第八届电工杯数学建模B题资料

问题一：预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2。

（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。

）
方法三：在预测每次航行各周预定舱位的人数时，发现预定舱位的人数与剩余周数满足一定的非线性关系，所以我采用数据拟合的方法采用spss数学软件进行数据拟合。

如下表：剩余周数x为自变量，预定舱位的人数w为因变量。

经过数据拟合发现他们满足如下关系。

所以根据模拟出来的关系将自变量代入。

即可大致模拟出预定舱位的人数。

当剩余周数为0时sheet1已经给出了预定舱位的人数。

所以就不再建立模型，拟合他们的关系。

在这其中，由于头等舱的座位是250个，二等舱的座位为450个，三等舱的座位为500个，在建立拟合关系时，由于拟合关系存在着一定的误差，所以在计算时，会有不符合上述要求的（拟合关系算出的预定舱位人数大于实际的座位）我们将会把超出的舍去。

详细表看附录。

问题二：
在解决预测每次航行各周预订舱位的价格时，通过分析剩余周数（即里出航的日期越来越近）与预订舱位平均价格的关系时，我们通过spss拟合程度发现剩余周数与预订舱位平均价格和二次曲线或者三次曲线有着惊人的相似。

所以我们更具这个规律，根据第六周至第十周给出的数据采用spss拟合法算出第六周至第十周空白的数据。

在用spss拟合时，忽略了其他因素的影响。

求头等舱第六周剩余时间还有一周时的预定价格：
以剩余周数为自变量，以预订平均价格为因变量做出了他们之间的相关系数。

如图：
Quadratic .949 92.101 2 10 .000 1.520E3 108.891 -7.602 The independent variable is 剩余周数.
y=1520+108.891x-7.602x*x:
当剩余周数为1时，预定的平均价格为1621.
其他的也都采用spss数据拟合的方法。

在计算三等舱第七周时发现数据和三次曲线拟合程度最好。

如图所示：
所以就采用了三次曲线的形式：y=714.178+127.534x-25.068x*x+0.878x*x*x*，一次代数计算。

在计算第十周的数据时，因给出的数据太少，不能够精确的拟合出他们之间的关系。

误差特别大。

还有在计算剩余时间还有0周时要考虑意愿预定人数你的影响，所以在拟合的程度下，加入意愿预定人数的影响。

详细数据见附录。

问题三：依据附件中表sheet4给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预测出公司每周给出的预订平均价格。

首先，在观察头等舱的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数时，公司每周给出的预订平均价格和他们分别有着一定的非线性关系。

问题四：.依据附件中表sheet1-sheet4，建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益。

假设：1.假设我们不考虑邮轮公司的人均船上消费主要包括酒水消费、spa 消费、赌场消费、船上购物和其他付费服务收入对邮轮收入的影响。

2.
先考虑一种舱位类型的情况。

假定销售周期包含 T 个周。

令 t = T － 1 表示第 1 个周期， t = 0 表示最后一个周期， 即 t 是启航之前的周期个数， 也就是说， t 是随时间递减的。

假定邮轮旅客的保留价格服从一定的概率分布， 且在整个销售周期上是固定不变的， 令 F(t)为保留价格的累积概率分布。

在每个周期 t ， 公司提供的价格是m ， 只有当保留价格低于当前的价格时顾客才会购买。

因此， 一个到达的顾客购买邮轮某种类型舱位的 概 率 为 p （t ）， 则 周 期 t 的 邮轮票的需 求 函 数 为D (t p ) ()()t D t M p t =， 其中，t M 为周期 t 的潜在市场规模， 价格m 为决策变量。

研究目标是在有限的销售周期［ 0， T － 1］内为不同航次的不同周期确定最优价格， 从而最大化整条航线未来的总收益。

假定顾客的保留价格服从区间上[]min max ,V V 上的均匀分布。

根据均匀分布的概率分布函数和 D (m) = M t ［p （t ）］ ， 可以获得每个周期的需求函数为:
()max
max max min max min max t t t
V m V M D m M M m V V V V V ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪
⎪--⎝⎭⎝
⎭ 也就是说， 需求函数的形式是线性的， 即()t t t D m a b p =-， 其中， 截距max
max min
t t V a M V V =
-;
斜率。

max min
t
t M b V V =
-
注意，
max t
t
a V
b = 因此可以动态地挖掘顾客最大保留价格的信息。

此外， 由于()max min t t M b V V =-， 也可以展示市场规模的动态变化情况。

根据表格，我们可以从中获取一些 需求预测和历史数据， 公司可以对所有周期需求函数的参数进行估计，确定各航次第一个周期的价格。

()()}1
2
01
min T N kt t t kt t k d a b p -==⎧--⎨⎩∑∑
St.1
1
,1,2,0,t t t t t
t a a t T
b b a b o
--⎧=
=⎪⎨⎪≥≥⎩
其中， N 是考虑的航次数量;kt p 和kt d 分别是航次 k 在周期 t 的价格和需求。

随着时间的推移， 在周期t － 1开始之前， 周期 t 的需求和价格数据被观测到， 需求函数 D (t p ) (t = T － 1， T － 2， …， 0) 便通过上面的约束规划(回归)更新为()t D p
4. 2 定价模型
不同航次未来周期的最优价格可以通过下面的非线性定价模型确定:
()
()0
110
1max ,0,1,.0,1,2,T T
t t t t t
t T
T t t T T
R p D p p p t T p st D P C P t p P β=++=+=⎧-<=⎪
⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪>=⎪=⎪⎩∑∑
其中， R 为邮轮总收益， 由舱票销售总额构 成;第一个约束条件保证临近周期的价格差异不会太大;第二个约束条件是存量约束， 保证总需求不会超过邮轮的总存量。

当邮轮有三种类型的座位时，我们需要分别对各种类型的座位进行预测，分析。

最后累加既得邮轮售票所得的利益。

根据上述模型，我们计算第8次航行的预期售票收益。

销售周期为14周。

T=14，邮轮旅客的保留价格服从一定的概率分布，
max min min max min
1
,
p V V x V F V V =
--=
-，我们从意愿
订票的 人数与剩余周数及价格区间可以求出。

在第八次航行中，
每个周期的需求函数为: 。

t M 为周期 t 的潜在市场规模， kt p 是航次 k 在周期 t 的价格 kt d 是航次 k 在周期 t 的需求
通过下面的非线性定价模型确定最优价格。

()0
max T
t t t R p D p ==∑
当为头等舱时，由预定的平均价格和人数的关系，我们用数据拟合法计算出他们之间的相关系数如下：
自变量：头等舱的人数
图：
2 16339.50.081 y x x =+-
表：数据分析二
因变量:价格2
Equation
Model Summary Parameter Estimates R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2 b3 Linear .009 .124 1 13 .731 1.247E3 .073
Quadratic .624 9.965 2 12 .003 1.133E3 2.300 -.005
Cubic .817 16.415 3 11 .000 1.062E3 5.075 -.021 2.202E-5 自变量：二等舱的人数.
图：
2531062 5.0750.021 2.202*10y x x x -=+--
表 ：数据分析三
因变量:
三等舱的价格
Equation Model Summary
Parameter Estimates
R Square F df1
df2
Sig.
Constant
b1 b2
b3
Linear .023 .309 1 13 .588 787.737 .123
Quadratic .755 18.461 2 12 .000 561.726 2.890 -.005 Cubic
.929
47.688
3
11
.000 691.903
-.284
.010
-2.014E-5
图：
图：
253691.9030.2840.010 2.014*10y x x x -=-+-
所以，我们得出收益函数R=x*y 。

代入第八次航行的预定价格和人数，得出该企
业共收益了14
10
1690*41730*21860*41860*121930*17
1950*221840*211810*241810*271760*331659*351559*661442*8477215
t R xy x y ====++++++++++++=∑
同理2R =593445
3R =412613
1231483273.R R R R =++=
问题五：在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱
（即原订二等舱游客可通过适当的加价升到头等舱，三等舱游客也可通过适当的加价升到头等舱、二等舱）。

请建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益最大。

假设实现从低等座位到更高等座位的填充在既定条件下增加收益，且这种方案不是在预定
时候制定的，而是在上轮以后制定的。

所以各个舱位的人数，公司目前所获得的利益已经知道了。

预定售票日期截止时，通过下表分析
每次航行升舱后最终舱位人数分配表
大多数都喜欢做条件好的座位，但由于价格方面或者其他方面的因素，一些旅客选择了价格相对便宜的二等舱。

但是对邮轮公司来说。

如何达到利益的最大化，面对头等舱，二等舱位未满，而三等舱却相对来说人数较多的情况，适当的加价，可进行升舱的促销活动可使利益扩大化。

若只是补差价可进行升舱，不能够提高企业的利益。

因为是同样的价格，为什么要费这么多麻烦才坐上适合自己的舱位呢。

针对以上情况，适度的加价，既能够使企业的利益
能够达到最大化，又不致使升舱的 人数过多，引起纷乱。

头等舱的容量是250，二等舱的人数是450，三等舱的容量是500。

企业科获得的利益记为R ，加的价格记为a ，设头等舱的人数为1x ，二等舱的人数记为2x ，三等舱的人数记为3x ，二等舱升为头等舱的人数记为1h ，三等舱升为二等舱的人数记为2h ，三等舱升为头等舱的人数记为3h ，二等舱升头等舱的加价为1m ，三等舱升二等舱的加价为2m ，三等舱升头等舱的加价为3m ，设牟依依周某一航次油轮头等舱，二等舱，三等舱的定价分别为123,,.y y y 所以他们因当满足如下约束如下约束条件：
131212121
232
2331112233112233
250450..max h h x h h x m y y m y y
y m y y s t R y x y x y x m h m h m h +<-⎧⎪<--⎪⎪
+<⎨⎪+<⎪⎪<+<⎩=+++++
其中，112233y x y x y x ++是一个固定量，只需要在上述约定条件的基础上确定
112233m h m h m h ++的最大值即可。

113122121232331332250045000000,1,2,3
i x h h h x h m y y m y y m y y m y y m i --+>--->+-<+-<+-<+->>=
在满足上述条件的基础上，这是个典型的线性规划模型，借助于LINGO 软件 计算112233m h m h m h ++的最大值且使得3
1
min i
i M m ==
∑，意愿升舱人数的大小是一个不确
切人数，它的取值，与人们一开始的保留价格有着密切的关系当加价后的总价格与人们保留价格相差无几时，人们意愿升舱的概率就大。

当航次一的价格确定后头等舱，二等舱，三等舱的人数分别为236,431,371时，
131212332502360450431011501610082611500826161001610115000,1,2,3
i h h h h m m m m m i --+>--->+-<+-<+-<+->>=
1h
2h
3h
1m
2m
3m
19 0
27
460
324
784
见附录。

航次二的头等舱，二等舱，三等舱的人数分别为1650，1220，832
131212332501840450401012201650083212200832161001610165000,1,2,3
i h h h h m m m m m i --+>--->+-<+-<+-<+->>=
三等舱升为头等舱的人数，二等舱升头等舱的加价1m ，三等舱升二等舱的加价2m ，三等舱升头等舱的加价3m 都大约浮动在某一个区间，这说明要使公司的利益最小化，升舱的人数且控制最小值（简化手续），则应当适当的加价，使得二等舱升头等舱的加价1m 控制在【400 500】，而三等舱升二等舱的加价2m 控制在【300 400】，三等舱升头等舱的加价3m 控制在【700 800】. 这些数据仅仅是靠预定人数的多少考虑的企业的利益，因为数据中没能给出各个的意愿信息，仅仅能推出各个舱位的人群心中的保留价格，不能够准确地推算出各个阶段人的意愿。

还有各个阶段人升舱的比例。

模型的评价在应用该模型进行预算公司利益最大化时忽略了旅客想从二等舱升为头等舱的概率，想从三等舱升为二等舱的概率以及想从三等舱升为头等舱的概率，这些数据需要做一个市场调查，或者实际运行后给出加价与升舱人数的数据，我们才能给出较为准确的模型，来进行预测。

附录
ariable Value Reduced Cost
M1 460.0000 -19.00000 H1 19.00000 -460.0000 M2 324.0000 0.000000 H2 0.000000 -324.0000 M3 784.0000 -0.8163265E+19 H3 0.8163265E+19 -784.0000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.6400000E+2
2 1.000000
2 0.8163265E+19 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 1244.000 0.000000
8 460.0000 0.000000
9 324.0000 0.000000
10 784.0000 0.000000
Variable Value Reduced Cost
M1 430.0000 -49.00000
H1 49.00000 -430.0000
M2 388.0000 0.000000
H2 0.000000 -388.0000
M3 784.0000 -0.6530612E+20 H3 0.6530612E+20 -784.0000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.5120000E+23 1.000000
2 0.6530612E+20 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 1214.000 0.000000
8 430.0000 0.000000
9 388.0000 0.000000
10 784.0000 0.000000
Variable Value Reduced Cost
M1 630.0000 -0.4159289E+23 H1 0.2228642E+24 -630.0000
M2 0.000000 0.000000
H2 0.000000 0.000000
M3 311.0000 -0.4159289E+23 H3 0.2228642E+24 -311.0000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2097152E+27 1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.2228642E+2
4 0.000000
4 0.000000 0.1812713E+24
5 311.0000 0.000000
6 630.0000 0.000000
7 0.000000 0.1812713E+24
8 630.0000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 311.0000 0.000000。