测度论第三章(第十二节)

* ( A) ( En ) { ( En E ) ( En E ' )} * ( A E ) * ( A E ' )
n 1 n 1


* 由于上式对于任意的 成立，因此E是
我们已经证明了 R S
可测的。换一句话说， ;又因 S 是一个 环，所以S ( R) S 。
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测 度 论
第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质 本节的主要内容： 由一个测度可以引出一个外侧度，由 一个外侧度可以引出一个测度，如果我们 由一个测度 出发，先建立由它引出的 * * 外侧度 ，再建立由 引出的测度 ， 然后得出 和 之间的关系。
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* S（R）中的集F，使 ( E) ( F ) 测覆盖。
，并使F为E的一个可
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：首先假定 * ( E ) 。 由定理2，对于每一个n=1，2，…，存在S（R）中的一个集 Fn ，使得
E Fn
令 F n1 Fn
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质 定理2：设 E H ( R) ，则
* (E) inf{(F ) : E F S inf{(F ) : E F S (R)}
这个定理也可以叙述如下：由S（R）上的 引出外 侧度以及由 S 上的 引出的外侧度都与 * 重合。
于是 E F G ，我们有
(F ) * (E) (F G) (F ) (G) (F )
因为 ( F ) ，所以 (G) 0 ，这说明了F是E的一个可测覆盖。 首页 上页 下页
第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
* 若 (E)
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
设 E H ( R), F S ( R), E F , 如果对于E(R)中满足关系式 的每一个集G，有 (G) 0
G F E
，则称F是E得一个可测覆盖。不严格地说，
H（R）中之集E的可测覆盖是S（R）中遮盖R的最小集。
定理3. 设E是H（R）中具有 有限外侧度的集，则存在
若 * ( E ) ，等式 * ( E) ( F ) 显然成立；若 * ( E ) 则由定理3，存在E的可测覆盖 F 0 使
(F0 ) * (E)
根据前面所述可知，任意两个可测覆盖具有相同的测度，因此定理证明完毕。
定理5. 设 在R上是 有限的，则S（R）上的测度
对于每一个 Ei 应用定理3，就得到定理的结论。

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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
补充：在本节开头所提出的问题也可以从另一个方向提出。例如，我们由 * 一个外侧度 出发，先建立由它引出的测度 ，再建立由 引出的外 * * 侧度 ，则 和 * 之间存在什么关系？一般说来，这两个集函数 是不相同的；但当引出的外侧度 * 与原来的外侧度 * 重合时，我们称 是正则的 。定理2说明了由环上的测度引出的外侧度总是正则的。反面的命 * * 题也是成立的：如果 是正则外侧度，则 * 是由环上的一个测度引 *
§12 引出的测度的性质
是环R的测度， 是H（R）上由 引出的外侧度， 设： * * 是 S 上由 引出的测度，其中 S 是由全体 可测集组成 的 环。
*
* 可测集。 定理1：S（R）中每一个集是
* 证明：设E R，A H（R）， 0 ，则由 的定义，存在R中 之集的叙列{En } ，使得 A U n 1En 并且
出的外侧度，即由 可测集类上的测度 引出的外侧度。由此可见， 引出的外侧度和正则外侧度这两个概念是同等宽广的。
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内容结束
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且
( Fn ) * ( E )
1 n
，则
1 E F S ( R) 且 n * 由于n是任意的，因此 ( E) ( F ) 。如果 G S ( R) ，并且 G F E
* ( E ) ( F ) ( Fn ) * ( E )
测覆盖。等式
U
n1
U
n1
Fn
，则显然有 F S ( R) 和
EF
( E) ( F )
在
n 1
* ( E) 0
的场合下显然成立，因为此时
(F )
* E H ( R ) 定理4.设 ，F是E的可测覆盖，则 ( E) ( F ) ；如
果 F1 和 F2 都是E的可测覆盖，则 (F1F2 ) 0
因为S（R）中集的任何叙列 {En } 如果满足关系式 E U n1 En F 则可以换为具有同样性质的一个不相交叙列，而不致增加叙列百度文库项的测 度之和；又由 的定义，对于 S 中的F，有 ( F ) * ( F ) ，因此
* (F ) inf{{F} : E F S (R)} inf{{F} : E F S} * (E)
。
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：由关系式 E F1 F2 F1 ，可以推出 F1 ( F1 F2 ) F1 E 由于 F 是E的可测覆盖，因此有 1 类似地，有
{F1 ( F1 F2 )} 0
{F2 ( F1 F2 )} 0 因此 ( F1F2 ) 0
和
S 上的测度
都是
有限的。
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§12 引出的测度的性质
证明：根据§10 定理1，如果 是

有限的，则
*也是
有限的。
因此，对于 S 中的每一个集E，存在H（R）中之集的一个叙列 {Ei } 使得
E Ui 1 Ei , * (Ei ) , i 1,2,...
证明：因为对于R上的F，有 ( F ) ( F ) （根据 理1 ）因此

的定义和§10定
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
* ( E ) inf{ ( En ) : E U n 1 En , En R, n 1,2,...}
inf{ ( En ) : E U n 1 En , En S ( R ), n 1,2,...}
，则因E是具有 有限外侧度的集，它可以表为可列个具有有
限外侧度不相交集的并集： E U E , * (En ) n1 n 设 Fn 是 En 的可测覆盖，并令 F
如果 G F E ，则 G
*
Gn ，其中 Gn G Fn 。由于 Gn Fn En ，因 此 (Gn ) 0 ，所以 (G ) (Gn ) 0 。由此可知，F是E的一个可