材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
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五章节弯曲应力
整理M 后(得x ) d M (x ) M (x ) F S (x )x d q (x )x d d 2 x 0
几何意义为：弯矩图d上Md某x(点x)处的F切S(线x)斜率等于该点处剪力的大小。
由上两式可以得到
d2M(x) q(x)
dx2
第四章 弯曲应力
常见荷载下FS，M图的一些特征
Mmax
Fab l
第四章 弯曲应力
例题5-4 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的
剪力图和弯矩图。
x
F
A
aC
b
B
FRA
l
FRB
，
解：1. 求约束力
b FRA l F
FRB
a l
F
(b) FS图
2. 列剪力方程和弯矩方程
此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意
横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪
l
l
第四章 弯曲应力
3. 作剪力图和弯矩图
FSxFl b0xa
FSxFl aaxl
(b)
MxFb x 0xa
l
M (x)Fa lx axl
l
(c)
如图b及图c。由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在
0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大，FS,max 集中荷载作用处( x=a)横截面上的弯矩值最大，Mmax
FSxM le 0xl M x Me x
l
0 x a Mx Me l x
l
a x l
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
如图可见，两支座之间
所有横截面上剪力相同，均
材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
材料力学,弯矩剪力图
三、剪力方程、弯矩方程： 剪力方程、
剪力方程 弯矩方程
q A L B
FS = FS ( x )
M = M ( x)
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 变化规律的图形则分别称为剪力 弯矩图。 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 注意 达的要分段，分段点为： 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。 力的起点、终点。
CD :
Fs ( x2 ) = FAY − 2 = 2 − 2 = 0, M ( x2 ) = FAY x2 − 2( x2 − 1) = 2(kN .m),
Fs ( x3 ) = − FBY + 1× x3 = −2 + x3 , 2 x3 x3 M ( x3 ) = FBY x3 − 1× x3 × = 2 x3 − , 2 2
Fb (0 < x < a ) FS ( x ) = l Fb M (x) = x(0 ≤ x ≤ a ) l
CB段 段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA FS
Fb l
Fb FS1 ( x ) = l Fa B FS2 ( x ) = − l FB Fb M 1 (x ) = x l Fa (l − x ) M 2 ( x) = l
Me (↑) FA = l B Me (↓) FB = l F
l Me (l − x ) (a < x ≤ l ) CB段： M ( x ) = FA x − M e = − 段 l
3、作剪力图和弯矩图 、 a A C l Me Fs l
材料力学-5
Q2=P(正剪力) ∑m2(F)= 0，-M2-P· a/2=0 M2= -Pa/2 (负弯矩)
§5–4
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
M M ( x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
Q Q( x) 的图线表示
m
P B
C
RB
16
§5–3 剪力与弯矩
求剪力和弯矩的工具——截面法
利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤 如下： （1） 计算支座反力，画出计算简图。 （2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段， 取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。 （3）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
（4）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和 弯矩均按正方向假设。
YO
x
Q(x)
M(x)
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
§5–4
Q(x)
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
P x
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
M(x)
x
–PL
③根据方程画内力图
M (x)-Q(x) x x qxdx 0 0 x q0 x 2 q0 x 2 M (x ) ( L 3x ) x dx 0 6L L M(x) qx q 1 0 ( L2 3x 2 ) 0 x 3 6L L 3 q0 x 2 (L x2 ) 6L
§5–4
a
F
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
§5–4
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
M M ( x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
Q Q( x) 的图线表示
m
P B
C
RB
16
§5–3 剪力与弯矩
求剪力和弯矩的工具——截面法
利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤 如下： （1） 计算支座反力，画出计算简图。 （2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段， 取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。 （3）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
（4）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和 弯矩均按正方向假设。
YO
x
Q(x)
M(x)
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
§5–4
Q(x)
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
P x
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
M(x)
x
–PL
③根据方程画内力图
M (x)-Q(x) x x qxdx 0 0 x q0 x 2 q0 x 2 M (x ) ( L 3x ) x dx 0 6L L M(x) qx q 1 0 ( L2 3x 2 ) 0 x 3 6L L 3 q0 x 2 (L x2 ) 6L
§5–4
a
F
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
材料力学教案 第5章 弯曲内力
第 5 章 弯曲内力
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩 图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内 力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、 弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁 超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅 由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。 梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩 图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内 力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、 弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁 超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅 由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。 梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
材料力学第五章
材料力学
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
(完整版)材料力学(柴国钟、梁利华)第5章答案
5.1 试确定图示梁的危险截面，分别计算图示三种截面上1、2、3点处的正应力。
F =20kNF =10kN1m 1m 1m1203BA 122180301120321803030301(a)(b)(c)1203218030301解：m kN M ⋅-=10max（a ）MPa y I M z 4.1590121801201010361max 1=⨯⨯⨯=-=σ；MPa y I M z3.1060121801201010362max 2=⨯⨯⨯=-=σMPa y I M z4.1590121801201010363max 3-=⨯⨯⨯-=-=σ（b ）433453600001212045212180120mm I z =⨯⨯-⨯=MPa y I M z 8.199045360000101061max 1=⨯⨯=-=σ；MPa y I M z 2.136045360000101062max 2=⨯⨯=-=σMPa y I M z 8.199045360000101063max 3-=⨯⨯-=-=σ（c ）mm y c 1153012015030165301207515030=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=()()423232490750011516530120123012075115150301215030mm I z =-⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯=MPa y I M z 1.266524907500101061max 1=⨯⨯=-=σ；MPa y I M z 1.143524907500101062max 2=⨯⨯=-=σMPa y I M z 2.4611524907500101063max 3-=⨯⨯-=-=σ5.2 如图所示，圆截面梁的外伸部分系空心圆截面，轴承A 和D 可视为铰支座。
试求该轴横截面上的最大正应力。
解：剪力图和弯矩图如下：3.361.3440.91.644.643F (kN)S xxM (kN m)m kN M B ⋅=344.1，m kN M D ⋅=9.0MPa D M W M B z B B 4.636010344.13232363max,=⨯⨯⨯===ππσ()()MPa D M W M D z D D 1.6275.0160109.03213243643max,=-⨯⨯⨯⨯=-==παπσ 故，MPa 4.63max =σ5.3 图示简支梁受均布载荷作用。
材料力学课后习题答案5章
(b)
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由
∑F
略去微量 qdx 后，得
y
=0 ，FS左 + qdx − FS右 = 0
FS右 = FS左
仍据题图 b，由
(c)
∑M
C
=0 ，M 右 − M e − qdx(
dx ) − FS左 dx − M 左 = 0 2
11l 处有 FS2 = 0 ， M 2 有极大值，其值为 24 121 2 M 2 max = M max = ql 1152
(d)解：1．建立剪力、弯矩方程
8
图 5-9d 坐标如图 5-9d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为
q( x1 ) ⋅ x1 qx 2 =− 1 2 l ql FS2 = − + qx2 4 qx 3 M1 = − 1 3l q 2 ql l M 2 = x2 − ⋅ ( + x2 ) 2 4 6 FS1 = −
2 q0l q 0 x2 FS = − + 4 l q x3 ql M = 0 x2 − 0 2 4 3l
l (0 ≤ x2 ≤ ) 2 l (0 ≤ x2 ≤ ) 2
(e) (f)
3．画剪力、弯矩图 依据式(c)和(e)可绘剪力图，如图 5-9b(2)所示；依据式(d)和(f)可绘弯矩图，如图 5-9b(3) 所示。 (c)解：1．求支反力
=0 ，FS左 + F + qdx − FS右 = 0
保留有限量，略去微量 qdx 后，得
FS右 − FS左 = F
为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内） ，可将上式改写为
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由
∑F
略去微量 qdx 后，得
y
=0 ，FS左 + qdx − FS右 = 0
FS右 = FS左
仍据题图 b，由
(c)
∑M
C
=0 ，M 右 − M e − qdx(
dx ) − FS左 dx − M 左 = 0 2
11l 处有 FS2 = 0 ， M 2 有极大值，其值为 24 121 2 M 2 max = M max = ql 1152
(d)解：1．建立剪力、弯矩方程
8
图 5-9d 坐标如图 5-9d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为
q( x1 ) ⋅ x1 qx 2 =− 1 2 l ql FS2 = − + qx2 4 qx 3 M1 = − 1 3l q 2 ql l M 2 = x2 − ⋅ ( + x2 ) 2 4 6 FS1 = −
2 q0l q 0 x2 FS = − + 4 l q x3 ql M = 0 x2 − 0 2 4 3l
l (0 ≤ x2 ≤ ) 2 l (0 ≤ x2 ≤ ) 2
(e) (f)
3．画剪力、弯矩图 依据式(c)和(e)可绘剪力图，如图 5-9b(2)所示；依据式(d)和(f)可绘弯矩图，如图 5-9b(3) 所示。 (c)解：1．求支反力
=0 ，FS左 + F + qdx − FS右 = 0
保留有限量，略去微量 qdx 后，得
FS右 − FS左 = F
为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内） ，可将上式改写为
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
第五章_弯曲内力
M E 0 FRB (l c) F1(a c) F 2(b c) M E 0
解得
FSE FRA +
M E FRA c +
FRA a
F1
F2
A
C
D
B
E
F
c
d
b
l
FSF
MF F d
FRB
B
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
Fy 0, FSF FRB 0 MF 0, MF FRBd 0
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力 并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model)
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
（2）载荷类型
集中力(concentrated force) 集中力偶(concentrated moment)
分布载荷(distributed load)
（3） 支座的类型
A
可动铰支座
A
(roller support)
A
A
FRA
固定铰支座 (pin support)
第五章 弯曲内力
(Internal forces in beams)
§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
(Relationships between load,shear force,and bending moment)
材料力学-5-弯矩图与剪力图
从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。
材料力学第五章梁的内力-剪力和弯矩
? 判断n-n截面上有哪些内力分量？
弯矩：M
剪力：Q
20
二、剪力和弯矩的正负号规定
①剪力Q:使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反 之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸 下凹的弯矩为负。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
21
[例1].已知：如图，P，a，l。
x
Q(x) RA l
(0 x a) (0 x a)
aCb
RA
Pb
Q
l
＋
RB
Pa
Q(x) RB l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
(a x l)
－
x
Pa
M
l
Pab
l
从图中不难看出： 在集中力P作用处，Q图有突变，
＋
且突变值等于P，M图有尖角 31
28
[例]
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
M x
剪力和弯矩方程
x
Qx＝qx
0 x l
Q
Qx
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
x
ql2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最
M
ql 2 / 8
大剪力和弯矩分别为
M 集中 力偶
(2)、载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
弯矩：M
剪力：Q
20
二、剪力和弯矩的正负号规定
①剪力Q:使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反 之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸 下凹的弯矩为负。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
21
[例1].已知：如图，P，a，l。
x
Q(x) RA l
(0 x a) (0 x a)
aCb
RA
Pb
Q
l
＋
RB
Pa
Q(x) RB l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
(a x l)
－
x
Pa
M
l
Pab
l
从图中不难看出： 在集中力P作用处，Q图有突变，
＋
且突变值等于P，M图有尖角 31
28
[例]
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
M x
剪力和弯矩方程
x
Qx＝qx
0 x l
Q
Qx
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
x
ql2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最
M
ql 2 / 8
大剪力和弯矩分别为
M 集中 力偶
(2)、载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
材料力学练习册5-6详细答案
第五章弯曲应力5-1 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。
试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。
已知材料的弹性模量为E。
解：5-2 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。
试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数取极大值，为此令(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令5-3 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模量E =200GPa ，a =1m 。
解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：5-4 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[]MPa 160=σ，试求许可载荷F 。
5-5 图示结构中，AB 梁和CD 梁的矩形截面宽度均为b 。
如已知AB 梁高为1h ，CD 梁高为2h 。
欲使AB 梁CD 梁的最大弯曲正应力相等，则二梁的跨度1l 和2l 之间应满足什么样的关系？若材料的许用应力为[σ]，此时许用载荷F 为多大？5-6 某吊钩横轴，受到载荷kN 130F =作用，尺寸如图所示。
已知mm 300=l ，mm 110h =，mm 160b =，mm 75d 0=，材料的[]MPa 100=σ，试校核该轴的强度。
5-7 矩形截面梁AB，以固定铰支座A及拉杆CD支承，C点可视为铰支，有关尺寸如图所示。
设拉杆及横梁的[]MPaσ，试求作用于梁B端的许可载荷F。
=1605-8 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，M e=70kN·m，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。
试校核梁的强度。
解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。
材料力学第五章
FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩 沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
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29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
应用截面法确定指定横截面上的剪力和弯矩
首先，需要用假象横截面从指定横截面处将梁 截为两部分；
然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡 条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。
33
例题：悬臂梁B、C二处分别承受集中力Fp和集 中力偶M=Fpl作用，求剪力方程及弯矩方程。
34
求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。
35
§5-4
剪力图和弯矩图的绘制
剪力、弯矩图：表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图线。 绘制剪力图和弯矩图有两种方法。第一种方法：根据剪力方程和弯矩方程，
《材料力学》
1
第五章
梁的剪力图与弯矩图
目录
2
第五章
梁的剪力图与弯矩图
概述 梁的载荷与支座 剪力和弯矩及其方程 剪力图和弯矩图的绘制 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
§5-1 §5-2 §5-3 §5-4 §5-5
0
3
§5-1
概述
起重机大梁
1
目录
4
§5-1
概述
镗刀杆
目录
5
§5-1
概述
车削工件
目录
6
§5-1
概述
火车轮轴
目录
7
8
9
铰链约束
10
铰链约束
11
12
弯曲的概念
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁
36
§5-4
剪力图和弯矩图的绘制
根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图的主要步骤： （1）根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面，从而确定要不要分段以及分 几段； （2）应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩的数值(包括正负号)；
确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横 截面，假设这一横截面的坐标为x;
然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的 横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向； 最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程， 即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，这 就是所要求的剪力方程和弯矩方程。
31
5F FAy 3
FAy
FBy 截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。 FSE
F 5F FSE - 2F 3 3
目录
28
2FFAy§5-3剪力和弯矩及其方程
一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面 位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩 沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方 程(equation of shearing force)和弯矩方程 (equation of bending moment)。
静定梁的基本形式
FAx FAy FAx FBy
简支梁
外伸梁
FAy
FBy
FAx MA FAy
悬臂梁
21
①剪力—使截开部分梁产生顺时针方向转动为正；产生逆时针方向转 动者为负。
FS
FS
FS
FS
剪力为正
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：作用在左侧面 上使截开部分逆时针方向转动，或者作用在右侧截开部分顺时针转动者为 正，反之为负。
目录
15
§5-2
梁的载荷与支座
•集中载荷 •分布载荷 •集中力偶
梁的载荷与支座
固定铰支座
活动铰支座
固定端
2 16
§5-2 梁的载荷与支座
17
§5-2
梁的载荷与支座
火车轮轴简化
18
§5-2 梁的载荷与支座
19
§5-2
梁的载荷与支座
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
20
§5-2
梁的载荷与支座
24
例题5-1 ：悬臂梁AB承受集中力FP及集中力偶MO作用， 如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩。
25
§5-3 剪力和弯矩及其方程
求图示简支梁E 截面的内力 解： 1. 确定支反力
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F Fy 0 2F FSE 3 FSE - 3 a 5 F 3a 2 F M E ME 0 2 3 2 3F a ME 26 2
在FQ-x和M-x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值 和弯矩图，得到相应的店；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图 线，便得到所需要的剪力图和弯矩图。
第二种方法：先在FQ-x和M-x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后 应用载荷集度 剪力 弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的 形状，无需首先建立剪力方程和弯矩方程。
1.剪力、弯矩方程：
求图示悬臂梁AB的剪力方程和弯矩方程，并判断最大剪力与 弯矩大小及位置。
F
A
l
x B
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
| FS |max F | M |max Fl
32
例题5-2：简支梁AB承受集度为q的均布载荷 作用，求梁的剪力方程和弯矩方程。