汕头市河浦中学2012届高三第一学期练习试卷(理数)

汕头市河浦中学2012届高三第一学期练习试卷
数学（理科）
一、选择题：
1．函数()x x f 2
sin =的最小正周期为 A ．π B.π2 C. π3 D. π4
2．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时
的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时
至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为
A. 6万元
B. 8万元
C. 10万元
D.12万元
4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，
则a 的值为
A. 10-
B. 17
C. 5
D. 2
5．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)，
若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是
A ．5>i ? B. 6>i ?
C. 7>i ?
D. 8>i ?
6．已知p ：关于x 的不等式022
>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ，
则p 是q 的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
7．在()n n n x a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中，若0252=+-n a a ，则自然数n 的值是
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．在区间[]1,0上任意取两个实数b a ,，则函数()b ax x x f -+=
321在区间[]1,1-上有且仅
一个零点的概率为
A ．
81 B ．41 C ．43 D ．8
7
二、填空题：
9. 若()22log 2=+a ，则=a
3 . 10．若⎰a
x 0d x =1, 则实数a 的值是 .
11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示，
则该几何体的侧面积为 cm 2.
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有3132-=
n n a S ，且91<<k S （∈k N *），则1a 的值为 ，k 的值为 .
13．若,a b R +∈，且,a b M b a
≠=N a b =M 与N 的大小关系是 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为 .
15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O
于C B ,两点，︒=∠=
30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .
三、解答题：
16.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且5
3cos ,2==B a . (1)若4=b , 求A sin 的值;
(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.
17. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥,
F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点，连接EF DF DE ,,.
(1)求证: 平面//DEF 平面ABC ;
(2) 若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时,
求二面角D EF A --的余弦值.
参考答案
一、选择题：ABCDACBD
二、填空题：
9．9 10．2 11．80 12．-1；4
13．M N > 14．34 15. 1
三、解答题：
16．解: (1)∵05
3cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 5
4cos 1sin 2=-=B B . 由正弦定理得B
b A a sin sin =. ∴5
24542sin sin =⨯==b B a A . (2)∵,4sin 2
1==∆B ac S ABC ∴45
4221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c . 由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,
∴175
352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b . 17． (1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点，
∴DE 是△PAB 的中位线.
∴AB DE //.
∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC
∴//DE 平面ABC .
同理可证 //DF 平面ABC .
∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,
∴平面DEF // 平面ABC .
(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法:
解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA
∴4222==+BC AC AB .
∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=3
1
AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2
131 AC AB ⨯⨯⨯=26
1 2
312
2AC AB +⨯≤ 2
312
BC ⨯= 3
2=
. 当且仅当AC AB =时等号成立，V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=. 解法2：设x AB =，在Rt △ABC 中，2224x AB BC AC -=-=
()20<<x . ∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=
31
AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131
2431x x -=
42431x x -=
()423122+--=x . ∵40,202<<<<x x ,
∴ 当22=x ，即2=x 时，V 取得最大值，其值为3
2，此时2==AC AB . 求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法:
解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG .
∵ ⊥PA 平面ABC ，平面//ABC 平面DEF ,
∴ ⊥PA 平面DEF .
∵ ⊂EF 平面DEF , ∴ ⊥PA EF .
∵
D PA DG = , ∴ ⊥EF 平面PAG .
∵⊂AG 平面PAG , ∴⊥EF AG .
∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角. 在Rt △EDF 中,121,2221====
=BC EF AB DF DE , ∴2
1=DG .
在Rt △ADG 中,2
541122=+=+=DG AD AG , 552
5
21
cos ===∠AG DG AGD . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为5
5. 解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系
xyz A -,
则()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A .
∴⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,22,22,1,0,22.
设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,
∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0EF n AE n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.0222
2,022y x z x 令2=x , 则1,2-==z y . ∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量. ∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,,
∴()()()5
511221
222=⨯-++==DA n DA n cos . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为
5
5.。