高三第一轮复习圆的切线方程及弦长公式

圆的切线方程及弦长公式

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

1．掌握圆的切线方程．

2．会用代数法和几何法求圆的弦长． 主干知识归纳 1．圆的切线方程

(1) 过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；

(2) 过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T

的切线长公式为|MT |＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)．

2．求圆的弦长的常用方法

(1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则()l 22

＝r 2

－d 2

，即22d -r 2

=l

(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2

x 1＋x 2

2

－4x 1x 2].

方法规律总结

1. 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上，若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况． 2．求解与圆的弦长有关的计算问题时，常利用圆的半径r ，弦长l 与弦心距d 之间的关系：r 2

＝d 2

＋l 2

4

，一

般不用代数法求解．

3．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

(1) 形如μ＝y －b

x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

【指点迷津】

【类型一】圆的切线方程

【例1】：求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 【解析】：解法一：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线， 且有|MA |＝|AP |＝r ，

因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则⎩⎪⎨⎪

⎧

n －2m －1＝2－31＋1

(m －1)2＋(n －2)2＝ (m －4)2＋(n ＋1)2＝r

，

解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，

所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.

解法二：因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0过点M (1,2)的切线方程为2x －y ＝0， 所以设所求圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＋λ(2x －y )＝0，因为点P (4，－1)在圆上， 所以代入圆A 的方程，解得λ＝－4，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0. 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝5（x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0）.

【例2】：已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.若过点A 的圆的切线只有一条，则切线方程为________． 【解析】：由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0，

答案：当a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0.当a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0. 【例3】：已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；

(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．

【解析】： (1)圆M 的方程为：(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

－a 2

＋－1－b 2＝r 2

－1－a 2

＋

－b 2＝r 2，

a ＋

b －2＝0

解得a ＝b ＝1，r ＝2，

故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.

(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋1

2|BM |·|PB |，

又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，

而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝

|3×1＋4×1＋8|

32＋42

＝3，

所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5. 答案： (1) (x －1)2＋(y －1)2＝4. (2) 2 5.

【类型二】圆的弦长

【例1】：已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.

(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为4，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．

【解析】：(1)如右图所示，AB =43，D 是A B 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.

设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5=kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式

()

215622

2=-++--k k ，得k =4

3

k ＝4

3时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.

又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.

(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即0=⋅ (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 答案：(1) 3x －4y ＋20＝0或x ＝0. (2) x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.

【例2】：(2009·苏、锡、常、镇四市调研)已知圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0(0

(1)若m ＝4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；

(2)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围． 【解析】：(1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0，

∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a ，∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a ，