系统动力学

• 延迟可用水平方程和速率方程加以描述。 • 利用流体力学原理对系统动力学常用的几种延迟加以 研究。 • 从延迟流的内容分，有物流延迟，信息流延迟； • 从延迟形态分，主要有途中延迟、一阶指数延迟、二 阶指数延迟、三阶指数延迟。 • 1）途中延迟 输入流速经过某段时间之后以相等的大小输出，这种 延迟就是图中延迟。 途中延迟的水平变量（积累） = （平均延迟） · （输入 流速）或(输入流速)
一、流体力学与系统动力学
• 古典流体力学是系统动力学的重要理论基础之一 。流体力学是研究流体处于平衡和运动时的力学 规律，以及这些规律在工程上的实际应用。系统 动力学根据流体力学原理，把社会中流动的物质 和信息比拟成流体力学中的流体，例如，水流， 流体在自然界或者人造容器中流动，产生流、流 速、积累(水平)、压力、延迟等现象。同样，系 统动力学中也用流、流速、积累、压力、延迟等 概念来描绘社会经济系统中物质和信息的流动， 这就形成系统流体动力学。
• 以DELAY1代替一组方程，使用方便， 但缺点是隐含了一个水平变量INC，不能 绘图和打印出来。
3）DELAY3三阶延迟
• 假定潜伏期为三天，把处潜伏期的人口INC划分为三部 分，INC1、INC2、INC3分别表示处于潜伏期第一天、 2天和3天的人口
What is System Dynamics
• System dynamics is a methodology for studying and managing complex feedback systems, such as one finds in business and other social systems. In fact it has been used to address practically every sort of feedback system. While the word system has been applied to all sorts of situations, feedback is the differentiating descriptor（描述符） here. Feedback refers to the situation of X affecting Y and Y in turn affecting X perhaps through a chain of causes and effects. One cannot study the link between X and Y and, independently, the link between Y and X and predict how the system will behave. Only the study of the whole system as a feedback system will lead to correct results. ------http://www.systemdynamics.org/
1．系统的流
• • • • • 系统动力学主要利用四种流来构成模型 物流 订货流 资金流 信息流
2．水平（积累、状态）level
• 水平(积累)是系统的流的积累。例如， 库存量、存款、人口、资源等都可作为 水平变量。一个水平方程相当于—个容 器，它积累变化的流速率。其流速有输 入流速和输出流速，容器内的水平正是 其输入流速与输出流速的差量的积累。
如何区别水平变量和速率变量？ • 同一个变量在系统动力学模型中往往可设为水平变量， 也可设为速率变量，区别它们的原则是什么?显然，它们 的量纲不同，水平变量的量纲是某物流或信息流的某种 度量“单位”；速率的量纲是“水平变量的单位／时间 单位”。但是，这不是识别它们的原则。识别它们要靠 它们的本质上的区别。 • 速率是控制变量，当抑制作用不存在时，速率就不存在( 为零)了。水平变量(积累变量)是流的积累，是过去速率 控制作用结果的积累，是连续存在的，即使没有现时速 率的控制作用，速率为零，也能观测到它们。例如，一 个人虽然停止了生长，但他的高度、重量等水平变量并 不会消失。—个工厂的各项活动虽然停止了，但工厂里 工人、设备、资金等水平变量仍然存在，仍可观测到。
L INC . K INC .J DT * ( INF .JK SYMP.JK ) N INC TSS * INF R SMYP. KL INC . K / TSS TSS为潜伏期 可用下列方程替代： R SYMP. KL DELAY 1( INF .JK , TSS )
•DELAY1的 结构：输入 为INF感染率 ，输出为 SYMP症候 显现率
• 一个常用的速率方程是一阶指数延迟中 的流出速率，它等于水平变量除以平均 延迟。
LEV . K OUT . KL DEL
• 式中，OUT为流出速率（出流率）； LEV为存贮于延迟中的水平（积累）； DEL为延迟常数，它代表经过延迟所需要 的平均时间。
4．延迟(Delay)
• 在复杂的社会经济系统中存在广泛的延迟(Delay) 现象．即系统中的物流或信息流从它们的输入到 它们的输出响应，总不可避免地有一段时间的延 迟，这段时间就是延迟时间或延迟。 • 例如，从订货到收货，固定资产的投资到发挥经 济效益，从下种到庄稼收获，从投入教育经费到 人才的产出，从污染物散入环境到危害人类健康 ，等等部存在看一段或长或短的延迟时间，这些 是物流的延迟。 • 同样信息流也存在延迟。如，商品供求关系的变 化要经过一段时间才会引起商品价格的变动；产 品质量影响工厂的声誉也需要一段时间。
Lev. K Lev.J DT * ( IN .JK OUT.JK )
式中，lev为存贮于延迟中的水平（单位量）；DT是方程逐 次计算的求解区间；IN和OUT分别为入流率和出流率。
一个简单的疾病蔓延模型
•三个水平变量：未患病者；患病者；康复者； •为分析需要，增加新的水平变量：INC处于潜伏期者，其输 入速率为感染率INF，输出速率为疾病显现率SYMP。
第7章 系统动力学 (System Dynamics)
• 系统动力学原理 • 建模基本步骤 • VensimPLE软件
参考文献
• 王其藩.系统动力学.北京:清华大学出版社， 1984,1988,1994. • 都兴富.系统动力学原理及其应用.成都:西南财经大学出 版社，1989. • 徐建华.现代地理学中的数学方法.北京:中国高等教育出 版社,2002. • Craig W. Kirkwood.System Dynamics Methods:A Quick Introduction. • Vensim （Ventana® Simulation Environment） User’s Guide Version 5
• 因此，一个水平变量的新值等于它前一时刻的值加 上或者减去JK时间间隔所产生的变化值。 • 这就是系统动力学的水平方程（Level方程）。 • 在一个水平方程中，可以有一个或者几个流入速率 ，也可以同时有一个或者几个流出速率。 • 水平方程实际是积分运算，用微积分符号可将上式 写成：
L L0 ( R1 R2 )dt
R1 R2 库存L
怎样计算水平变量？
dL L(t dt) L(t ) Lim R1 R2 dt dt dt 0
L(t dt) L(t ) dt( R1 R2 )
用DT近似表示dt ，上式写成
L(t DT ) L(t ) DT ( R1 R2 )
• 延迟实际上是将系统中流入速率变为流出速率的 — 种转换过程。一个动态的流体系统通常是同一瞬间 流入速度不等于流出速率，这就是说从这一输入到 输出的过程中会有一种延迟传送的流量：当流入速 率大于流出速率时，延迟传送的流量就增多；当流 出速率大于流入速率时，延迟传送的流量就减少。 • 因此，延迟是一种特殊的水平变量，特殊的积累， 延迟是一个“积累容器”、但它又不同于一般的水 平变量。因为延迟的流出速率只受延迟时间的影响 ，与外界因素无关；而一般水平变量的流出速率除 受本身的特性决定以外，还受外界因素的影响。
一阶差分方程，符号DT表示时间的差分，即两 次计算之间时间间隔的长度。
用K表示现在时刻，即现时的DT中正在计算的时点； J表示前一个DT中已计算过的时间点； L表示下一个DT中下次计算的时间点； JK表示从J到K的时间间隔； KL表示从K到L的时间间隔。 DT
J JK K
DT
wenku.baidu.comKL L
于是继续写成：
Inventory production
POPULATION BIRTH DEATH
sales
inventory coverag
速率是流入或者流出水平变量（容器） 的流的瞬时速度，用微分形式可以表示 为： 速率方程的一般形式是：
R. KL f (水平变量或者常量 )
这个方程的右边表示与水平变量和常量 有关的任何一种函数或者一种关系，它 描述了控制速率变量的决策（政策）。
• 反馈（feedback）是 控制系统的一种方法 。它是把系统输出去 的一部分信息（给定 信息）作用于被控对 象后产生的结果（真 实信息）再返回给输 入，并对系统的再输 出产生影响的过程。 系统所具有的这种功 能和过程称之为系统 反馈。系统动力学认 为几乎所有人工的系 统都是反馈系统 。
• 动 态 ( Dynamic ) 即 系 统动力学所包含的量 是随时间变化的，能 以时间为坐标的图形 表示。譬如，人口的 增长，就业人数的增 减，城镇与农村的生 活质量和物价的涨落 等都是动态问题。学 习定义动态问题的技 巧是学习系统动力学 的第一步。
• 系统动力学模型(System Dynamics)被誉为实 际系统的实验室，是美国麻省理工学院(MIT) 福瑞斯特Forrester (Jay W .Forrester)教授于 1956年首创的一种运用结构、功能、历史相 结合的方法，借助于计算机仿真而定量地研 究非线性（Non-linearity）、多重反馈（ Information feedback）、复杂时变（Dynamic complexity）系统的系统分析技术。可用于研 究处理社会﹑经济﹑生态和生物等复杂系统 问题，它可在宏观层次和微观层次上对复杂 、多层次、多部门、非线性的大规模系统进 行综合研究。
0
t
3．速率(Rate)变量
• 速率(流速) (Rate)仍是系统中的流的 流动速度，即系统中水平变量变化的强 度。水平变量是系统活动结果的状态变 量，而速率则是对水平变量变化过程及 其控制的描述。 • 速率的基本形式有两种，流入速率和流 出速率。
• 从速率的控制作用上说，速率变量，又 可叫“控制变量”，“决策函数”、“ 政策变量”。 • 从流体力学的角度看，它是控制水流的 “阀门” （Valve） 。因此，在流图上 ，“速率”用阀门符号表示。
L.K L.J ( DT ) * ( R1.JK R2 .JK )
• 式中L为水平变量； L.K为对现时刻K计算出的水平变量的新值；L.J 为前时刻J的水平变量的值； DT是在时刻J和时刻K之间求解时间间隔的长度； R1.JK在JK时间间隔（区间）中流入水平变量L的 流速； R2.JK是在JK时间间隔（区间）中流出水平变量L 的流速。 • 式中，水平变量L的量纲是单位，L.K、L.J的量 纲是单位，DT的量纲是时间度量单位， R1.JK 、R2.JK的量纲是单位/时间度量单位。
2）一阶指数延迟
•这里的“阶”是指流的通道中延迟水 平（“容器”）的个数。“一阶”就是 一个延迟水平。 • “指数延迟”是说这种延迟具有指数 （exponential ）性质。
一阶指数延迟的流出速率等于水平变量除以平均延迟： LEV . K OUT . KL DEL 式中， OUT 为流出速率（出流率）； LEV 为存贮于延迟中的 水平（积累）；DEL为延迟常数，它代表经过延迟所需要的 平均时间。 存贮于延迟中的水平Lev是作为入流和出流之差而积累起来 的：