专题47 两个基本计数原理知识点
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
(精品计数原理基本知识点
(精品计数原理基本知识点计数原理是离散数学中的一个重要分支，用于研究计数和排列组合问题。
它在实际应用中有着广泛的应用，例如密码学、组合优化、统计学等领域。
以下是关于计数原理的基本知识点：1.乘法原理：乘法原理用于计算多个独立事件同时发生的总数。
根据乘法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A和B 同时发生的可能性为m×n种。
2.加法原理：加法原理用于计算两个或多个事件分别发生的总数。
根据加法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A或B发生的可能性为m+n种。
3.排列：排列是指从一组对象中选择一部分进行排列的方式。
如果有n个对象要排列，只选取其中的k个进行排列，那么排列的可能性总数可以表示为P(n,k)。
排列的计算公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!4.组合：组合是指从一组对象中选择一部分对象，不考虑其顺序的方式。
如果有n个对象要选择，只选取其中的k个进行组合，那么组合的可能性总数可以表示为C(n,k)。
组合的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)5.递推关系：递推关系是计数原理中常用的一种思维方法。
通过建立递推关系，可以从已知的计数问题推导出更复杂的计数问题的解。
例如，在排列和组合中可以使用递推关系快速计算出较大规模的情况。
6.容斥原理：容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的大小。
根据容斥原理，若存在n个集合A_1、A_2、..、A_n，那么它们的并集的大小为：A_1∪A_2∪...∪A_n，=Σ，A_i，-Σ，A_i∩A_j，+Σ，A_i∩A_j∩A_k，-...+(-1)^(n-1)，A_1∩A_2∩...∩A_n7.应用举例：计数原理的应用举例有很多，例如密码学中的密码破解问题，通过计算排列或组合的可能性来确定破解密码的策略。
另外，在组合优化问题中，例如旅行商问题(TSP)、集合覆盖问题等，也可以使用计数原理来计算问题的解。
两个基本原理-PPT课件
例1、某班共有男生28名、女生20名，
从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种
不同的选法？
（2）
若学校分配给该班2名代表，且男女生代表
各1名，有多少种不同的 不同方法各有多少种？
A
B （1）
A
B
（2）
8
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册
1.1 两个基本计数原理
1
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有 2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
2
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
例5、自然数2520有多少个正约数？
例6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
15
时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设
置的信箱中，
（1）
密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一
个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，
或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的
密码共有多少个？
（3）密码
为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一
个。这样的密码共有多少个？
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目，每人报一项，共有多少种报名 方法？
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
比如，计算从家到学校有多少种不同的路线，或者在商店里挑选衣服时有多少种搭配方式。
而在解决这些计数问题时，两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就发挥着至关重要的作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有m2 种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
为了更好地理解加法原理，我们来看一个例子。
假设你要从 A 地去B 地，有三种交通方式可以选择：飞机、火车和汽车。
如果选择飞机有 5 个航班可选，选择火车有 10 趟车次可选，选择汽车有 8 趟班车可选。
那么从 A 地到 B 地，总的出行方式就有 5 ＋ 10 ＋ 8 ＝ 23 种。
在这个例子中，选择飞机、火车、汽车这三种交通方式是相互独立的，彼此之间没有交叉和关联。
无论选择哪种方式，都能够完成从 A地到 B 地的行程。
所以，我们只需要将每种方式的可选数量相加，就可以得到总的出行方式数量。
再来看乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如说，你要从你的衣柜里挑选一套衣服出门，上衣有 5 件可选，裤子有 3 条可选。
那么你搭配出一套衣服的方式就有 5 × 3 ＝ 15 种。
这里，挑选上衣和挑选裤子是两个相互独立的步骤。
只有先完成挑选上衣的步骤，才能进行挑选裤子的步骤。
而且，对于每一件上衣，都可以与 3 条裤子进行搭配；对于每一条裤子，也都可以与 5 件上衣进行搭配。
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
排列与组合知识点
排列与组合一、两个基本计数原理：（排列与组合的基础）1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.二、排列与组合（1）排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号mn A 表示对排列定义的理解：1、定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。
比如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等） 排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法（排除法）、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法（排除法）：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学世界中，经常会遇到需要计算可能性、数量或者方案的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决这类问题的得力工具。
它们虽然看似简单，但却有着极其重要的应用和深刻的内涵。
先来说说加法原理。
想象一下，你要从北京去上海，有两种交通方式可以选择，一种是坐飞机，另一种是坐高铁。
那么你去上海的方式总共有几种呢？答案很明显，就是 2 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理说的是，如果完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂点的例子。
假设你周末想去运动，有三种选择：打篮球、踢足球或者打羽毛球。
如果打篮球有 5 个场地可以选择，踢足球有 3 个场地可以选择，打羽毛球有 4 个场地可以选择，那么你周末运动的场地选择总共有多少种呢？根据加法原理，就是 5 ＋ 3 ＋ 4＝ 12 种。
加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且这些类之间是相互独立的，没有重叠和交叉。
接下来聊聊乘法原理。
假如你要从 A 地去 B 地，中途需要经过 C 地中转。
从 A 地到 C 地有 3 条路线可以选择，从 C 地到 B 地有 2 条路线可以选择。
那么从 A 地经过 C 地到 B 地总共有多少条路线呢？答案是 3×2 ＝ 6 条。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是说，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
乘法原理的核心在于“分步”，每一步都不能单独完成这件事，只有完成所有步骤，才能最终完成这件事，而且每一步的方法之间是相互独立的。
2019年高考数学 考点一遍过 专题47 两个基本计数原理 理.doc
2019年高考数学 考点一遍过 专题47 两个基本计数原理 理（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.1．两个计数原理【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．2．两个计数原理的区别与联系考向一 分类加法计数原理（1）分类加法计数原理的特点：①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．（3）应用分类加法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．典例1 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有A．10种B．11种C．12种D．13种【答案】C由分类加法计数原理得，共有3＋2＋1＋1＋2＋3=12种不同的方法．故选C.1．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人．要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为A．18 B．15C．12 D．9考向二分步乘法计数原理应用分步乘法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．典例2 某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是A．8 B．7C．11 D．12【答案】Da ab bc c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列2．将字母,,,,,方法共有A．12种B．18种C．24种D．36种考向三两个计数原理的综合应用（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有123,,,,{}n a a a a 的子集有2n个，真子集有21n个．典例3 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样的三位数共有 A ．240个 B ．249个 C ．285个 D ．330个【答案】C当十位数字是6时有3×3=9种结果， 当十位数字是7时有2×2=4种结果， 当十位数字是8时有1种结果，所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果． 【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略：(1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决． (2)与几何有关的问题．可先分类，再分步解决．(3)涂色问题．可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成．3．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有种.1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种C．54种D．720种2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示：如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有A．4种B．5种C．9种D．20种3．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种D ．20种4．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有 A ．8种 B ．12种 C ．16种D ．20种5．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是A ．6B ．10C ．12D ．246．从1,2,,9这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是A ．6B ．9C ．20D ．257．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有 A ．30种 B ．80种 C ．96种D ．960种8．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有 A ．510种 B ．105种 C ．50种D ．以上都不对9．已知集合{}{}1,2,34,5,6,7M N =-=--,，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为 A ．18 B ．16 C ．14D ．1010．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有A ．24种B ．72种C ．84种D ．120种11．已知a ∈{3,4,5}，b ∈{1,2,7,8}，r ∈{8,9}，则方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2可表示不同圆的个数为______个．12．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的积的结果有____________种．13．如图所示的几何体由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱111ABC A B C 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．14．将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，则4号盒子中至少有一个球的放法有________种．15．为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答)1．(2016年高考新课标Ⅱ卷)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．92．(2016年高考新课标Ⅲ卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个3．(2013年高考福建卷) 满足a ，b ∈{−1,0,1,2}，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为A ．14B ．13C ．12D ．104．(2013年高考山东卷) 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A ．243 B ．252 C ．261D ．2795．(2014年高考安徽卷) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 A ．24对 B ．30对 C ．48对D ．60对1．【答案】D【解析】若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种； 若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种； 若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3种， 所以共有3+3+3=9种不同的安排种数． 2．【答案】A3．【答案】72【解析】给五个区域标记号A 、B 、C 、D 、E (如图所示)，则A 区域有4种不同的涂色方法，B 区域有3种，C 区域有2种，D 区域有2种，但E 区域的涂色依赖于B 与D 所涂的颜色，如果B 与D 颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．(1)当B 与D 同色时，有4×3×2×1×2=48种． (2)当B 与D 不同色时，有4×3×2×1×1=24种． 故共有48＋24=72种不同的涂色方法． 【名师点睛】涂色问题大致有两种方案：（1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算.（2）首先根据涂色时所用色数的多少，进行分类处理，然后在每一类的涂色方案的计算上需要用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．1．【答案】D2．【答案】C【解析】这名同学可以选择A，B两所大学的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4=9(种)．【名师点睛】使用分类加法计数原理时，要根据问题的特点确定一个分类的标准．3．【答案】B【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类．若选ABCD和A1B1C1D1两个面，另一个面可以是ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和ADD1A1中的一个，有4种．同理选另外相对的2个面也有4种．所以共有4×3=12(种)．4．【答案】D【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类：(1)“多面手”入选，则有6＋2=8(种)选法；(2)“多面手”不入选，则有6×2=12(种)选法．因此选法共有8＋12=20(种)．5．【答案】B故共有6+4=10种情况.6．【答案】C种，选C.【解析】有5个奇数，4个偶数，所以要使和为奇数必取一奇一偶，即有54=207．【答案】D【解析】完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成：第一步：从甲种型号中选一台，有10种不同的方法；第二步：从乙种型号中选一台，有8种不同的方法；第三步：从丙种型号中选一台，有12种不同的方法；根据分步乘法计数原理，得10×8×12=960(种)．因此共有960种不同的方法．【名师点睛】利用分步乘法计数原理解题时，首先要确定一个可行的分步标准，其次，还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成．8．【答案】A【解析】任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法都有5种，由分步计数原理知N=510.故选A.9．【答案】C4×2=8(个)．综合上面两类，利用分类计数原理，共有6＋8=14(个)．故选C.10．【答案】C【解析】如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2=48(种)．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3=36(种)．共有84种．11．【答案】24【解析】确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步计数原理知N=3×4×2=24(个)．12．【答案】8【解析】第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字最大者6的积3×6=18＜20，4×5=5×4=20，4×6=6×4=24，5×5=25，5×6=6×5=30，6×6=36，以上积的结果分别为20,24,25,30,36，共8种．13．【答案】12【解析】先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有3×2×1×2=12种．3714．【答案】【解析】若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2=12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2=12(种)方案，所以共有24种推荐方案．1．【答案】B【解析】由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，则共有6×3=18种走法，故选B.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 2．【答案】C【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由上表知，不同的“规范01数列”共有14个，故选C.【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 3．【答案】B【解析】当0a =时，关于x 的方程为20x b +=，此时有序数对()()()0,10,00,102),(-，，，均满足要求；当0a ≠时，440ab ∆=-≥，所以1ab ≤，此时满足要求的有序数对为()()(1,11,01,11,2)()-----,,,,()()()111,01,1212,0()()--,,,，,,．综上，共有13个满足要求的有序数对． 4．【答案】B648=252. 5．【答案】C【解析】解法一（直接法）：如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样11AC 对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．解法二（间接法）：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，其中，互相垂直的有12对，互相平行的有6对，所以成角为60°的共有212C 12648--=对．。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算可能性或数量的情况。
而解决这些问题的有力工具，就是两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从北京去上海，有三种交通方式可以选择：飞机、高铁和汽车。
那么你去上海的方法总数，就是这三种方式的总和，这就是加法原理。
简单来说，加法原理就是指完成一件事，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，学校组织活动，周一到周五每天都有不同的活动安排，周一可以选择参加篮球比赛或者足球比赛，周二可以选择参观博物馆或者参加文艺表演，周三可以选择参加志愿者活动或者科技竞赛，周四可以选择参加书法比赛或者绘画比赛，周五可以选择参加演讲比赛或者辩论赛。
那么这一周内你参加活动的选择总共有多少种呢？答案就是把每天的选择数相加，即 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 10 种。
再来说说乘法原理。
假如你要从A 地去B 地，中途需要经过C 地，从 A 地到 C 地有 3 条路可走，从 C 地到 B 地有 2 条路可走。
那么从 A地经过 C 地到 B 地，一共有多少种走法呢？答案是 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
具体而言，乘法原理是指完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
比如，你要搭配一套衣服，上衣有 3 种选择，裤子有 2 种选择，鞋子有 2 种选择。
那么你能搭配出的服装总数就是 3×2×2 ＝ 12 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
无论是计算物品的数量、安排活动的方案，还是解决各种数学问题，都离不开计数原理。
而其中最基本的两个计数原理就是加法原理和乘法原理。
加法原理，简单来说，就是完成一件事情，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，我们要从 A 地去 B 地，有三种交通方式可以选择：坐火车、坐汽车或者坐飞机。
如果坐火车有 5 个车次可选，坐汽车有 8 个班次可选，坐飞机有 3 个航班可选，那么从 A 地去 B 地总的出行方式就有 5 ＋ 8 ＋ 3 ＝ 16 种。
再举个例子，一个班级组织活动，同学们可以选择参加体育运动、文化活动或者艺术表演。
参加体育运动有篮球、足球、羽毛球三种项目；参加文化活动有书法、朗诵、写作三种形式；参加艺术表演有唱歌、跳舞、小品三种类型。
那么同学们选择参加活动的方式就有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 9 种。
从这些例子可以看出，加法原理的关键在于“分类”，各类办法之间相互独立，每一类办法中的方法都能单独完成这件事情。
接下来我们再看乘法原理。
乘法原理是指完成一件事情，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如，我们要给一个密码锁设置密码，密码由三位数字组成。
第一位数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任选一个，第二位数字同样有 10 种选择，第三位数字也有 10 种选择。
那么设置密码的总方案数就是 10 × 10 × 10 ＝ 1000 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决各种计数问题提供了重要的方法和思路。
先来说说加法原理。
加法原理可以这样来理解：假如完成一件事情有若干种不同的方式，而每一种方式都能够独立地完成这件事情，那么完成这件事情的方法总数，就等于把每种方式的数量相加。
比如说，从 A 地到 B 地，你可以选择坐火车、汽车或者飞机。
如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种车次可选，坐飞机有 4 种航班可选，那么从 A 地到 B 地总的出行方式就有 3 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 9 种。
再举个例子，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生 7 名，那么总的候选人数量就是 5 ＋ 7 ＝ 12 名，也就是选班长的可能性有 12 种。
加法原理的关键在于，这些不同的方式之间是相互独立的，不存在交叉或者重复的情况。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是指：如果完成一件事情需要分步骤进行，完成第一步有m 种方法，完成第二步有n 种方法，以此类推，完成第 k 步有 p 种方法，那么完成这件事情的总的方法数就是把这些步骤的方法数相乘，即m × n × … × p 。
比如说，你要从你的家去学校，首先要选择一种交通工具，有公交车、自行车、步行 3 种选择；选好交通工具后，又要选择走哪条路，假设每条交通方式都对应着 2 条不同的路线。
那么你去学校的总路线数就是 3 × 2 ＝ 6 种。
再比如，一个密码由三位数字组成，第一位数字可以是 0 到 9 中的任意一个，第二位数字同样可以是 0 到 9 中的任意一个，第三位数字也是如此。
那么总共可能的密码数量就是 10 × 10 × 10 ＝ 1000 种。
乘法原理的重点在于，每一步的选择都是相互依存的，前一步的选择会影响到后一步的可能性。
高二数学两个基本计数原理及排列组合
一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1*m2*...*m n种不同的方法.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3的五次3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是分两类.第一类有5种选法;第二类有4种选法.共9种（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？这样的等比数列有：1、2、4；4、2、1；2、4、8；8、4、2；1、3、9；9、3、1；4、6、9；9、6、4，共计8个，故答案为：8．5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？取中文和英文:9*7=63取中文和日文:9*5=45取英文和日文:7*5=35总共:63+45+35=143二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示.（4）从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决计数问题的两把神奇钥匙，能帮助我们轻松应对各种复杂的情况。
首先，咱们来聊聊加法原理。
想象一下，你要从家去学校，有三条不同的路可以选择，分别是小路、大路和中间的那条道。
那么，你从家到学校的走法一共有几种呢？很简单，就是这三条路的总和，也就是 3 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生3 名。
那么选班长的可能性一共有多少种呢？答案就是 5 ＋ 3 ＝ 8 种。
因为选男生当班长是一类办法，有 5 种可能；选女生当班长是另一类办法，有 3 种可能。
把这两类办法的数量加起来，就是总的可能性。
再比如，你周末想去看电影，有喜剧片、动作片和科幻片三种类型的电影可以选择，每种类型分别有 5 部、4 部和 3 部正在上映。
那么你能选择的电影总共有多少部呢？这时候就要用加法原理，5 ＋ 4 ＋ 3 ＝12 部。
接下来，咱们说一说乘法原理。
假设你早上起床要穿衣服，上衣有3 件不同的款式，裤子有 2 条不同的款式。
那么你搭配衣服的方式有几种呢？这就要用到乘法原理啦，因为你选上衣有 3 种选择，选裤子有 2 种选择，所以总的搭配方式就是 3×2 ＝ 6 种。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的方法。
它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。
以下是关于这两个基本计数原理的详细介绍。
一、加法原理加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。
具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。
加法原理适用于以下情况：1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。
例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=22.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的重叠部分的总数。
例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人既会弹吉他又会弹钢琴。
那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7二、乘法原理乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数问题的方法。
具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。
乘法原理适用于以下情况：1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=122.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4总结：加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。
加法原理用于计算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操作实现。
两个基本计数原理
N432 24.
答:从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,共有 24种不同的取法.
数学应用
例2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别挂在左、右两边墙 上的指定位置, 共有多少种不同的挂法? (还有没有其他做法？)
分类分步计数原理 思路: 先挂一边墙, 再挂另一边墙.
穷举法
树形图
... ... ... ... , 在第 n类方案中有 mn 种不同的方法.
完成这件事不同的方法种数为：
Nm1m2…mn
分步计数原理. 如果完成一件事需要三个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法, 做第 3 步有 m3 种不同的方法，
... ... ... ... , 做第 n 步有 mn 种不同的方法.
第二类, 从甲经丙到丁,
丙地
丁地
也分两步： 第一步有 4 条路线, 第二步有 2 条路线,
第二类共有 428 种路线. ∴ 不同的路线种数共有 N6814. (答略)
课堂小结
计数原理的应用 1、分清是分类还是分步问题 （1）采用不同的方案都可完成事件属分类; （2）要分几步才能完成事件, 则每运作一次只是一步.
∴共有线路为 N314 8, 答: 共有 8 条不同的线路.
数学建构
穷举法
树形图
计数
分类计数
分类
之间 联系？
分类 变 分步
每一类的方法个数相同时
10 10 10 10 10 50 510 50
分步计数
分步
既能用分类计数(加法)原理，
也能用分步计数(乘法)原理
课堂达标
1.一件工作可以用 2 种方法完成, 有 5 人只会用第 1 种方法完成, 另有 4 人只会用第 2 种方法完成, 从中选出 1 人来完成这件工作, 不同选法的种数是 9 ; 解: (1) 从5人或4人中任选 1 人都能完成这件工作, 属分类问题, 第一类, 从5人中选 1 人, 有5种方法; 第二类, 从4人中选 1 人, 有4种方法. 所以不同选法种数为 N54 9. 2. 用 1, 5, 9, 13 中任意一个数作分子, 4, 8, 12, 16 中任意一 个数作分母, 可构造多少个不同的分数?
《两个基本计数原理》课件
决策树应用
决策树可以用于解决多阶段决策 问题，如资源分配、路径规划等
。
Part
03
分步计数原理的应用
组合数学问题
组合数学问题
分步计数原理在组合数学问题中有着广泛的应用。例如， 在排列组合、概率论和统计学等领域，分步计数原理可以 帮助我们计算不同事件同时发生的可能性。
排列组合问题
排列组合问题涉及到从n个不同元素中取出m个元素（ n>m）的所有排列的个数。分步计数原理可以帮助我们计 算这些排列的数量。
P(A) = m/n，其中m是 事件A发生的次数，n是 试验的总次数。
互斥事件
两个事件不能同时发生， 即两个事件的概率之和为 1。
决策树问题
决策树概念
决策树是一种表示决策过程的方 法，其中每个内部节点表示一个 决策，每个分支表示一个可能的 决策结果，每个叶节点表示一个
状态点 开始，按照决策逻辑逐步构建决
例如，一个骰子有6个面，每个面出现的概率是1/6，掷出骰子的总概率就是6个面各自概率 的和。
分步计数原理
01
分步计数原理也被称为乘法原理。
02
它的主要内容是：如果一个事件E的发生需要连续进行$n$个彼此互斥的子事件 $D_1, D_2, ..., D_n$，且这$n$个子事件的发生是两两独立的，那么事件E发生 的概率为：$P(E) = P(D_1) times P(D_2) times ... times P(D_n)$。
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排列
通过具体实例展示排列组 合的应用，帮助理解两个 基本计数原理。
STEP 03
组合
以某班级学生参加运动会 为例，计算选择不同项目 参赛的组合方式。
以某班级学生参加运动会 为例，每个项目可以由不 同学生报名，计算不同项 目的排列方式。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
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．两个计数原理
分类加法计数原理分步乘法计数原理
条
件
完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种
不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m
种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结
论
完成这件事共有N m n
=+种不同的方法完成这件事共有N m n
=⨯种不同的方法
【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则
就分步处理．
2．两个计数原理的区别与联系
原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、
一次的，且每次得到的是最后结果，只需一
种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都
不能独立完成这件事，缺少任何一步也不
可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏
1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种
C．54种D．720种
2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示：
A大学B大学
生物学数学
化学会计学
医学信息技术学
物理学法学
工程学
如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有
A．4种B．5种
C．9种D．20种
3．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有
A．8种B．12种
C．16种D．20种
4．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有
A．30种B．80种
C．96种D．960种
5．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有A．510种B．105种
C．50种D．以上都不对
6．(2013年高考山东卷)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A．243 B．252
C．261 D．279。