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第2讲 参数方程

【考情分析】

考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．

基础梳理

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝f (t )，y ＝f (t )，

并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参

数)．

设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →

的数量．

(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ，

y ＝r sin θ(θ为参数)．

(3)圆锥曲线的参数方程

椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．

双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．

抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2pt 2，y ＝2pt

(t 为参数)．

双基自测

1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1－t ，

y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别

是( )． A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆

D ．圆、直线

解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x

ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．

又∵⎩⎨⎧

x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．

答案 D

2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1－2t ，

y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.

解析 参数方程⎩⎨⎧

x ＝1－2t ，

y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线

4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－4k ＝－1，解得k ＝－6.

答案 －6

3．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝5cos θ，

y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．

解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2

9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0)

4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2t ，

y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极

坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．

解析 将直线l 的参数方程：⎩⎨⎧

x ＝2t ，

y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝

22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－1

1＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交．

答案 相交

5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝5cos θ，

y ＝sin θ

(0≤θ＜π)和

⎩⎨⎧

x ＝54t 2，

y ＝t

(t ∈R )，它们的交点坐标为________．

解析 由⎩⎨⎧

x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝54t 2，y ＝t

(t ∈R )得，

x ＝5

4y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝4

5或y 2＝－4(舍去)．

则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，

255. 答案 ⎝

⎛⎭⎪⎫

1，

255

考向一 参数方程与普通方程的互化

【例1】►把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋cos θ，

y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1＋1

2t ，y ＝5＋32t .

[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .

解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧

cos θ＝x －3，

sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,

可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋3

2t 中，

得y ＝5＋3

2(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程．

参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参

数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．

【训练1】 (2010·陕西)参数方程⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝cos α，

y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为

________．

解析 由⎩⎨⎧ x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得 ⎩⎨⎧

x ＝cos α， ①

y －1＝sin α， ②

①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1

考向二 直线与圆的参数方程的应用

【例2】►已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t cos α，

y ＝3＋t sin α(其

中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．