高中数学竞赛专题竞赛中的复数问题

Z2,Z3,Z4
共圆的充要条件是:
z3 z4

z1 z1
:
z3 z4

z2 z2
∈R.
二、典型问题
1.复数概念
[例 1]:若对一切θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i 的模不超过 2,则实数
a 的取值范围为 .
[解 析]:|z|≤2 (a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4 2acosθ-4asinθ≤3-5a2 -2 5 asin(θ+φ) ≤3-5a2 2 5 |a|≤3
z1 z2
+ z2 z3
+
z3 z1
=cos(α-β)+
isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1 sin(α-β)+sin(β-γ)+si
n(γ-α)=0
2sin cos 2 -2sin cos =0 sin sin sin =0.
部是
.
解: = =2 (1 cos 2B i sin 2B)(1 cos 2C i sin 2C) 2 cos B(cos B i sin B) 2 cos C(cos C i sin C)
cos B cos C
1 cos 2A i sin 2A
2 cos A(cos A i sin A)
2
2
2
2
2
2
2
当
sin

2

=0
时,β=2kπ+α

z1=z2,由
z1 z2
+ z2 z3
+ z3 =1 z1
z1 + z3 =0 ( z3 )2+1=0
z3 z1
z1
z3 z1
=

i

|az1+bz2+cz3|=|(a+b
ic)z1|=
(a

b)2

c2
;同理可得:当
sin

2
()
(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题
①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确
5.设 z 是虚数,w=z+ 1 ,且-1<w<2,则 z 的实部取值范围为
.
z
解:设
z=a+bi

w=a+bi+
a bi a2 b2
=a+
a2
a
b2
+(b-
a2
-sinβ= 3 z1 =cos(α-β)+isin(α-β)= 1 3 i.
2
z2

22
3.(设|z1|=|z2|=a(a≠0),且 z1+z2=m+mi,其中 m 为非零实数.则 z13z23 的值
是.
解:设 z1=acosα+aisinα,z2=acosβ+aisinβ,由
z1+z2=m+mi a(cosα+cosβ)=m,a(sinα+sinβ)=m cosα+cosβ=
项的和=
.
4.设复数数列{zn}满足 z1=i,zn+1=-zn2-i,则|z2000|=
5.()使复数 z= sin x sin 2x i(2cos2 xsin x tan x) 成为实数的所有 x 构成的集合 cos x i
是
.
解:复数 z= 为实数 sin x sin 2x i(2cos2 x sin x tan x) cos x i
式:eiθ=cosθ+isinθ,θ∈R.
⑵共轭与
模:①
z1

z2
=
z1

z2
;
z1

z2
=
z1

z2
;
(
z1 z2
)
=
z1 z2
;②||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|;|z1z2|=|z1||z2|;|
z1 |=
z2
| z1 | ;③z z =|z|2=| z |2;④z= z z∈R;|z|=|Re(z)| z∈R.
是:z1-z2=λ(z3-z4)i.
⑶几何结论:①三角形面积:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为
Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3
的面积=
1 2
×复数(z1
z3
+z2
z1
+z3
z2
)的虚部;②三角形
形状:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3 为正三角形
的充要条件是:z12+z22+z32=z1z2+z2z3+

1
3 1
为纯虚数,则|z|=
.
3
3.如果复数(a+2i)(1+i)的模为 4,则实数 a 的值为
.
4.出下列两个命题:①设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2>c2,则 a2+b2-c2>0;②
设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2-c2>0,则 a2+b2>c2.那么下述说法正确的是
| z2 |
⑶运算法则:①乘
法:r1(cosθ1+isinθ2)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除
法: r1(cos2 isin1) r2(cos2 isin2)
=
r1 r2
(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ);④
竞赛中的复数问题
复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何
之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞
赛数学的内容之一.
一、知识结构
1.概念与运算:
⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b∈R);②三角
式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数式:z=reiθ(r≥0,θ∈R);④欧拉公
是:Z=λZ1+(1-λ)Z2;③平行条件:若复数 z1,z2,z3,z4 对应的点分别为
Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2∥Z3Z4 的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4);④垂直条件:若
复数 z1,z2,z3,z4 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2⊥Z3Z4 的充要条件
[sinx+sin2x+i(2cos2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数 sinx+sin2x
+(2cos2xsinx-tanx)cosx=0 sin2x+cos2xsin2x=0 sin2x=0 sinx=0(cosx
≠0) x=kπ.
3.三角形式
[例
3]:给定实数
[类题]:
1.①复数(1+i)4+(1-i)4=
.
②计算: = i0！ i1！ i2！ i100！
.
2.已知 i2=-1,在集合{s|s=1+i+i2+i3+…+in,n∈N}中包含的元素
是
.
3.复数数列{an}满足 a1=0,an=an-12+i(n≥2,i 为虚数单位,则它的前 2007
argz0-π.
3.复数与几何:
⑴基本原理:①点的对应:复数 z=x+yi 与点 Z(x,y)成一一对应;②向
量对应:复数 z=x+yi 与向量 OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数
z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,则|Z1Z2|=|z1-z2|;④旋转公式:复数 z1,z2 对应
的点分别为 Z1,Z2,向量 z1z2 绕点 Z1逆时针旋转θ角,再伸长 r(r>0)倍,则所
sinα+sinβ 2cos cos =2sin cos cos =sin tan =1
cos A
cos(B C) isin(B C) =2 cos BcosC [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2 cos BcosC ,虚部是 0.
cos A i sin A
cos A
cos A
2.已知复数
z1,z2
满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=cos150+isin150,则
-1)=xn-1.
⑶基本结论:①实系数 n 次方程的虚根α与其共轭复数 成对出
现;②若|z1|=|z2|=…=|zn|,且 z1+z2+…+zn=0,则 z1,z2,
…,zn对应的点是正 n 边形的顶点,且正 n 边形的中心在坐标原点;③若
复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,且 z1=z0z2,则∠Z1OZ2=argz0,或
记为 argz;②运
算:Argz1+Argz2=Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg(
z1 z2
)=Arg(z1
z2
);nArgz=
Argzn;③性质:若 z=cosθ+isinθ,则
1+z=2cos (cos +isin );1-z=-2sin (cos +isin ).
a,b,c,已知复数
z1,z2,z3
满足:
|
z1 z1
z2
||
z2 z2
z3
||
z3 z3
z1
|
1 1
,求|az1+bz2+cz3|
的值.
[解析]:由|z1|=|z2|=|z3|=1,可设
z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ
得向量 z1z 中的 Z 对应的复数 z=z1+r(z2-z1)(cosθ+isinθ).
⑵线性结论:①定比分点:若复数 z,z1,z2 对应的点分别为 Z,Z1,Z2,
点
Z
分有向线段
z1z2
的比为λ(λ≠-1),则
z=
z1 z2 1
;②三点共线:若复数
z,z1,z2
对应的点分别为 Z,Z1,Z2,则三点 Z,Z1,Z2 共线的充要条件
=0
时,|az1+bz2+cz3|=
;当 (b c)2 a2
sin

2
=0
时,|az1+bz2+cz3|=
. (a c)2 b2
[类题]:
1.设 A、B、C 为△ABC 的三内角,则复数 (1 cos 2B isin 2B)(1 cos 2C isin 2C) 的虚 1 cos 2A i sin 2A
z3z1;或 z1+ωz2+ω2z3=0;③三角形相似:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为
Z1,Z2,Z3,复数 w1,w2,w3 对应的点分别为 W1,W2,W3,则
△Z1Z2Z3∽△W1W2W3
的充要条件是:
z2 z3

z1 z1
=
w2 w3

w1 w1
;④四点共圆:若复数
z1,z2,z3,z4 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则四点 Z1,
z1 z2
=
.
解:设
z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ z1-z2=(cosα-cosβ)+(sinα-sinβ)i=cos150+is
in150 cosα-cosβ=
cos150,sinα-sinβ=sin150 (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=1 cos(α-β)= 1 ,sinα 2
-5a2 ( 5 |a|-1)( 5 |a|+3)≤0 a∈[- 5 , 5 ]. 55
[类题]:
1.①已知复数
z1=m+2i,z2=3-4i,若
z1 z2
为实数,则实数
m
的值
为
.
②已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,则z1z2为实数的
条件是z2=
.
2.若
z z
,且
3
2
为实数,则
|α|=
.
[解析]:设
α=a+bi(a,b∈R) β=a-bi αβ=a2+b2∈R,α-β=2bi,|α-β|=2
3
|b|=
, =
3 2
3 ( )2
为实数
α3=(a+bi)3=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i
为实数
3a2b-b3=0 |a|=1 |α|=2.
b
b2
)i.由-1<w<2

w
为实数
b- b =0 b=0,或 a2+b2=1. a2 b2
当 b=0 时,a≠0,w=a+ 1 |w|≥2,不符合-1<w<2;当 a2+b2=1 时,w=2a,由 a
-1<w<2 - 1 <a<1. 2
2.代数形式
[例 2]:设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=2
开方:zn=r(cosθ+isinθ) z
= n r (cos 2k +isin 2k )(k=0,1,2…,n-1).
n
n
2.辐角与三角:
⑴辐角性质:①定义:若 z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数 z
的辐角,记为 Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数 z 的辐角主值,
2
2
2
2
2
2
⑵单位根:①定义:方程 xn=1 的 n 个根叫做 n 次单位根,分别记为
ωk(k=0,1,2,…,n-1);ωk=(cos
2k n
+isin
2k n
)(k=0,
1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk=ω1k;ωkωj=ωk+j;单位根的积仍是单位根;n
次单位根的全部
为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n