高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解

高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解

一、选择题

1．(2010·枣庄模考)下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫

π2，π上为减函数的是( )

A ．y ＝sin2x ＋cos2x

B ．y ＝|sin x |

C ．y ＝cos 2x

D ．y ＝tan x

[答案] B

[解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C.

2．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )

A ．98π B.197

2π C.1992π

D ．100π

[答案] B

[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2π

ω≤1，∴

ω≥197

2

π，故选B.

(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 [答案] C

[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π

2x 的周期T ＝4， ∴t ≥5

4

T ＝5，故选C.

3．(2010·深圳中学)函数y ＝lgsin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递减区间是( ) A ．[k π－π6，k π＋π

3](k ∈Z )

B ．[k π＋π3，k π＋5π

6](k ∈Z )

C ．[k π－π6，k π＋π

12

](k ∈Z )

D ．[k π＋7π12，k π＋5π

6](k ∈Z )

[答案] C

[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x >0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6<0， ∴2k π－π<2x －π

6<2k π，k ∈Z ，

∴k π－5π12

12

，k ∈Z ，

又在(k π－5π12，k π－π

6]上u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单减， 在[k π－π6，k π＋π

12)上，u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单增， ∴函数y ＝lg sin ⎝⎛⎭⎫π

6－2x 的单调减区间为 [k π－π6，k π＋π

12

)，k ∈Z .

4．(文)将函数y ＝sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )

A.7π6

B.π

2 C.π

6

D.π3

[答案] C

[解析] ∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π

3，经平移后函数图象所对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π3，且其图象关于y 轴对称，∴－a －π3＝π

2

＋k π(k ∈Z )， ∴a min ＝π

6

.故选C.

[点评] 考虑到偶函数的图象关于y 轴对称，又y ＝cos x 为偶函数，故可直接化y ＝sin x －3cos x ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故只须向右平移π

6

个单位即可． (理)(2010·广东六校)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π

3

是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )

A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6

B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π

6＋2 [答案] D

[解析] 由函数最小正周期是π

2

，排除B 选项；由最大值为4，最小值为0可排除A 选

项；

由x ＝π

3

为其一条对称轴可知选D.

5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π

2)的图象与x 轴的交点中，

相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )

A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3

D ．f (x )＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3 [答案] A

[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π

3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π

2，

即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2π

π

＝2.

由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π

6

， 故f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6. 6．(文)(2010·福建三明一中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则( )

A ．ω＝π2，φ＝π

4

B ．ω＝π3，φ＝π

6

C ．ω＝π4，φ＝π

4

D ．ω＝π4，φ＝5π

4

[答案] C

[解析] 由图可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π

4，排除A 、

B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π

4

，故选C.

(理)(2010·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…