三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定

积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：

Z

2

如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F (x, y)d；「，就是“投

Z i D

影法”也即“先一后二”。步骤为：找0及在xoy面投影域D。多D

上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定

积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完

Z

2

成“后二”这一步。III f (x, y, z)dv 二[f (x, y, z)dz]dc

Q D z i

C2

如果先做一重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面

D z q

法”也即“先二后一”。步骤为：确定。位于平面z = °与z=c2之间，

即z • [C1,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。区域D z的边界曲面都是z的函数。计算区域D z上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成

D

z

C

2

了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分.F(z)dz，完成“后

C i

C2

一”这一步。H I f(x,y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dz

Q C i D z

当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵

容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平

面)

(1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)

(2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2・y2),fd)时,

x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用

柱面坐标计算)

(3)门是球体或球顶锥体，

且被积函数形如f(x2• y2z2)时，可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域「及被积函数

f(x,y,z)

的情况选取。

一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；

截面法(先二后一)：D z是门在z处的截面，其边界曲线方程易写

错，故较难一些。

特殊地，对D z积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S D Z。因而门

中只要z・[a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当门为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲

面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面

坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1:计算三重积分I二zdxdydz，其中门为平面x y 1与三个坐标面x =0, y =0,z =0围成的闭区域。

解1 “投影法” 1•画出门及在xoy面投影域D. 2. “穿线” O — ^l-x-y

*

x+y+z=l

0 _ x _1

: 0 _ y _ 1 - x

0 _ z_1-x-y

3•计

算 1 1-x 1 1 1 1

I in zdxdydz= j dx dy zdz = j dx -(1 - x - y)2

dy 二一 [(1 - x)2

y - (1 - x)y 2

-

y 3

]0»dx

0 0 0 0 0

2 2

3

1 1 _x 1 _x -y 3_, 1_x

60 1

3

1 3

2 3〔41

(1 -x) dx [x x x x ]0 6 2 4

1 24

解2 “截面法” 1•画出0。2. z w [0,1]过点z 作垂直于z 轴的平面截0得D z

T .

D z 是两直角边为x,y 的直角三角形，x=1- z, y=1-z

3•计算

1 1 1

I = M zdxdydz = J [ JJzdxdy]dz = Jz[ JJdxdy]dz =

J zS D z

dz

Q 0 D z 0 D z 0

二.z(1xy)dz 「z1(1-z)(1-z)dzW(z-2z 2

z 3

)dz 退 0 2

2 2

0 24

补例2:计算H I x 2

y 2

dv ，其中门是x 2 y 2 = z 2

和z=1围成的闭区域

解1 “投影法”

』z = x 2

+ 2y 2

1.画出。及在xoy 面投影域D.由、z = 1 消去z .

得 x 2

• y 2

= 1 即 D : x 2

• y 2

空

1

2. “穿线” ■, x 2

• y 2

乞 z 乞

1,

—1 Ex 兰1

〔「 —：..：1「X 2

乞 y 乞 1「X 2

—2 2' .

x y z _ 1

注：可用柱坐标计算 解2 “截面法”

1.画出1。

2.

[0,1]过点z 作垂直于z 轴的平面截「得D z : x 2

y 2

乞z 2

g 兰日兰2兀

D z 丿 0兰r 兰z

‘0兰日乞2兀

用柱坐标计算 0「0兰r 兰z

、0兰z 兰1

3•计算

_

1

2

兀 z

1

2 2 I

3 z

y dxdy]dz 二[r d 门dz 二 2二[-r ]0dz = 0 0 0 0 3

补例3:化三重积分I = f (x,y,z)dxdydz 为三次积分，其中门：

Q

z =x 2

■ 2y 2

及z =2-x 2

所围成的闭区域。

解: 1.画出门及在xoy 面上的投影域D. z =X 2

2y 2

Z=2-x 2

消去 z ,得 x' + y 2"

即 D : x 2 y^1

in .x 2 y 2dv =

Q

1 1-x

1

___________

dx dy . x 2

y 2

dz =

二 _1」2

x 2 y 2

1

dx

A

y 2

(—x 2

—y 2

)dy J

'll x 2 y 2dv =

Q

--z 3

dz=- 3 0

I 2

Z

1 _____________

[•• X 2

— 0 D z