弹塑性力学-09张量概念及其基本运算

aii = a + a + a
2 2 11 2 22
2
2 33
2
(aii ) = (a11 + a22 + a33 )
关于自由标号： ★ 关于自由标号：
在同一方程式中，各张量的自由标号相同， ◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同， 即同阶且标号字母相同。 即同阶且标号字母相同。 自由标号的数量确定了张量的阶次。 ◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
4.张量的基本运算 4.张量的基本运算
张量的加减： A、张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵， 张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如： 张量矩阵
a11 a12 a13 aij = a21 a22 a23 a31 a32 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减) 凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 相同的诸分量之代数和。 即：
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 张量分析是研究固体力学、 质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量 物理恒量。 ◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。 在一定单位制下， ◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量 例如温度、质量、功等。 标量。 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下， ◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量 例如速度、加速度等。 矢量。 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。 绝对标量只需一个量就可确定， ◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。 三个分量来确定。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。 求导数。 对张量的坐标参数求导数时， ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ 的方式来表示。 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 A′ j ， 的方式来表示 i 就表示对一阶张量 A 的每一个分量对坐标参数 i xj求导。 求导。
的作用与计算示例如下： δij 的作用与计算示例如下：
(1) δii = δ11 +δ22 +δ33 = 3 (2) (3) (4) (5) (6)
2 2 2 δijδij = (δ11) + (δ22) + (δ33 ) = 3 δijδ jk = δi1δ1k +δi 2δ2k +δi 3δ3k = δik aijδij = a11δ11 + a22δ22 + a33δ33 = aii aiδij = a1δ1 j + a2δ2 j + a3δ3 j = aj (即a1,或a2 ,或a3 ) σijl j − λli = σijl j − λδijl j = (σij − λδij )l j
★
关于Kronecker delta（ δ ）符号： 符号： 关于Kronecker delta（
ij
δij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号 是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为： 柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为： ），亦称单位张量
1 0 0 1, 当i = j时； δij = 或： δij = 0 1 0 0 , 当i ≠ j时； 0 0 1
若我们以r表示维度 表示维度， 表示幂次， ◆ 若我们以 表示维度，以n表示幂次，则关于三维 表示幂次 空间， 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成： 示成： M
= 3n
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物 为这些物理量的阶次，
理量为张量。 理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 时 零阶张量， ，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量； 时 一阶张量， ，矢量； 、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。 当取 时 阶张量， 阶张量
[a ]± [b ] = [c ]
ij ij ij
其中各分量（元素） 其中各分量（元素）为：
aij ± bij = cij
B、张量的乘积
对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 两个任意阶张量的乘法定义为： ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如： 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
∂φ ∂φ ∂φ φ'i = , , = ∂xi ∂x1 ∂x2
∂φ ∂x3
∂ui ∂u1 ∂u2 ∂u3 ui 'i = = + + ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
2.下标记号法 2.下标记号法
在张量的讨论中，都采用下标字母符号， ◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。 示和区别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号。 ◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。 量确定张量的阶次。 重复出现， ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。 再求和。
是一个自由下标， ◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
作用的结果， 算子 ∂i作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如： 例如：
i =1 j=1
3
3
★
关于求和标号，即哑标有： 关于求和标号，即哑标有：
求和标号可任意变换字母表示 表示。 ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中， ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例： 优先求和。
ai bjk = cijk
张量乘法不服从交换律， ◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如： 律和结合律。例如：
(aij + bij )ck = aijck + bijck ； 或 (aijbk )cm = aij (bkcm )
张量函数的求导： C、张量函数的求导：
一个张量是坐标函数， ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数x 的函数。 是坐标参数xi的函数。
3.求和约定 3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 关于哑标号应理解为取其变程 内所有数值，然后再求和， 内所有数值 这就叫做求和约定。 例如： 这就叫做求和约定。 例如：
ai bi = ∑ai bi = a1b + a2b2 + a3b3 1
i =1
3
aijbj = ∑aijbj = ai1b1 + ai 2b2 + ai 3b3
j=1
3ห้องสมุดไป่ตู้
a = ∑a = a + a + a
2 ii j=1 2 ii 2 11 2 22
3
2 33
(σii )
2
2 = ∑σii = (σ11 +σ22 +σ33 ) i=1
3
2
σijεij = ∑∑σijεij
= σ11ε11 +σ12ε12 +σ13ε13 +σ21ε21 +σ22ε22 +σ23ε23 +σ31ε31 +σ32ε32 +σ33ε33