高中数学-抽象函数问题专题

高中数学-抽象函数问题专题目录

一、求表达式方法 (2)

1.换元法： (2)

2.拼凑法： (2)

3.待定系数法： (2)

4.利用函数性质法 (3)

5.赋值法 (3)

f x的有关问题 (4)

二、利用函数性质，解()

1.判断函数的奇偶性 (4)

2.求参数的取值范围 (4)

3.解不定式 (4)

三、抽象函数五类题型及解法 (5)

1、线性函数型抽象函数 (5)

2、指数函数型抽象函数 (6)

3、对数函数型抽象函数 (6)

4、三角函数型抽象函数 (7)

5、幂函数型抽象函数 (8)

◆方法总结：抽象函数常见考点解法综述 (9)

1、定义域问题 (9)

2、求值问题 (10)

3、值域问题 (10)

4、解析式问题 (11)

5、单调性问题 (11)

6、奇偶性问题 (12)

7、对称性问题 (12)

8、网络综合问题 (13)

高中数学-抽象函数问题专题

-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式方法

1.换元法：

即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211

x

f x x =++,求()f x . 解：设

1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=

--∴2()1x

f x x

-=- 2.拼凑法：

在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311

()f x x x x

+=+，求()f x

解：∵22211111

()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x

+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+

≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3.待定系数法：

先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

b

c b +=⎧⎪

=⇒===⎨⎪=⎩

∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法

主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.

例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴

()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴

lg(1),0

()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨

--<⎩

例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1

()1

g x x =

-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =

1

1

x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1

()1

g x x =-+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x

g x x =-

5.赋值法

（给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式）

例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+

以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =

(1)2n n +∴1

()(1),2

f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题

1.判断函数的奇偶性

例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①

在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴

()f x 为偶函数。

2.求参数的取值范围

例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-

又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴22111

1110111m m m m m -<-<⎧⎪

-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩

3.解不定式

例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)