【解答】解：把3x =-代入方程得9640a a -+=，解得 4.5a =．故选：B ．【变式训练2】若a 是2320220x x --=的一个根，则231a a -+的值是( )A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【解答】解：a Q 是2320220x x --=的一个根，2320220a a \--=，232022a a \-=，231202212023a a \-+=+=．故选：D ．【变式训练3】已知a 是方程22350x x --=的一个解，则246a a -+的值为( )A ．10B ．10-C ．2D ．40-【解答】解：把x a =代入方程得：22350a a --=，则2235a a -=，则22462(23)10a a a a -+=--=-．故选：B ．直接开平方法【例5】方程2(1)9x +=的解为( )A ．2x =，4x =-B ．2x =-，4x =C ．4x =，2x =D ．2x =-，4x =-【解答】解：方程2(1)9x +=，开方得：13x +=或13x +=-，解得：12x =，24x =-．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2160x -=的根是( )A ．4B ．4-C ．4±D ．16【解答】解：2160x -=Q ，216x \=，4x \=±，故选：C ．【变式训练2】解方程22(1)160x --=．【解答】解：22(1)160x --=，22(1)16x -=，2(1)8x -=，1x -=±11x \=-，21x =+．【变式训练3】解方程：24(3)250x --=．【解答】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=，532x \-=±，1112x \=，212x =．【例6】解方程：22(23)(32)x x +=+．【解答】解：方程：22(23)(32)x x +=+，开方得：2332x x +=+或2332x x +=--，解得：11x =，21x =-．【变式训练1】解方程：22(21)(3)x x -=-．【解答】解：21(3)x x -=±-，213x x -=-或213x x -=-+，所以143x =，22x =-．【变式训练2】用适当的方法解一元二次方程：22(1)4(1)x x -=+．【解答】解：12(1)x x -=±+，所以13x =-，213x =-．【变式训练3】解方程：22(21)(1)x x +=-．【解答】解：21(1)x x +=±-，所以12x =-，20x =．配方法【例7】一元二次方程2220x x --=配方后可化为( )A ．2(1)3x +=B ．2(1)3x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=【解答】解：2220x x --=，222x x -=，22121x x -+=+，2(1)3x -=，故选：B ．【变式训练1】把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是( )A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x -=【解答】解：2240x x --=，224x x -=，22141x x -+=+，2(1)5x -=，故选：C ．【变式训练2】方程2460x x --=经配方后，可化为( )A ．2(2)10x -=B ．2(2)10x +=C ．2(2)8x -=D ．2(2)8x +=【解答】解：2460x x --=Q ，246x x \-=，则24464x x -+=+，即2(2)10x -=，故选：A ．【变式训练3】下列配方中，变形正确的是()A ．222(1)x x x +=+B ．2243(2)1x x x --=-+C ．222432(1)1x x x ++=++D ．222(1)1x x x -+=-+-【解答】解：22x x+2211x x =++-2(1)1x =+-，A 错误．243x x --24443x x =-+--2(44)(43)x x =-++--2(2)7x =--．B 错误．2243x x ++22(2)3x x =++22(211)3x x =++-+22(21)213x x =++-´+22(1)23x =+-+22(1)1x =++．C 正确．22x x -+2(211)x x =--+-2(21)1x x =--++2(1)1x =-++D 错误．故选：C ．【例8】用配方法解一元二次方程：22410x x -+=．【解答】解：方程整理得：2122x x -=-，配方得：21212x x -+=，即21(1)2x -=，开方得：1x -=，解得：11x =+，21x =．【变式训练1】解一元二次方程：22460x x --=．【解答】解：22460x x --=Q ，2230x x --=，223x x -=，则22131x x -+=+，即2(1)4x -=，12x \-=±，11x \=-，23x =．【变式训练2】用配方法解方程：24x -=．【解答】解：Q 24x -=，2545x \-+=+，即2(9x =，3x \-=或3x =-，13x \=+23x =-+【变式训练3】用配方法解方程：21090x x -+=．【解答】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．一元二次方程判别式【例9】方程2450x x --=的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定【解答】解：方程2450x x --=，Q △2(4)41(5)1620360=--´´-=+=>，\方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【变式训练1】一元二次方程2610x ++=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：一元二次方程2610x ++=中，△24610=-´´=，2610x \++=有两个相等的实数根，故选：C ．【变式训练2】一元二次方程2210x x -+=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有无数个实数根【解答】解：对一元二次方程2210x x -+=，△2(2)4110=--´´=，2210x x \-+=有两个相等实数根，故选：B ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程24(1)(3)0x x m m ++--=，下列选项正确的是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关【解答】解：方程24(1)(3)0x x m m ++--=，△164(1)(3)m m =---2164(33)m m m =---+241628m m =-+24(44)12m m =-++24(2)12m =-+，2(2)0m -Q …，24(2)12120m \-+>…，则方程有两个不相等的实数根．故选：C ．含参求根的辨别式【例10】关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．98m …B ．98m <且0m ¹C ．98m …且0m ¹D ．98m …【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有实数根，\△2(3)80m =--…，且0m ¹，解得：98m …且0m ¹．故选：C ．【变式训练1】若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．36B ．9C ．6D ．9-【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，\△2640c =-=，解得9c =，故选：B ．【变式训练2】若关于x 的方程220x x m --=没有实数根，则m 的最大整数值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 关于x 的方程220x x m --=没有实数根，2(2)41()440m m \--´´-=+<，解得：1m <-，则m 的最大整数值是2-．故选：A ．【变式训练3】关于x 的一元二次方程2(1)210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．1m <-B ．0m >C ．1m <且0m ¹D ．0m >且1m ¹【解答】解：根据题意得10m -¹且△224(1)(1)0m =--->，解得0m >且1m ¹．故选：D ．根的辨别式综合运用【例11】已知关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根．（1）求实数k 的取值范围．（2）若此方程有一个根为1，求k 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=有实数根，\△2224(23)41(1)0b ac k k =-=--´´-…，解得：1312k …；（2）Q 关于x 的方程22(23)10x k x k +-+-=的一个根为1，\把1x =代入方程得：21(23)10k k +-+-=，2230k k \+-=，解得：1k =或3-，故k 的值为1或3-．【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=．（1）求证：对于任意实数m ，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m 的值．【解答】（1）证明：对关于x 的一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=，△22221[(1)]4(2)21214m m m m m m m =---´-=-+-+=，\△0>，\对于任意实数m ，一元二次方程221(1)(2)04x m x m m --+-=总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则2210(1)0(2)04m m m ´--´+-=，220m m \-=，解得0m =或2m =，答：m 的值为0或【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程2(1)230x k x k -++-=．（1）当3k =时，求一元二次方程2(1)230x k x k -++-=的解；（2）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：当3k =时，方程可化为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x \=，23x =；（2）证明：Q △222[(1)]4(23)613(3)4k k k k k =-+--=-+=-+，而2(3)0k -…，\△0>．\对任意实数k ，方程有两个不相等的实数根．【变式训练3】已知关于x 的方程2(3)30x k x k -++=．（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）等腰ABC D 的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC D 的周长．【解答】（1）证明：△22(3)43(3)0k k k =+-´=-…，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：依题意有△2(3)0k =-=，则3k =，将其代入方程2(3)30x k x k -++=，得2(33)330x x -++´=．解得123x x ==．故ABC D 的周长是2338++=．如果220a a +=，那么a 的值是( )A ．0B ．2C ．0，2D ．0，2-【解答】解：220a a +=Q ，(2)0a a \+=，0a \=或20a +=，10a \=，22a =-，故选：D ．因式分解法【例12】方程24x x =的解是( )A．x =B ．12x =，22x =-C ．124x x ==D ．10x =，24x =【解答】解：24x x =，240x x -=，(4)0x x -=，0x =或40x -=，10x =，24x =，故选：D ．【变式训练1】方程2(2)3(2)x x -=-的解是( )A ．5x =B ．15x =，22x =C ．11x =，22x =D ．2x =【解答】解：2(2)3(2)x x -=-，2(2)3(2)0x x ---=，(2)(23)0x x ---=，20x -=或230x --=，所以12x =，25x =．故选：B ．【变式训练2】方程(1)2x x x -=的解是( )A ．3x =B ．3x =-C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =【解答】解：(1)2x x x -=，(12)0x x --=，(3)0x x -=，10x =，23x =，故选：C ．十字相乘【例13】方程22240x x --=的根是( )A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【解答】解：22240x x --=，(6)(4)0x x -+=，60x -=或40x +=，解得16x =，24x =-，故选：B ．【变式训练1】方程2430x x ++=的两个根为( )A ．11x =，23x =B ．11x =-，23x =C ．11x =，23x =-D ．11x =-，23x =-【解答】解：2430x x ++=，30x +=或10x +=，13x =-，21x =-，故选：D ．【变式训练2】方程220x x +-=的两个根为( )A ．12x =-，21x =B ．11x =-，22x =C ．12x =-，21x =-D ．11x =，22x =【解答】解：220x x +-=，(2)(1)0x x +-=，20x +=或10x -=，12x =-，21x =，故选：A ．【变式训练3】下列各数是方程23100x x +-=的根的是( )A ．2和5B ．5-和3C ．5和3D ．5-和2【解答】解：方程23100x x +-=，分解因式得：(2)(5)0x x -+=，所以20x -=或50x +=，解得：2x =或5x =-．故选：D ．根与系数的关系【例14】设方程2840x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．2【解答】解：由2840x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数8b =-，由根与系数的关系：12881b x x a -+=-=-=．故选：A ．【变式训练1】下列一元二次方程两实数根和等于4-的是( )A ．2340x x +-=B ．2440x x -+=C ．2450x x ++=D ．2440x x ++=【解答】解：A 、两实数根的和等于3-，所以A 选项不符合题意；B 、两实数根的和等于4，所以B 选项不符合题意；C 、△2441540=-´´=-<，方程没有实数根，所以C 选项符合题意；D 、两实数根的和等于4-，所以D 选项不符合题意．故选：D ．【变式训练2】设a ，b 是方程220210x x --=的两个实数根，则a b ab +-的值为( )A ．2022B ．2022-C ．2020D ．2020-【解答】解：根据题意，得1a b +=，2021ab =-，120212022a b ab \+-=+=，故选：A ．【变式训练3】若矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，则该矩形的周长和面积分别为( )A ．3和34B ．34和3C ．34和6D ．6和34【解答】解：Q 矩形的长和宽是方程241230x x -+=的两个根，设长为a ，宽为b ，3a b \+=，34ab =，则该矩形的周长为2()6a b +=，面积为34ab =．故选：D ．【例15】已知a 、b 分别是一元二次方程2450x x +-=的两个实数根，则11a b+的值为( )A ．25B ．45C ．1D ．65【解答】解：根据题意，可知4a b +=-，5ab =-，\1145b a a b ab ++==，故选：B ．【变式训练1】关于x 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，且22126x x +=，则k 的值是( )A ．3-B ．3±C ．2-D ．2±【解答】解：x Q 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根分别为1x 和2x ，121x x k \+=+，122x x k ⋅=+，Q 22126x x +=，\221212()2(1)2(2)6x x x x k k +-=+-+=，解得3k =±，根据题意，得△2[(1)]4(2)0k k =-+-+…，当3k =时，△162040=-=-<，不符合题意，当3k =-时，△4480=+=>，符合题意，3k \=-，故选：A ．【变式训练2】已知1x 、2x 是一元二次方程270x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是( )A ．6-B ．2-C ．13-D ．30-【解答】解：根据根与系数的关系得121x x +=，127x x =-，所以2222112212124()212(7)13x x x x x x x x ++=++=+´-=-．故选：C ．【变式训练3】一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则21212x x x x ++的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：Q 一元二次方程220x x --=的两个实数根为1x ，2x ，\2112x x =+，121x x +=，122x x =-，\21212x x x x ++12122x x x x =+++12122x x x x =+++122=-+1=．故选：D ．【例16】关于x 的一元二次方程2(4)20x m x m +++=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是方程的两个实根，且212124x x x x m m ++=-，求m 的值．【解答】（1）证明：Q △2(4)42m m=+-´28168m m m=++-2160m =+>，\方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得12(4)x x m +=-+，122x x m =，212124x x x x m m ++=-Q ，2(4)24m m m m \-++=-，解得1m =或4，即m 的值为1或4【变式训练1】已知关于x 的方程22290x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若221236x x +=求m 的值．【解答】（1）证明：Q △22(2)4(9)360m m =---=>，\方程有两个不相等的实数根；（2）解：122x x m +=Q ，2129x x m ⋅=-，\22222121212()2421836x x x x x x m m +=+-=-+=，化简，得2218m =，解得3m =或3m =-．【变式训练2】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2240kx x -+=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若113x =，求12(1)(1)x x ++的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程2240kx x -+=有两个实数根，0k \¹，且△2(2)440k =--´…，解得14k …且0k ¹；（2）由根与系数的关系可得122123x x x k +=+=，122143x x x k ==，解得30k =-，225x =-．12115x x \+=-，12215x x =-，12(1)(1)x x \++1212()1x x x x =+++2111515=--+45=．【变式训练3】关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2212129x x x x +-=，求m 的值．【解答】解：（1）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=有实数根，\△2224[(21)]41(2)410b ac m m m m =-=---´´-=+…，解得：14m -…．（2）Q 关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m --+-=的两个根分别为1x ，2x ，1221x x m \+=-，2122x x m m ⋅=-，2212129x x x x +-=Q ，21212()39x x x x \+-=，即22(21)3(2)9m m m ---=，整理得：2219m m ++=，2(1)9m \+=，解得：14m =-，22m =，14m -Q …．m \的值为21．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是( )A ．212x x -=B ．3220x x +=C ．210x x +=D ．210x y -+=【解答】解：A ．212x x -=，故A 符合题意；B ．3220x x +=，不是一元二次方程，故B 不符合题意；C ．210x x+=，不是一元二次方程，故C 不符合题意；D ．210x y -+=，不是一元二次方程，故D 不符合题意；故选：A ．2．下列式子是一元二次方程的是( )A ．223x x --B ．21x y +=C ．5(1)5x x --=D ．210x -=【解答】解：A 、223x x --是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B 、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、是一元二次方程，故本选项符合题意；D 、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C ．3．关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，则( )A ．0a >B ．0a ¹C ．1a ¹D ．1a =【解答】解：Q 关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，10a \-¹，1a ¹，故选：C ．4．关于x 的一元二次方程22410x x --=的二次项系数和一次项系数分别是( )A ．2-，4B ．2-，1-C ．2，4D ．2，4-【解答】解：关于x 的一元二次方程22410x x --=的二次项系数和一次项系数分别2和4-，故选：D ．5．已知m 是一元二次方程2310x x -+=的一个根，则220213m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2019D ．2020-【解答】解：把x m =代入方程2310x x -+=得2310m m -+=，所以231m m -=-，所以22202132021(3)2021(1)2022m m m m -+=--=--=．故选：A ．6．一元二次方程20x c +=的一个根为3-，那么c 的值为( )A ．9B ．3C ．3-D ．9-【解答】解：把3x =-代入方程20x c +=得90c +=，解得9c =-．故选：D ．7．方程2(3)4x -=的根为( )A ．125x x ==B ．15x =，21x =C ．121x x ==D ．17x =，21x =-【解答】解：方程2(3)4x -=，开方得：32x -=或32x -=-，解得：15x =，21x =．故选：B ．8．若把方程2640x x --=的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是( )A ．2(3)5x -=B ．2(3)13x -=C ．2(3)9x -=D ．2(3)5x +=【解答】解：2640x x --=264x x -=26913x x -+=2(3)13x -=，故选：B ．9．关于x 的方程2(1)230m x x -+-=是一元二次方程，则m 的取值是 1m ¹ ．【解答】解：由题意得：10m -¹，1m \¹，故答案为1m ¹．10．已知||1(1)210m m x x +--+=是关于x 的一元二次方程，则m = 1- ．【解答】解：||1(1)210m m x x +--+=Q 是关于x 的一元二次方程，||12m \+=，10m -¹，解得：1m =-．故答案为：1-．11．如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，那么m 的值为 3- ．【解答】解：由题意得：272m -=，且30m -¹，解得：3m =-，故答案为：3-．12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为1-．这个一元二次方程可以是 210x -= （写出一个即可）．【解答】解：由题意可得，方程可以为：(1)(1)0x x +-=，即210x -=．故答案为：210x -=．13．已知关于x 的一元二次方程||111(3)032a a x ax -++-=．（1）求a 的值；（2）解这个一元二次方程．【解答】解：（1）Q 方程||111(3)032a a x ax -++-=是一元二次方程，||12a \-=且30a +¹，解得：3a =；（2）方程为21602x x +-=，212210x x +-=，2242412(1)520b ac -=-´´-=>Q ，x \=，解得：1x =2x =14．已知关于x 的一元二次方程2()2()0a c x bx a c +-+-=，其中a 、b 、c 分别为ABC D 三边的长．（1）如果1x =是方程的根，试判断ABC D 的形状，并说明理由；（2）如果ABC D 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）ABC D 是等腰三角形，理由是：Q 把1x =代入方程2()2()0a c x bx a c +-+-=得：20a c b a c +-+-=，22a b \=，a b \=，ABC \D 的形状是等腰三角形；（2）ABC D Q 是等边三角形，a b c \==，2()2()0a c x bx a c +-+-=Q ，2()20a a x ax a a \+-+-=，即20x x -=，解得：10x =，21x =，即这个一元二次方程的根是10x =，21x =．15．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为2*a b a ab =-．如：22*12212=-´=．根据这个法则，（1）计算：3*2= 3 ；（2）判断(2)*(21)0t t ++=是否为一元二次方程，并求解；（3）判断方程(2)*13x +=的根是否为1x 2x =，并说明理由．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：23*2332963=-´=-=，故答案为：3；（2）已知等式变形得：2(2)(2)(21)0t t t +-++=，整理得220t t +-=，是一元二次方程；解方程得220t t +-=，得(2)(1)0t t +-=，即20t +=或10t -=，解得12t =-，21t =；（3）方程变形得：2(2)(2)3x x +-+=，整理得：244230x x x ++---=，即2310x x +-=，1a =Q ，3b =，1c =-，x \==，解得：1x =，2x =．故方程(2)*13x +=的根不是1x =2x =．。
一元二次方程复习课(绝对经典)
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。
一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)
一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。
１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。
答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。
故m≠－3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
一元二次方程总复习
选择适当的方法解下列方程:
1
16 25
x2
1
25x2 2x
33x2 1 4x
4(x 2)2 9x2
5x(3x 7) 2x
6x(2x
7)
49 8
7(2x1)2 (3x1)2 8(x 1)(x1) 2 2x
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
2 y 1 y 1 2 2 y
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有 没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它 去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
2、下列方程是一元二次方程的是 （B）
A x 2y 1 B x2 5 0 C x2 3 8 D3x 8 6x 2
x
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
4.下面是某同学在一次数学测验中解答
的填空题，其中答对的是（ C ）
九年级一元二次方程专题复习.doc
一元二次方程专题复习【知识回顾】1.灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的-•般形式：做2+bx + c = 0(dH0)四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法:(戸一4必$0)注意：(1) 一定要注意QHO，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进;(2)掌握一元二次方程求根公式的推导；(3)主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次” •2.根的判别式及应用(A = &2-4ac)：(1)一元二次方程ax2 +加+ c = 0(a工0)根的情况：①当A>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△ = ()时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。
3.根与系数的关系(韦达定理)的应用：b c韦达定理:如一元二次方程ax1 +Z?x + c = 0(«^0)的两根为,则西+无=——，占•匕=— a ~ a适用题型：(1)已知一根求另一•根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)己知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号：(西,召是方程两根)；(6)题冃给出两根Z间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是/?/△的两直角边求斜边等悄况.注意：(1 ) %]2 + =(X] + 兀2)~ — 2兀]• X,(2) (x, -x2)2 = (Xj +x2)2 -4^ -x2；x} -x2 =+x2)2 -4x, -x 2A>0（3）①方程有两正根，贝iJ<X]+兀2>0；-x2 > 0A>0②方程有两负根，贝IJ西+兀；x l-x2>0[A>0③方程冇一正一负两根，贝叽“[x A -x2 < 0[A>0④方程一根人于1,另一根小于1,贝几仃 .、八[（x, — l）（x2 -l）<0（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时, 一•般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以西,吃为根的一元二次方程为X2-U.十兀2）兀+西*2 =0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数QH0，同时满足△》（）；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根Z和坷+乞，两根Z积旺的代数式的形式，整体代入。
《一元二次方程整章复习资料》
【一元二次方程整章复习资料】一、 一元二次方程的概念：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
形如：()002≠=++a c bx ax 其中 ：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项例1、 下面关于x 的方程中，那些是一元二次方程？（1）ax 2+bx+c=0 （2）x 2-y+1=0 （3） -3x 2 =0（4） 212=+x x （5）3x(x －3)=5(x －3) （6） x 2-3=4x例2、一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数为： 。
例3、在关于x 的方程(m －5)x m －7+(m+3)x －3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
二.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形（2）配方法：（注意）（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 解法一、直接开方法例1: (1) x 2=9 (2) 16y 2= 25 (3) (2x+5)2= 81 (4)21（x ＋3）2＝2；解法二、配方法例2、(1) x 2-2x-4=0 (2) 02722=--x x解法三、求根公式法例3、（1）x 2+3x-1=0 (2)3 x 2-8x +2＝0；解法四、因式分解法例4、（1）x 2-3x=0 (2)（y-1）2-3(y-1)=0 (3)x 2-2x-24=0提高练习题：我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程．①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=． 三.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
一元二次方程总复习资料
一元二次方程总复习资料一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。
而03132=-+x x 不是一元二次方程，原因是x1是分式。
2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。
化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。
注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。
如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。
如x=1时，022=-+x x 成立，故x=1叫022=-+x x的解。
4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x 的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。
(完整word版)人教版九年级上册数学一元二次方程复习资料
一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
完整版一元二次方程知识点总结和例题复习
知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。
(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。
根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。
(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。
2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。
数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。
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一元二次方程专题复习知识盘点1．方程中只含有 个未知数.并且整理后未知数的最高次数是 。
这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数。
a ）。
2。
一元二次方程的解法:(1)直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方.而另一边是一个 时.可以根据 的意义。
通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax的一般步骤是：①化二次项系数为 。
即方程两边同时除以二次项系数；②移项。
使方程左边为 项和 项。
右边为 项； ③配方。
即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2()x m n +=的形式.如果n 是非负数。
即0n ≥。
就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0。
则原方程 .（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠。
当24b ac -_______ 0时。
x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 .得到两个 方程； ④解这两个方程.它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 。
（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根， 即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根。
即-----==21x x , （3)ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4。
一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x . 则12x x += 。
12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时.一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样.即审、找、设、列、解、答六步。
考点一一元二次方程的基本概念及解法例1、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)。
则a－b的值为A．－１ B．0 C．1 D．2例2、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是( ）A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2考点二一元二次方程根的判别式例3、关于x的方程2210x kx k++-=的根的情况描述正确的是（ )．A．k为任何实数．方程都没有实数根B。
k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种例4、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根.则a的取值范围是（)A、a＜2B、a＞2C、a＜2且a≠lD、a＜﹣2考点三 一元二次方程根与系数的关系例5、关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2。
（1）求k 的取值范围；(2)如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数.求k 的值。
【对应训练】已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x .且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值。
考点四 列一元二次方程解应用题例6为落实国务院房地产调控政策.使“居者有其屋”。
某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米.预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房.若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2)若这两年内的建设成本不变。
求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．【对应训练】广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售.由于国务院有关房地产的新政策出台后.购房者持币观望。
房地产开发商为了加快资金周转。
对价格经过两次下调后。
决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1)求平均每次下调的百分率；(2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房。
开发商给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售;②不打折。
一次性送装修费每平方米80元. 试问哪种方案更优惠？误区点拨一、忽视等式的基本性质。
造成失根 例1、解方程：2(1)3(1)x x x +=+。
错解:两边同除以(1)x +.得23, 1.5x x ==剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0。
正解：二、忽视二次项系数a≠0。
导致字母系数取值范围扩大例2、如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0.求m 的值．错解:将x ＝0代入方程中.得22(2)03040m m -⋅-⨯+-=.24m =。
2m =±.剖析：由一元二次方程的定义知:20m -≠。
而上述解题过程恰恰忽略了这一点。
正解：三、忽视一元二次方程有实根的条件Δ≥0.导致错解 例3、已知：1x 、2x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的两实根.求2212x x +的最大值。
四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解例4、若2222(1)(3)5x y x y +++-=，则22x y +=_________。
五、忽视“方程有实根”的含义。
导致字母系数取值范围缩小例5、。
已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=。
当k 为何值时。
方程有实数根？六、忽略实际问题中对方程的根的检验。
造成错解例6。
有一块长80cm 。
宽60cm 的薄铁片.在四个角截去四个相同的小正方形。
然后 做成一个底面积为1500cm ²的没有盖子的长方体盒子。
求截去的小正方形的边长.单元训练一、选择题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x += B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=2. 若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 有一根为0.则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．03。
关于x 的一元二次方程240x x c ++=中.0c<.该方程的解的情况是:（ )A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定4. 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根。
则这个方程的另一个根是( )A 。
－2B 。
2 C. 5 D. 6 5。
用配方法解方程23610x x -+=。
则方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根.则22a a b ++的值为（ ) A ．2006B ．2007C ．2008D ．20097。
方程29180x x -+=的两根分别是是等腰三角形的底和腰.则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定8．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是（ ）A.a 〈2 B ，a 〉2 C.a 〈2且a ≠1 D.a<2 9.某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是（ ）A. ()22891256x -= B. ()22561289x -=C. 289（1—2x ）=256 D 。
256(1—2x ）=28910。
已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根x 1.x 2满足x 1+x 2=4和x 1•x 2=3.那么二次函数ax 2+bx+c （a ＞0）的图象有可能是（ )A 、B 、C 、D 、二、填空11。
若1x 。
2x 是方程210x x +-=的两个根.则2212x x +=__________．12.已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根.且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．13。
已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根.则代数式（a －b ）(a ＋b －2）＋ab 的值等于________。
14. 设关于x 的方程03)1(222=-++-k x k x 的两根x 1、x 2满足42)(21221=-+x x x x .则k 的值是 。
。
15 .如右图。
已知线段AB 的长为a 。
以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E.以AE 为 边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF 丄CD 。
垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等。
则AE 的长为 ．三、解答题 16. 解方程(1)x 2－4x ＋1=0 （2） 2(34)34x x -=-17、已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1。
x 2.（1）求k 的取值范围；（2)若12121x x x x +=-.求k 的值.18。
已知双曲线xy 3=和直线2+=kx y 相交于点A （1x .1y ）和点B （2x 。
2y ）.且102221=+x x ,求k 的值.19. 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展.汽车已越来越多的进入普通家庭。
成为居民消费新的增长点。
据某市交通部门统计.2008年底全市汽车拥有量为15万辆.而截止到2010年底。
全市的汽车拥有量已达21。
6万辆。
求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2）为了保护环境.缓解汽车拥堵状况.从2011年起.该市交通部门拟控制汽车总量.要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计.该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。
假定在这种情况下每年新增汽车数量相同.请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.一元二次方程专题复习资料全11 / 11 20.某商场试销一种成本为每件60元的服装。
规定试销期间销售单价不低于成本单价.且获利不得高于45％。
经试销发现.销售量y （件)与销售单价x （元)符合一次函数y kx b =+.且65x =时。
55y =；75x =时。
45y =．(1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元。
试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时。
商场可获得最大利润.最大利润是多少元？(3）若该商场获得利润不低于500元.试确定销售单价x 的范围．。