保守力的功功能原理能量守恒定律.ppt

2）功能原理与动能定理并无本质差别 。
3）推论 当 A外力 A非保守内力 0 时
E Ek Ep 常数
机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以 外，其它外力及和非保守内力都不作功，那 么系统的动能、势能可以转化，但系统的总 机械能保持不变。
E2 E1 ( A外力 A非保守内力 0)
mg
例2:证明：理想流体（不可压缩、没有沾滞性）
的伯努力方程。即稳定的流体在某点的压强 P、
流速 v 和高度h
p1s1a1 b1
之间的关系为：
p
g
v2 2g
h
恒量
v1
（是流体密度） 证明：
h1
a2
h2vp22
b2
s2
取一段流体 a1a2
设经t时间到达
b1b2
流体前后的压力
p1s1 p2s2
p1s1a1 b1
Mu1 (M M )u2 (2)
优秀课件，精彩无限！ 23
系统: AB+弹簧+地球 碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2；
1 2
(M
M
)u
2 2
(M
M )g( x2
x1 )
1 2
kx12
1 2
kx22
(3)
因有
kx1 = Mg
(4)
解上述四式可得
x2
2 Mg k
( Mg )2 Mgh
k
k
最大压缩量x2max
v1
V1
h1
若t很短，则在 a1b1.a2b2
段处的压强、截面积、
流速都分别相等
a2
p1.v1.s1; p2.v2.s2 取这段流体与地球
r
h2vp22
V2
b2
s2
为研究对象，则外力 的功为：
相等
A p1s1v1t p2s2v2t
A ( p1 p2 )V
a p1s1 1 bv11
V1
a2
远
r2 r1
r1 r2
地
点
B
（2）
GMm
r2 r1 r1 r2
r1
r2
上图中，
（3） GMm
r2 r1 r1
卫星在A，B两点处 的势能差为
（4）
（请点击你要选择的项目）
优秀课件，精彩无限！
GMm
r2 r1 r2
10
近 卫星
地
m 质量
点
A
地球
M O 质量
选项4链接答案
（1） GMm
远
r2 r1
r1 r2
而保守内力的功等于系统势能增量的负值。即：
A保守内力 Ep2 Ep1
而非保守内力没有与之 相应的势能改变。
故有：
F1
F21
m2 F2
F12
F23
F32
m1 F13
F31 m3
F3
A外力 A非保内力 [(Ep2 Ep1)] Ek 2 Ek1
A外力 A非保守内力 A保守内力 Ek 2 Ek1
选项2链接答案
（1） GMm
远
r2 r1
r1 r2
地
点
B
（2）
GMm
r2 r1 r1 r2
r1
r2
上图中，
（3） GMm
r2 r1 r1
卫星在A，B两点处 的势能差为
（4）
（请点击你要选择的项目）
优秀课件，精彩无限！
GMm
r2 r1 r2
9
近 卫星
地
m 质量
点
A
地球
M O 质量
选项3链接答案
（1） GMm
，试计算链条刚uur巧全部离开桌面时的速率。
x
N 已知：l, a 求：v
f
解：1）利用动能定理
yg a 以链条为研究对象
v 求A重W 力 的Af功：12 mv2 0
Y
dAW ygdy ( m / l)
l
AW
gydy
a
uur
x
f
N
mg (l 2 a2 )
mg a
2l
求摩擦力的功：
( m / l)
优秀课件，精彩无限！
26 首页 上页 下页退出
四、碰撞
v1 v2
m1
m1
m1
优秀课件，精彩无限！
27
碰撞系统的动量
m1 v1 m2v2 m1 u1 m2u2
对于
，因孤立系统不考虑外力，动量守恒。
其内力为弹性力（保守力）。对心正碰，碰后系统弹性势
能完全恢复到无形变的初优态秀课，件，系精统彩无机限！械能守恒，且动能守恒28 。
l
例 :如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自
由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的
倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞
后弹簧的最大压缩量。
A
解： A自由落体：
0
h
A到B时速度为u1;
x1
u1 2gh (1)
x2
系统: A与B碰撞问题
内力>>重力，竖直方向动量守恒。 A和B碰后速度为u2;
势能概念
两
个
保
位
守
置
力
函
的
数
功
之
差
优秀课件，精彩无限！
1
势能概念
保 守 力 的 功
初态势能
末态势能
位 置 函 数
代表 某种 能量
优秀课件，精彩无限！
势能
2
保守力做正功，物体系的势能减少； 保守力做负功，物体系的势能增加。 定义仅给出了物体系的势能差
说明：1）真正有意义的是势能差
2）也应给出势能本身
解 由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与 小车具有相同的速度，这时物体相对于小车为 静止而不会跌下.在这一过程中，以物体和小 球为一系统，水平方向动量守恒，有
Mv (m M )V
而m相对于M的位移为l，如图2.28所示，则一对摩擦力的功为
mgl 1 (m M )V 2 1 Mv2
2
2
联立以上两式即可解得车顶的最小长度为
式中 E1, E2 分别为作功前后系统的机械能
A外力 A非保内力 E2 E1
式中 E1, E2 分别为作功前后系统的机械能
上式称为功能原理:
功能原理:当系统从状态‘1’变化到状态‘2’时, 它的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之 总和.
说明:1）功能原理说明只有外力及非保守内力 才能改系统的机械能.
问题： 怎样给出势能？
优秀课件，精彩无限！
3
规定某一位置处势能为零，以便给出其它点的势 能值。该位置称为参考点。
例如规定b为参考点，则
则a点的势能
定义：
实际中，选择最方优秀便课件的，路精彩径无限！
？
4
势能性质
优秀课件，精彩无限！
5
选地面 为势能零点
势能曲线
选 为势能零点
选无形变处 为势能零点
：离地面高度
地
m 质量
点
A
地球
M O 质量
选项1链接答案
（1） GMm
远
r2 r1
r1 r2
地
点
B
（2）
GMm
r2 r1 r1 r2
r1
r2
上图中，
（3） GMm
r2 r1 r1
卫星在A，B两点处 的势能差为
（4）
（请点击你要选择的项目）
优秀课件，精彩无限！
GMm
r2 r1 r2
8
近 卫星
地
m 质量
点
A
地球
M O 质量
Af
0
f
dxiˆ
la
v
求重力的功： Y
la
0 fdx
dAW ygdy
l
AW
gydy
a
1 g(l 2 a2 )
2
la
0 xgdx
g (l a)2
mg
2
(l
a)2
2l
x
f
N
mg
a
AW
mg 2l
(l 2
a2)
Af
mg (l a)2
2l
代入动能定理：
( m / l)
Y
v
AW Af
优秀课件，精彩无限！
6
近 卫星
地
m 质量
点
A
地球
M O 质量
随堂小议
（1） GMm
远
r2 r1 r1 r2
地
点
B
（2）
GMm
r2 r1 r1 r2
r1
r2
上图中，
（3） GMm
r2 r1 r1
卫星在A，B两点处 的势能差为
（4）
（请点击你要选择的项目）
优秀课件，精彩无限！
GMm
r2 r1 r2
7
近 卫星
(1 2
v12
gh1 )]
a p1s1 1 bv11
V1
A ( p1 p2 )V
由功能原理： A E
a2 ( p1 p2 )V
h1
整理：
p1
1 2
V2
h2vp22
b2
s2
V
[(
1 2
v22
v12 gh1 p2
gh2
)
(
1 2
v12
1 2
v22
gh1)]
gh2
两边除以 g p v2 h 恒量 （证毕）
地
点
B
（2）
GMm
r2 r1 r1 r2
r1
r2
上图中，
（3） GMm
r2 r1 r1
卫星在A，B两点处 的势能差为
（4）
（请点击你要选择的项目）
优秀课件，精彩无限！
GMm
r2 r1 r2
11
五、功能原理
前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究
机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的
2
a 2
)
mg
2l
(l
a)2
E2
E1
x
N
f
l
( m) mg a
l
Af E2 E1 Y v
Af
mg (l a)2
2l
E1
g(l a)l ga(l
a
)
E2
mg
l 2
1 2
2
mv2
mg (l a)2 (mg l 1 mv2 )
2l
2
[g(l
2
a)l
ga(l
a
)]
2
v g [(l 2a2 ) (l a)2 ]
l
Mv2
2 g优(M秀课件，m精)彩无限！
25 首页 上页 下页退出
例2.12 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为m的物块， 物块与斜面的摩擦系数为μ，弹簧的劲度系数为k，斜面倾角为θ，今将物 块由弹簧的自然长度拉伸l后由静止释放，物块第一次静止在什么位置上？ (如图2.25)
解 以弹簧、物体、地球为系统，取弹簧自然伸长处为原点，沿斜面向 下为x轴正向，且以原点为弹性势能和重力势能零点，则由功能原理式 (2.46)，在物块向上滑至x处时，有
g 2g
A保守内力 EP2 EP1
A外力 A非保守内力 （Ep2 Ep1） Ek2 Ek1
A外力 A非保守内力 （Ek 2 Ek1）（Ep2 -Ep1）
“同状态的量”合并：
A外力＋A非保守内力＝（Ek 2 EP2）（Ek1 EP1）
令 Ek Ep E 称为系统的机械能
A外力 A非保守内力 E2 E1 L L
h1
V2
h2vp22
b2
s2
因此能量的变化
A ( p1 p2 )V
因为是稳定流体，各点 的流速不变，因此能量
的变化只是 a1b1 段流到
a2b2段而引起的
变化。
的故质而量可V看1 成V相2 内等流。体
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1 )
V [( 1
2
v22
gh2 )
1 2
mv2
1 2
kx
2
mgx
sin
1 2
kl
2
mgl
sin
mg
cΒιβλιοθήκη Baidus
l
x
物块静止位置与v＝0对应，故有
1 kx2 mgx(sin cos ) mgl(sin cos ) 1 kl2 0
2
2
解此二次方程，得
x 2mg(sin cos ) l k
另一根x＝l，即初始位置，舍去.
变形。
设一系统在外力作用下 从状态“1”变化到状态 “其2”动能从Ek1变化到Ek2
依动能定理
F1
F21
m2 F2
F12
F23
F32
m1 F13
F31 m3
F3
A外力 A非保守内力 A保守内力 Ek 2 Ek1
而保守内力的功等于系统势能增量的负值。即：
A保守内力 EP2 EP1
1 mv2 0 2
mg (l 2 a2 ) mg (l a)2 1 mv2
2l
2l
2
v g [(l 2a2 ) (l a)2 ]
l
x
(l a)
l
f mg
m/l
a
由功能 原理：
Af E2 E1
Af
mg (l a)2
2l
以地面为势能零点
v
E1
E2
Y
(l
mg
l
2
a)gl ag(l 1 mv2
x2
2 Mg k
( Mg )2 Mgh
k
k
优秀课件，精彩无限！ 24
例2.14 如图2.28所示，一质量为M的平顶小车，在光滑的水平轨道上以 速度v作直线运动.今在车顶前缘放上一质量为m的物体，物体相对于地面 的初速度为零.设物体与车顶之间的摩擦系数为μ，为使物体不致从车顶 上跌下去，问车顶的长度l最短应为多少？
注意：1）机械能守恒的条件：
A外力 A非保守内力 0
2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒 定律的特例。
能量守恒定律：能量不能消灭，只能转化， 只能从一种形式向另一种形式转化。
例1:一条均匀链条，质量为m，总长 lm成直线
状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为
。现已知链条下垂长度为a时，链条开始下滑