二次函数的应用教案试讲

二次函数的应用

一、教学目标

1、知识与技能：

通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。

2、过程与方法：

通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。

3、情感态度价值观：

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

二、重点、难点

教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题

教学难点：1、正确构建数学模型

2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

三、教学方法与手段的选择

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，因而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

四、教学流程

（一）复习引入

（1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：

（二）讲解新课

1、在情境中发现问题

师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例？

生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。

师：好，看这样一个问题你能否解决：

活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成矩形养兔场。

回答下面的问题：

1．设矩形一边的长为x m，试用x表示矩形的另一边的长。

2．设矩形的总面积为y ，请写出用x表示y的函数表达式。

3．你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？4．你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗？

学生思考，并小组讨论。

解：已知周长为40m，一边长为x m，看图知，另一边长为（) m。

由面积公式得y=

化简得y=

代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=( )，y=( ) 。y的最大值为( ) 。画函数图像：

通过图像，我们知道y的最大值为( )。

师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢？

生：两种；一种是画函数图像，观察最高（低）点，可以得到函数的最值；另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。

师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方

法：

（1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。

（2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值。

师：现在利用我们前面所学的知识，解决实际问题。

活动2：如右上图，已知AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG，都是正方形，设BC=x，

（1）AC=______;

（2）设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_____.

（3）总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少？

（4）总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置？

教师讲解：二次函数进行配方为y=2（x﹣1）2+2，当a>0时，抛物线开口向上，对于本题来说，自变量x的最值范围受实际条件的制约，应为0≤x≤2。此时y 相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真，同时还要考虑到x 的取值范围。

解答过程（板书）

解：（1）当BC=x时，AC=2-x（0≤x≤2）。

（2）S= AC2+ BC2=X2+（2-x)2=2（x﹣1）2+2，

画出函数S= 2（x﹣1）2+2（0≤x≤2）的图像，如图2。

图2

（3）由图像可知：当x=1时，y有最小值；当x=0或x=2时，。

（4）当x=1时，C点恰好在AB的中点上。

当x=0时，C点恰好在B处。

当x=2时，C点恰好在A处。

[教法]：在利用函数求极值问题，一定要考虑本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取得范围内画。

练习：

如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP，并且交DC与点Q。

（1）Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗？为什么？

（2）当点P在什么位置时，Rt△ADQ的面积最小？最小面积是多少？

图3

（1）BP=x,PC=BC-BP=4-x,

∠APB+∠CPQ=90度,

∠CQP+∠CPQ=90度,

所以∠APB=∠CQP,

∠BAP+∠APB=90度,

∠CQP+∠CPQ=90度,

所以∠BAP=∠CPQ,

∠ABP=∠PCQ=90度,

故直角△ABP与直角△PCQ相似(AAA),

（2）BP:CQ=AB:PC

CQ=BP×PC/AB=x(4-x)/4,

DQ=DC-CQ=4-x(4-x)/4,

直角△ADQ的面积y=DQ×AD/2=[4-x(4-x)/4]4/2,

化简得:y=x²/2-2x+8

小结：利用二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，则可求某些实际问题中

的极值，求极值时可把配方为

(

)的形式。

板书设计：

（三）、师生小结

1、通过本节课的探讨，在实际问题中求解最值，你有怎样的收获？

2、体会数学的价值

（四）练习检测：

1、在22.1节的问题2中，你能用二次函数的性质求出每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多吗？

2、变式二：如果两面靠墙围成一个矩形,其它

条件不变如何围才能使矩形的面积最大？

（五）课外作业