107504-概率统计随机过程课件-第三章(第一,二节)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章二维随机变量
引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.
例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y 的取值都是随着试验结果而变化.因此X和Y都是随机变量, 弹着点A 的位置是)
X.
,
(Y
又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量Z
,才能确
X,
Y
定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.
定义:设试验E 的样本空间为
}{e S =,而)(e X X i i =是定义在}
{e S =上的随机变量,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,把n 个随
机变量
n X X X ,,,21⋅⋅⋅构成的有序随机变量组
),,,(21n X X X ⋅⋅⋅称为n 维随机变量(或n
维随机向量);
对任意实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，函数
),,,(21n
x x x F ⋅⋅⋅
},,,{2211n
n x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤= 称为n 维随机变量)
,,,(21n X X X ⋅⋅⋅的分布函数或称为n 个随机变量
n
X X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数.
第一节 随机向量与联合分布
一. 定义和基本性质
定义1 设试验E 的样本空间为
}{e S =,而)(),(e Y Y e X X ==是定义在
}{e S =上的两个随机变量.称由这两
个随机变量组成的向量),(Y X 为二维
随机变量或二维随机向量.
例如 掷两颗骰子,观察出现的
点数.设X 为第一颗骰子出现的点
数,
Y 为第二颗骰子出现的点数,
Y X ,为定义在
}6,,2,1,|),{(⋅⋅⋅==j i j i S
上的两个随机变量,
),(Y X 为二维随机变量,它描述了掷
两颗骰子出现的点数情况.
对任意实数y x ,,随机事件
})(,)(|{},{y e Y x e X S e y Y x X ≤≤∈=≤≤有概率.
定义 2 设),(Y X 为二维随机
变量, 对任意实数y x ,,二元函数
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
})(,)(|{y e Y x e X S e P ≤≤∈=,
称为二维随机变量),(Y X 的分布函
数,
或称为随机变量X 和Y 的联合分布
函数.
记},|),{(y v x u v u D ≤≤=，
则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
}),{(D Y X P ∈=
分布函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=的
性质：),(y x F 的定义域+∞<<∞-x ，
+∞<<∞-y ；
（1）1),(0≤≤y x F ，且
},{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F x F y y ≤≤==-∞-∞
→-∞→ 0)(==φP ，
0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞
→-∞→y Y x X P y x F y F x x 0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞-∞
→-∞→-∞→-∞→y Y x X P y x F F y x y x },{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F F y x y x ≤≤==+∞+∞+∞
→+∞→+∞→+∞→ 1)(==S P ；
（2）),(y x F 对x 或对y 单调不减，即 ),(),(2121y x F y x F x x ≤⇒<，
（由},{},{21y Y x X y Y x X ≤≤⊂≤≤及
概率的单调性），
),(),(2
121y x F y x F y y ≤⇒<；
（3）),(y x F 对x 或对y 右连续，
即有
),(),(lim ),(0y x F y x x F y x F x =∆+=+
→∆+
，
),(),(lim ),(0y x F y y x F y x F y =∆+=+
→∆+
； （4）对任意实数2
121,y y x x <<有
},{02
121y Y y x X x P ≤<≤<≤ ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=， 事实上
},{2
121y Y y x X x ≤<≤<
},{2
2y Y x X ≤≤= },({21y Y x X ≤≤-}),{1
21y Y x X x ≤≤<+，
},{2
121y Y y x X x P ≤<≤< },{2
2y Y x X P ≤≤= },{(2
1y Y x X P ≤≤-}),{1
21y Y x X x P ≤≤<+ )),(),((),(),(11122122y x F y x F y x F y x F ---= ),(),(),(),(1
2211122y x F y x F y x F y x F --+=.