【数学】浙江省宁波市五校(奉化中学、宁波中学、北仑中学等)2020届高三适应性考试试题

浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）
2020届高三适应性考试数学试题
参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 柱体的体积公式V Sh =
若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体
的高
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 锥体的体积公式1
3
V Sh =
独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
()C (1)(0,1,2,
,)k k
n k n n P k p p k n -=-=
球的表面积公式24S R =π
台体的体积公式121
()3V S S h =+
球的体积公式3
43V R =π
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示 其中R 表示球的半径
台体的高
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集}1,0,1{-=U ，集合},1,0{},0,1{=-=B A 则=)(B A C U （ ） A.}0{ B.}0,1{- C.}1,1{- D.}1,0{
2.若n
x
x )1(-
展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项（ ） A.84 B.84- C.56 D.56- 3.若,a b ∈R ，则“11>>b a 且”是“1>ab 且2≥+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤+-= ,0),1(log ,0,22)(2
1
2x x x x x x f 若当]1,[+∈a a x 时，不等式)
2()(x a f a x f -≥+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.)2,(--∞
B.]2,(--∞
C.),2(+∞-
D.),2[+∞-
5.已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底）（ ）
A.x e e x f x x sin 11
)(⋅+-=
B.x e e x f x x
sin 1
1)(⋅+-=
C.x e e x f x x cos 1
1
)(⋅+-=
D.x e e x f x x
cos 1
1)(⋅+-=
6.已知非零实数c b a ,,的绝对值全不相等，那么满足“abc c b a =++”的c b a ,,（ ） A.仅有一组 B.仅有二组 C.仅有三组 D.有无穷多组
7.已知}{n a 是等比数列，13=a ，那么其前5项和5S 的取值范围是（ ）
A.），，∞+--∞1[]3(
B.），，∞+--∞5[]3(
C.），∞+1[
D.），∞+5[
8.一个袋子中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现从袋子里随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为2ξ.则（ ） A.)()(21ξξE E < ，)()(21ξξD D < B.)()(21ξξE E = ，)()(21ξξD D > C.)()(21ξξE E =
，)()(21ξξD D < D.)()(21ξξE E > ，)()(21ξξD D >
9.设函数2
5
32)(++-
=x x x f x
，若曲线x y cos =上存在点),(00y x ，使得00))((y y f f =，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]23,513[--
B. ]25,23[-
C.]314,23[-
D.]3
14,25[
10.已知点F 为抛物线)0(22>=p py x 的焦点，经过点F 且倾斜角α为钝角的直线与抛物线交于B A ,两点，O OAB (∆为坐标原点)的面积为α3cos -，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，则=||FM （ ）
A.1
B.2
C.2
D.4
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，共36分。

多空题每小题6分，单空题每小题4分。

11.
已知复数122
z =-
+(其中i 为虚数单位)，那么=||z ______，=2z ______. 12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.
13.有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有_______种不同的排法.
14.在ABC ∆中，2,1=
=BC AC ，以AB 为边在平面ABC 内向外作正方形ABDE ，使
D C ,在AB 的两侧.（1）当 45=∠ABC 时，=||CD ________；（2）
||CE 的最大值为_______. 15.若过双曲线焦点且与渐近线垂直的弦的长等于焦点到渐近线距离的2倍，则此双曲线的离心率为__________.
16.以点)2,1(-C 为圆心作圆，过点)4,2(P 作圆C 的切线，切线长为2，直线OP （其中O 为坐标原点）交圆C 于B A ,两点，当点),(y x M 在优弧AB 上运动时，y x y x -+--2|12|的最大值为_________.
17.已知ABC ∆所在平面内的两点H ，W 满足：HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅，
||||||==，D 是边BC 上的点，若4=AB ，3=AC ，2=AH ，1=WD ，则=⋅+++⋅BC WD AH AC AB AW )()(__________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分14分）
已知函数2()2sin cos()cos cos .6
f x x x x x x π
=+
++ (Ⅰ)求)(x f 的振幅、最小正周期和初相位； (Ⅱ)将)(x f 的图象向右平移
3π个单位，得到函数)(x g y =的图象，当[,]63
x ππ
∈-时，求)(x g 的取值范围.
19.（本小题满分15分）
如图，平面⊥ABCD 平面CDEF ，四边形ABCD 是梯形，AB //CD ,四边形CDEF 是矩形， 60=∠BAD ，CD DE AD AB 2
1
=
==，M 是DE 上的动点.
(Ⅰ)试确定M 点的位置，使BE //平面MAC ；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值.
20.（本小题满分15分）
已知数列}{n a 的前n 项积为n T ，}{n T 为等差数列，且4231==T a ，. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）证明：)1ln(1111332211+<++++n T a T a T a T a n
n .
21.已知离心率为2
2
的椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y ω的短轴的两个端点分别为21,B B ，
P 为椭圆ω上异于21,B B 的动点，且21B PB ∆的面积最大值为22
.
（Ⅰ）求椭圆ω的方程； （Ⅱ）射线)0(2≥=
x x y 与椭圆ω交于点A ，过点A 作倾斜角互补的两条直线，它们与
椭圆的另一个交点分别为点B 和点C ，求ABC ∆的面积的最大值.
22.已知函数()(21)e x f x x ax =++，|)(|)(x f x g =. （Ⅰ）当0a 时，求)(x g 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x g 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围.
【参考答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共7小题，共36分。

多空题每小题6分，单空题每小题4分。

11. 1
12-
-
12 .221)+π 6+π 13. 720 90
16. 2 17.
252
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)x x x x x x x f 2cos cos sin 3)sin 2
1
cos 23(
sin 2)(++-=
22cos sin cos 2cos22sin(2)6
x x x x x x x π
=-+=+=+，--------------4分
所以)(x f 的振幅为2，最小正周期为π，初相位为6
π
. ---------------------------------------7分
(Ⅱ)()2sin(2())2sin(2)2cos2362
g x x x x πππ
=-+=-=-,-------------------------------10分
当[,]63x ππ∈-时，22[,
]33x ππ
∈-，]1,2
1[2cos -∈x ，所以]1,2[)(-∈x g .----------14分 19.（本小题满分15分） (Ⅰ)当DE EM 3
1
=时，BE //平面MAC .---------------------------------1分 证明如下：
连结BD 交AC 于N ，连结MN ，由于CD AB 21=
，所以21=BN ND ,所以MD
EM BN ND =， 所以MN //BE ，又MN ⊂平面MAC ，又BE ⊄平面MAC ，所以BE //平面MAC .
-----------------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)因为平面⊥ABCD 平面CDEF ，CD DE ⊥，平面 ABCD 平面CD CDEF =， 所以DE
⊥平面ABCD ， ------------------------------------------------7分
以D 为原点，，的方向为z y ,轴的正方向，建立如图空间直角坐标系xyz D -. -------------------------------------------------------------------------------------8分
设1=AB ，则)0,2,0(C ，)3
2,0,0(M ，)1,2,0(F ，)0,2
1,23(B ，)0,2
1,2
3(-A ，则
)32,21,23(
--=，)32,2,0(-=，)1,2
3
,23(-=，---------------10分
设平面MAC 的一个法向量为),,(z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
,0MA n 得，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=--,0322,032
2123z y z y x 取⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
===
,3 ,1,35z y x 得
)3,1,35(=，--------------------------------------------------------12分 设直线BF 与平面MAC 所成的角为θ，则
55165
35523
23251
)23()23(31)3
5()
1,23
,23()3,1,3
5(
|,cos |sin 2
22222=++-=++-⋅++-⋅=〉〈=θ，
故直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值为55
165
. ----------------------------15分 20.（本小题满分15分）
（Ⅰ）由题意知，211==T a ，又因为}{n T 为等差数列，且43=T ，所以公差1=d ， --------------------------------------------------------------------------------2分 所以1+=n T n . ----------------------------------------------------------4分 由1321+==n T a a a a n n 知，当2≥n 时，n
n T T a n n n 1
1+==-, ---------------------6分 又21=a ，满足上式，所以n
n a n 1
+=. --------------------------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，
1
1)1(12+<+=n n n T a n n ， -------------------------9分 下面证明
)1ln(11n n n +<+. ----------------------------------------------10分 令]210(11，，∈=+x x n ，则11-=x n .令x x x g --=11ln )(，则x x x g -='1)(，当]2
10(，∈x 时，0)(>'x g ，所以)(x g 在]210(，上单调递增，所以0)0()(=>g x g ，即x x
>-11
ln
. 所以
)1ln(11n
n n +<+. ----------------------------------------------------13分 所以，
1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln(1
111332211-++--+-+<++++ n n n n T a T a T a T a n n ， 即
)1ln(1111332211+<++++n T a T a T a T a n
n . -------------------------------------15分 21.（本小题满分15分）
（Ⅰ）因为21B PB ∆的面积最大值为22，所以
2222
1
=⋅⋅a b ，即22=ab 因为椭圆ω的离心率为22，所以2
2
=a c ，
又222b a c -=，求得2,42
2
==b a ，----------------4分
所以椭圆ω的方程为12
422=+x
y .--- -------------------5分
（Ⅱ）由⎩
⎨⎧≥==+),0(2
,4222x x y y x 求得)2,1(A ，-----------------------------------------------------6分
设2)1(:+-=x k y AB 与422
2
=+y x 联立消去y ，整理得
0222)2(2)2(222=--+--+k k x k k x k ，---------------------------------------------7分
因为1和B x 是上述方程的两个根，所以2
2
222
2+--=k k k x B ， 所以22
24222
2++--=+-=k k k k kx y B B ，-----------------------------8分 同理可求得222222+-+=k k k x C ，2
2
2422
2+++-=k k k y C ，-------------------9分 所以直线BC 的斜率2248==--=
k
k x x y y k C B C B BC ，设m x y BC +=2:，与4
222=+y x 联立，消去y 得，0422422=-++m mx x ，-------------------------------10分 由0)8(8)4(1682
2
2
>--=--=∆m m m ，解得2222<<-m ，-------------11分
2
2163||2
m BC -⋅=
，点A 到直线BC 的距离3||m d =，所以ABC ∆的面积 2
2
42216224)216(23||22163212
2222=-+≤-=⋅-⋅⋅=∆m m m m m m S ABC
，------14分 当且仅当2±=m 时取等号，此时ABC ∆的面积的最大值为2. ----------------15分 22.（本小题满分15分）
（Ⅰ）当0a 时，()(21)e x
f x x =+，所以()(23)e x f x x '=+， -----------------1分
当2
3-<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，此时0)(<x f ，)(|)(|x f x f -=，则)(x g 单调递增； -----------------------------------------------------------------------2分 当2
3-
>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增， ①当2
123-<<-x 时，0)(<x f ，)(|)(|x f x f -=，则)(x g 单调递减； ②当2
1->x 时，0)(>x f ，)(|)(|x f x f =，则)(x g 单调递增；-----------------4分 综上所述，函数)(x g 的单调递增区间为),21(),23,(+∞---∞，单调递减区间为)21,23(--. ------------------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）由题意知0)(=x f 必有解，即0)12(=++ax e x x 有解，即x e x
a )1
2(+=-有解， -------------------------------------------------------------------------------6分 设1()(2)e x h x x =+，则22221(21)(1)()e e x x x x x x h x x x
+--+'==，------------------7分 令0)(>'x h 得1-<x 或12x ，令0)(<'x h 得01<<-x 或102
x ， 所以)(x h 在)1,(--∞上单调递增，在)0,1(-上单调递减；在)21
,0(上单调递减，在),21(+∞上单调递增，且1(1)e h -=
，1()2
h = ------------------------------------------9分 当1-<x 时，0)(>x h 恒成立，所以1()(0,]e
h x ∈，当-→0x 时，-∞→)(x h ， 所以1()(,]e
h x ∈-∞；当+→0x 时，+∞→)(x h
，所以())h x ∈+∞. 所以1e a -≤
或a -≥，所以e a 4-≤或1e a ≥-.--------------------------11分 下面证明+∞→)(x g ，先证e 1x x ≥+，设()e 1x x x φ=--，则()e 1x
x φ'=-， 当0<x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减；当0>x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增.
所以0)0()(=≥ϕϕx ，所以1+≥x e x . --------------------------------------12分
当1e
a ≥-时，若0≥x ，则()(21)e e 1(1)11x x f x x ax ax x ax a x =++≥+≥++≥++≥，而),0[,1+∞∈+=x x y 的值域是),1[+∞，且)(x f 连续，所以+∞→)(x g ；----------13分
当a ≤-时,
若0≤x
,()(21)e (21)e 2(e e x x x x f x x ax x x =++≥+-≥-+,
由于0≤x
时，e 1x ≤<，当-∞→x 时，e 0x →，+∞→)(x f ，又因为)(x f 连续，所以+∞→)(x g .------------------------------------ ------------------14分
综上所述，a ≤-或1e
a ≥-.-----------------------------------------15分
试题卷勘误:
第9题，“a x x x f x -+++=2532)(”改为“a x x x x f x -++++=2532)(”. 第15题，“…与渐近线垂直…”改为“…与实轴垂直…”.
参考答案勘误：
第5题正确答案：答案C.
第17题正确答案：2
25. 第22题，倒数第6行中的“…111≥+≥++x ax x ，
”改为“…11)1(1≥++≥++x a ax x ，” 倒数第2行与倒数第5行中的“),0[)(+∞∈x g ”均改为“+∞→)(x g ”.。