高考数学串讲一 函数
高考数学夺高分题型大串讲：正弦、余弦、正切函数的图像和性质
2014高考数学“提高分”之好题速递【考点排查表】一、选择题1．函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫43π，0中心对称，则|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 由3cos ⎝⎛⎭⎫2×43π＋φ＝0得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，即23π＋φ＝π2＋kπ，φ＝－π6＋kπ，当k ＝0时|φ|＝π6.【答案】 A2．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3【解析】 函数f(x)＝sin x ＋φ3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋φ3，因为函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋φ3为偶函数，所以φ3＝π2＋kπ，所以φ＝3π2＋3kπ，k ∈Z ，又φ∈[]0，2π，所以当k ＝0时，φ＝3π2，选C.【答案】 C3．已知ω>0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图象中两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4【解析】 因为x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的对称轴，所以5π4－π4＝T 2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin(x ＋φ)，因为x ＝π4是函数的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋kπ，所以φ＝π4＋kπ，因为0＜φ＜π，所以φ＝π4.【答案】 A4．若函数f(x)同时满足下列三个条件：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间 [－π6，π3]上是增函数．则y ＝f(x)的解析式可以是( )A ．y ＝sin(2x －π6)B ．y ＝sin(x 2＋π6)C ．y ＝cos(2x －π6)D ．y ＝cos(2x ＋π3)【解析】 逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B ；又∵cos(2×π3－π6)＝cos π2＝0，故y ＝cos(2x －π6)的图象不关于直线x ＝π3对称，故排除C.令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π2＋2kπ，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k ∈Z ，∴函数y ＝sin(2x －π6)在[－π6，π3]上是增函数．【答案】 A5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【解析】 令2x ＋π3＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ2＋π12(k ∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x＝π12.本题也可用代入验证法来解．【答案】 D6．(2012·全国新课标高考)已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]【解析】 由题意得π2＋2kπ≤ωx ＋π4≤3π2＋2kπ，即π4＋2kπ≤ωx≤5π4＋2kπ，所以π4ω＋2kπω≤x≤π4ω＋2kπω，k ∈Z ，当k ＝0时，π4ω≤x≤5π4ω，又π2＜x ＜π，所以有π4ω≤π2，5π4ω≥π，解得ω≥12，ω≤54，即12≤ω≤54.【答案】 A二、填空题7．(2012·湖南高考)函数f(x)＝sinx －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为________．【解析】 f(x)＝sinx －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π6∈[－1,1]，∴f(x)值域为[－3，3]． 【答案】 [－3，3]8．(2011·山东高考)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【解析】 ∵y ＝sin ωx(ω＞0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y ＝sin x 是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx(ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32. 【答案】 329．(2011·山西六校模考)若f(x)＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．【解析】 依题意得，函数f(x)的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时函数f(x)取得最值，因此有±2＋m ＝－3，∴m ＝－5或m ＝－1.【答案】 －5或－1三、解答题10．(2012·南通调研)设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．【解】 (1)令2×π8＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝kπ＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2kπ≤2x －3π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ，可解得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k ∈Z ，因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋kπ，5π8＋kπ，k ∈Z.11．设函数f(x)＝3sin(ωx ＋π6)，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知f(α4＋π12)＝95，求sin α的值．【解】 (1)由题设可知f(0)＝3sin π6＝32.(2)∵f(x)的最小正周期为π2，ω＞0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f(x)＝3sin(4x ＋π6)．(3)由f(α4＋π12)＝3sin(α＋π3＋π6)＝3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos2α＝±45.12．(文)(2010·湖南)已知函数f(x)＝sin 2x －2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x 的集合．【解】 (1)因为f(x)＝sin 2x －(1－cos 2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1. 所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，当2x ＋π4＝2kπ＋π2，即x ＝kπ＋π8(k ∈Z)时，f(x)取最大值2－1.因此函数f(x)取最大值时，x 的集合为{x|x ＝kπ＋π8，k ∈Z}．(理)已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞1)为偶函数，图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数．(1)求f(x)；(2)求y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间． 【解】 (1)f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， ∵f(x)为偶函数，∴对任意x ∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立，由sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6整理得：sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0， ∵上式对ω＞0，x ∈R 恒成立，则有：cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0，而0＜φ＜π， ∴φ－π6＝π2.∴f(x)＝2cos ωx.∵图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫3π4＝2cos 3πω4＝0. ∴3πω4＝π2＋kπ.即：ω＝23(2k ＋1)，(k ∈N*)∵ω＞1；当k ＝1时，ω＝2，f(x)＝2cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数． 当k≥2时，ω≥103，∴T ＝2πω≤3π5，T 2≤3π10＜π2.∴f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故ω＝2， ∴f(x)＝2cos 2x.(2)y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，[中#国教#育出#版网] 令2kπ≤2x －π3≤π＋2kπ，得：π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ.∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋kπ，2π3＋kπ，(k ∈Z)． 四、选做题13．已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg [g(x)]＞0，求g(x)的单调区间．【解】 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a]． ∴f(x)∈[b,3a ＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2， b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg [g(x)]＞0得g(x)＞1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＞12， ∴2kπ＋π6＜2x ＋π6＜2kπ＋5π6，k ∈Z ，其中当2kπ＋π6＜2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋π6，k ∈Z ，∴g(x)的单调增区间为⎝⎛⎦⎤kπ，kπ＋π6，k ∈Z. 又∵当2kπ＋π2≤2x ＋π6＜2kπ＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即kπ＋π6≤x ＜kπ＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫kπ＋π6，kπ＋π3，k ∈Z.。
高三数学辅导讲座 函数一.ppt
2)2 3
4 3
x(3x 4)
【解法2】 设x＜0，则－x＞0 ∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x) ∵ f ( x )是奇函数， ∴ f (－x) = －f ( x ) ∴ x＜0时， f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)．
若把问题改为: f ( x )满足f ( 1+x ) = f (3- x ) ， x＞2时，f ( x ) = x ·(4－3x)，那么x＜2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.
例4 函数y = f ( x )在 (-∞,0] 上是减函数，而函数 y = f (x+1)是偶函数．设a f (log 1 4) ， b = f ( 3 ) ，
2
c = f (arccos (－1))．那么a，b，c的大小关系是____.
【解】 a f (log 1 4) f (2, )
2
问题：函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(dx)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是,周期是多
少?
例6.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有 f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的
这里主要研究运用函数的概念及函数的性质 解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值 域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对 称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不 等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相 关性质，可以使得问题得到简化，从而达到 解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里 不再赘述，请大家参阅高中数学教材 复习, 这里以例题讲解应用
一.函数的对称性
例1 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有 （1）f (a－x) = f ( b + x )，这里a，
第24讲+两角和与差的正弦、余弦和正切公式(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲
π
4
， ∈
π
4
=
2cos ，即cos −
π π
,
4 2
，所以 −
π
= = ，则 =
4
π
,
2
π
4
∈ 0,
π
π
4
π
4
= cos
，
π
= 故 − = ．
4
4
π
4
π
4
2 sin sin + cos cos =
2cos ቀ −
8.（2024·江苏南通·高三校考期中）在△ 中，若tan + tan + 2 =
2tantan，则tan2 =_________．
tan（+2）−tan
1+tan（+2）tan
＝
2−（−3）
1+2×（−3）
＝－1，tan α＝tan(α＋β－β)＝
−1−（−3）
1+(−1）×（−3）
1
2
＝ .
【最新模拟练】
1. [2024河北石家庄模拟]已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程 x 2＋4 x －3＝0的
sin2
余弦
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α－β)
正切
tan α－tan β
tan(α－β)＝
1＋tan αtan β
T(α－β)
2.二倍角的三角函数
三角
函数
正弦
二倍角
简写形式
2sin αcos α
sin 2α＝____________
S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2024高考数学函数精练42讲讲义妙招
2024高考数学函数精练42讲讲义妙招
2024年高考数学函数精练42讲讲义妙招
一、函数的概念与性质
1. 函数的定义域和值域：理解函数定义域和值域的概念，掌握如何求解函数的定义域和值域的方法。
2. 函数的单调性：理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
3. 函数的奇偶性：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
4. 函数的周期性：理解函数周期性的概念，掌握判断函数周期性的方法。
二、函数的图像与变换
1. 函数的图像：掌握如何绘制函数的图像，了解不同类型函数的图像特征。
2. 函数的平移变换：理解函数平移变换的概念，掌握如何进行函数的平移变换。
3. 函数的对称变换：理解函数对称变换的概念，掌握如何进行函数的对称变换。
4. 函数的伸缩变换：理解函数伸缩变换的概念，掌握如何进行函数的伸缩变换。
三、函数的导数与微积分
1. 导数的概念与性质：理解导数的概念，掌握导数的计算方法，了解导数的几何意义。
2. 导数的应用：掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法。
3. 微积分基本定理：理解微积分基本定理的概念，掌握如何应用微积分基本定理进行计算。
4. 微积分的应用：了解微积分在解决实际问题中的应用，如求曲线的长度、面积和体积等。
四、复合函数与反函数
1. 复合函数：理解复合函数的概念，掌握如何求解复合函数的表达式。
2. 反函数：理解反函数的概念，掌握如何求解反函数的表达式。
3. 复合函数和反函数的图像：掌握如何绘制复合函数和反函数的图像，了解图像的特征。
人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第01讲 函数的概念及其表示知识点必背》
第01讲 函数的概念及其表示知识点必背 1、函数的概念
设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作()y f x =,x A ∈.
其中:x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域
与x 的值相对应的()f x 值叫做函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域.
2、同一(相等)函数
函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
同一(相等)函数:如果两个函数的定义和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据
.
3、函数的表示
4、分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
(1)分式型函数:分母不等于零.
(2)偶次根型函数:被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)0()f x x =的定义域是{|0}x x ≠.
5.2函数求值域。
高考理科数学第一轮考点串讲复习课件27
答案
原点
y轴
0
相同
相反
4．周期函数 若 f(x)对于定义域中任意 x 均有________(T 为不等于 0 的常数)， 则 f(x)为周期函数．
答案
f(x＋T)＝f(x)
考 点 串 串 讲 1． 函数的奇偶性 (1)定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有 f(－ x)＝－ f(x)， 那么函数 f(x)就叫做奇函数． 如果对于定义域内任意一个 x， 都有 f(－ x)＝ f(x)，则称 f(x)为偶函数．
(3)函数奇偶性的变形应用 对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用 定义去证明， 要注意灵活运用定义： 当直接推证 f(－ x)＝ f(x)， 或 f(－ x)＝－ f(x)遇到困难时，可以考虑证明等式 f(－ x)－ f(x)＝ 0，或 f(－ f－ x x)＋ f(x)＝ 0 恒成立，或者证明 ＝± 1[f(x)≠ 0]恒成立，前一个技 fx 巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．
3． 函数奇偶性的判断与证明 (1)根据图象的对称性判断 奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于 y 轴 成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．
(2)根据定义判断或证明 其步骤为： 第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点 对称， 则可断言函数 y＝f(x)不具有奇偶性， 若定义域关于原点对称， 则进行下面步骤． 第二步：判断 f(－ x)＝ f(x)或 f(－x)＝－ f(x)是否成立．既可采用 定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断 f(x)＋ f(－ x)＝ 0 或 f(x)－ f(－ x)＝ 0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析． 第三步：作出结论．若 f(－x)＝ f(x)则 f(x)为偶函数，若 f(－ x) ＝－ f(x)则为奇函数，若 f(－ x)＝ f(x)且 f(－x)＝－ f(x)，则 f(x)为既 奇且偶的函数；若 f(－x)≠f(x)，且 f(－x)≠－ f(x)，则 f(x)为非奇非 偶函数．
高三数学知识点串讲
高三数学知识点串讲高三是学生们备战高考的最后一年，数学作为高考科目之一，对于学生们而言尤为重要。
掌握高三数学知识点是提高数学成绩的基础，也是冲刺高考的关键。
本文将对高三数学知识点进行串讲，帮助学生们系统复习数学知识，提升解题能力。
一、函数与导数高三数学的第一个重点是函数与导数。
函数是数学中的重要概念之一，它描述了不同元素之间的关系。
而导数则是函数的变化率，表示函数曲线在某一点的切线斜率。
接下来我们将重点讲解函数极限、导数定义及求导法则等内容。
1.1 函数极限函数极限是描述函数在某一点附近的取值情况。
极限存在与否及极限的计算方法是高三数学的重点内容。
极限存在的判定方法有有界性、夹逼定理等，极限的计算方法包括直接代入法、夹逼法、函数性质法等。
1.2 导数定义导数是函数变化率的表示，它反映了函数曲线在某一点的切线斜率。
导数的定义是数学分析中的重要内容，掌握导数定义对于后续求导法则的运用和理解极限概念具有重要意义。
1.3 求导法则求导法则是导数计算的基本规则，它包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等内容。
熟练掌握求导法则对于解题过程中的快速计算至关重要。
二、数列与数项数列与数项是高中数学中的重要概念，也是高三数学的重点之一。
数列是按照一定规律排列的一系列数，而数项则是数列中的每个元素。
接下来我们将重点讲解等差数列、等比数列和数列的求和问题。
2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列的性质包括通项公式、前n项和及求和公式等内容。
了解等差数列的性质和求和公式有助于简化计算过程，快速得到结果。
2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列的性质包括通项公式、前n项和及求和公式等内容。
掌握等比数列的特点和求和公式有助于解决与等比数列相关的问题。
2.3 数列求和数列求和是高三数学的常见题型，需要掌握的内容包括等差数列求和公式、等比数列求和公式以及部分和公式等。
文科数学高考知识点串讲
文科数学高考知识点串讲高考是每个文科生的重要考试之一，而文科数学是高考中的一门必考科目。
文科数学相对于理科数学来说，更加强调对公式和计算的理解，以及对实际问题的应用能力。
下面将为大家串讲一些文科数学高考的重要知识点，希望对大家备考有所帮助。
1. 函数与极限在文科数学中，函数与极限是非常重要的知识点。
函数是数学中最基本的概念之一，其描述了两个集合之间的关系。
函数的性质和图像可以通过函数的导数和二阶导数来分析和判断。
而极限则是函数中一个非常重要的概念。
极限可以用来研究函数在某一点的趋势以及函数在无穷远处的行为。
通过极限的计算和性质，可以更好地理解函数的图像和行为规律。
2. 幂函数与指数函数幂函数和指数函数是文科数学中常见的函数类型。
幂函数是一种函数形式为f(x) = x^a的函数，其中a为常数。
指数函数是一种函数形式为f(x) = a^x的函数，其中a为常数。
这两种函数在数学中有着广泛的应用。
例如在经济学中，可以使用指数函数来描述物价的指数变化；在生物学中，可以使用幂函数来描述物种数量的增长规律。
因此，理解和掌握幂函数和指数函数的性质和应用是非常重要的。
3. 概率与统计概率与统计是文科数学中的另一重要知识点。
概率用于描述不确定性事件的发生概率，而统计则用于对数据进行收集、整理、分析和推断。
在概率方面，我们需要了解事件的互斥与独立、条件概率、贝叶斯定理等基本概念和计算方法。
统计方面，我们需要了解如何对数据进行整理和描述，以及如何通过样本推断总体的性质。
概率与统计是近几年文科数学高考中的热点考点，对于文科生而言，掌握这些知识点是非常重要的。
4. 过程与模型过程与模型是文科数学中的一个重要主题。
过程是指一系列有规律的动作或变化，而模型是对这些过程的简化和抽象。
在文科数学中，我们常常需要通过建立数学模型来解决实际问题。
例如，在经济学中，我们可以通过建立经济模型来研究经济增长的规律；在社会学中，我们可以通过建立社会网络模型来研究人际关系的变化。
专题03 函数概念与性质(考点串讲)-高一数学上学期期末考点大串讲(苏教版2019必修第一册)
提 示
定是[1，3]吗？
提示：不一定．
考点透视 考点11.函数的最大值与最小值
最大值
最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有
条件
结论 几何意义
f(x)_≤___M
f(x)__≥___M
∃x0∈D，使得__f_(x_0_)_＝__M___
称M是函数y＝f(x)的最大值
∵g(2)＝12，
解
∴f(g(2))＝f12＝31－ ＋121222＝151.
考点透视
考点1.函数的概念
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． [点拨] (1)集合A，B是非空实数集，值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定 就是解析式． (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
提示：不一定．
考点透视
考点10.单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上__单__调__递__增___或_单__调__递__减___，那么就说函数y＝f(x)
在这一区间具有(严格的)__单__调__性___ ，___区__间__I _叫做y＝f(x)的单调区间．
[想一想] 若函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，则函数f(x)的单调递减区间一
题型剖析
题型3.求函数值
【例题 3】已知函数 f(x)＝3－x2，g(x)＝1.
1＋x2
x
(1)求 f(2)，f(3)，f(g(2))，f(g(3))；
(2)求 f(g(x))，并证明 f(x)＋f(g(x))是常数．
高中数学知识点串讲之函数
(B)(M∩P)∪S (D)(M∩P)∪( US)
3x 4 值域 5x 6
1 ,2 ，则 f (log 2 x ) 的定义域为 2
。
4.
5.
4 2 ) ，则方程 f 1 ( x ) 4 的解 x __________ x 已知不恒为零的函数 f（x）对任意实数 x、y 满足 f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋ f（y）]，则函数 f（x）是（ ） （A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当 x ＜0 时，f（x）＞1，则当 x＞0 时，f（x）的取值范围是（ ） （A）（1，＋∞） （B）（－∞，1） （C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
定义： ___________________________________________________ 定义域 定义： ____________________________ 单调性 _________________________________ 性质 判断方法 _________________________________ 函数 反函数 奇： _________________________________ 定义 偶： _________________________________ 奇偶性 证明方法： _________________________________ 二次函数 加减： ________________________________ 基本函数 指数函数 对数函数 数乘： ________________________________ 幂函数 换底公式： _____________________________ 数形结合 分类讨论 解题思想 化归 换元
高考数学二轮复习课件串讲 (1)
第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质一、主干知识要记牢1．三角函数的图象及常用性质(1)y ＝sin x――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx―――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．二、二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cosα＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．三、易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调增区间．考点一 三角函数的图象及应用1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法1．(2018·豫南联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( B )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，故选B ． 2．(2018·商丘二模)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y ＝g (x )，g (x )为偶函数，则ω的最小值为( B )A ．1B ．2C ．12D ．32解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx －ωπ3＋π6，由于函数g (x )为偶函数，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2，∴ω＝－3k －1，∴ωmin ＝－3×(－1)－1＝2.故选B ．3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为．解析 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝3．考点二 三角函数的性质及应用1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|． (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．1．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B )A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 解析 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，则T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，令k ＝0得f (x )在⎣⎡⎦⎤3π8，7π8上单调递减，故选B ．2．(2018·K12联盟联考)函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( D )A ．14B ．15C ．12D ．34解析 ∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)，∴令－π2＋2k π≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k ∈Z ，∵f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，∴－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，∴0＜ω≤12.故选D ．3．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，所以函数y ＝sin 2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4， k ∈Z .取k ＝0，得y ＝sin 2x 在区间⎣⎡⎤－π4，π4上单调递增．故选A ． 考点三 三角函数的值域与最值问题求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1． 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1．当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1． 2．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18 ．解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1， ∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18．。
高中数学冲刺串讲课教案
高中数学冲刺串讲课教案
教案标题：高中数学冲刺串讲课
教学内容：集中复习高中数学必修内容，强化重点知识点，提高学生解题能力。
教学目标：全面复习高中数学知识，帮助学生掌握知识点，提高解题能力，为高考做好准备。
教学步骤：
第一节课：函数与导数
1. 复习函数的基本概念，包括定义域、值域、奇偶性等。
2. 掌握常见函数的性质，如一次函数、二次函数等。
3. 了解导数的定义和性质，掌握常见函数的导数计算方法。
4. 解决一些典型的函数与导数相关的题目，巩固知识点。
第二节课：立体几何与向量
1. 复习立体几何的基本知识，如立体图形的表面积、体积计算方法。
2. 掌握向量的概念和运算规则，了解向量的几何意义。
3. 解决一些立体几何和向量相关的题目，提高解题能力。
第三节课：概率与统计
1. 复习概率的基本概念，包括事件、样本空间、概率计算方法等。
2. 了解统计学的基本概念，包括平均数、方差、标准差等。
3. 解决一些概率与统计相关的题目，巩固知识点。
第四节课：综合串讲与答疑
1. 对前三节课的知识点进行综合串讲，强化重点难点。
2. 为学生提供解题技巧和答题方法。
3. 针对学生提出的问题进行答疑解惑，帮助他们消除困惑，提高解题能力。
教学材料：高中数学相关教材、习题集、练习题等。
教学评价：通过课堂练习、小测验等形式对学生进行评价，帮助他们及时发现问题，及时调整学习步骤。
总结反思：对本次课程的教学效果进行总结反思，找出问题和不足之处，为下一次教学做好准备。
高考数学串讲(一)函数.doc
高考数学串讲（一） 函数一，基础知识1，函数的基本性质：（1）函数的单调性：①'()0f x >（或0<）⇒()f x 单调递增（或单调递减）； ②()f x 单调递增（或单调递减）⇒'()0f x ≥（或0≤）。
（2）函数的周期性：()()f x T f x +=，则称T 为()f x 的一个为期；若0T 是所有 周期中一个最小的正周期，则称()f x 的周期是0T 。
（3）函数的奇偶性：①()()()f x f x f x -=⇔是偶函数；②()()()f x f x f x -=-⇔是奇函数。
（注：定义域需关于原点对称）。
（4）函数的连续性：()f x 在0x x =处连续⇔00lim ()()x x f x f x →=（常数）。
（5）函数图像的对称性：若()y f x =满足()()f x a f b x +=-⇒()y f x =的图像 关于直线2a bx +=对称。
2，函数的图像：①y ax b =+，②2y ax bx c =++，③xy a =，④log a y x =， ⑤sin y x =，⑥cos y x =，⑦tan y x =，⑧cot y x =的图像。
3，函数的定义域与值域：①定义域与值域的关系：x 与y 互换；②极值：0x 是()f x 的一个极值⇒'0()0f x =；③最值：(i)对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≤,则max 0()()f x f x =; 对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≥,则min 0()()f x f x =(ii)()f x 在闭区间[,]a b 内连续,则()f x 必有最大值与最小值. (iii) ()()f x g x ≥恒成立min ()()man f x g x ⇔≥或min [()()]0f x g x -≥4，根的分布：若()f x 在闭区间[,]a b 内连续，且()()0f a f b ⋅<， 则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =。
高中数学试讲教案函数
高中数学试讲教案函数
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够理解函数的定义，掌握函数的符号表示和性质。
2. 能力目标：学生能够运用函数的相关知识解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和探索精神。
二、教学重点：
1. 函数的定义和符号表示。
2. 函数的性质和特点。
三、教学难点：
1. 运用函数的相关知识解决实际问题。
2. 培养学生对函数的理解和探索能力。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际问题引入函数的概念，引发学生对函数的思考和讨论。
2. 讲授：简要讲解函数的定义和符号表示，介绍函数的性质和特点，引导学生理解函数的基本概念。
3. 练习：让学生通过练习题目巩固函数的相关知识，培养运用函数解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生探索函数的更多应用领域，激发学生对函数的兴趣和热爱。
五、归纳总结：总结本节课学习的重点和难点，强化学生对函数的理解和掌握。
六、作业布置：布置相关作业，巩固学生对函数的学习成果。
七、评价反馈：通过课堂练习和作业检查，评价学生对函数的理解和掌握情况，及时给予反馈和指导。
八、课后反思：对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的不足之处，为下一次的教学改进提供参考。
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高考数学串讲（一） 函数
一，基础知识
1，函数的基本性质：
（1）函数的单调性：①'()0f x >（或0<）⇒()f x 单调递增（或单调递减）； ②()f x 单调递增（或单调递减）⇒'()0f x ≥（或0≤）。
（2）函数的周期性：()()f x T f x +=，则称T 为()f x 的一个为期；若0T 是所有 周期中一个最小的正周期，则称()f x 的周期是0T 。
（3）函数的奇偶性：①()()()f x f x f x -=⇔是偶函数；
②()()()f x f x f x -=-⇔是奇函数。
（注：定义域需关于原点对称）。
（4）函数的连续性：()f x 在0x x =处连续⇔0
0lim ()()x x f x f x →=（常数）。
（5）函数图像的对称性：若()y f x =满足()()f x a f b x +=-⇒()y f x =的图像 关于直线2
a b
x +=
对称。
2，函数的图像：①y ax b =+，②2
y ax bx c =++，③x
y a =，④log a y x =， ⑤sin y x =，⑥cos y x =，⑦tan y x =，⑧cot y x =的图像。
3，函数的定义域与值域：
①定义域与值域的关系：x 与y 互换；
②极值：0x 是()f x 的一个极值⇒'0()0f x =；
③最值：(i)对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≤,则max 0()()f x f x =; 对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≥,则min 0()()f x f x =
(ii)()f x 在闭区间[,]a b 内连续,则()f x 必有最大值与最小值. (iii) ()()f x g x ≥恒成立min ()()man f x g x ⇔≥或min [()()]0f x g x -≥
4，根的分布：若()f x 在闭区间[,]a b 内连续，且()()0f a f b ⋅<， 则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =。
二，跟踪训练
1，（04广东）设函数1
()1,0f x x x
=-
>。
（I ）证明：当0a b <<，且()()f a f b =时，1ab >；
（II ）点P （00,x y ）（001x <<）在曲线()y f x =上，求曲线在点P 处的切线与x 轴 和y 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用0x 表示）。
2，（04广东）设函数ln()y x x m =-+，其中常数m 为整数。
（I ）当m 为何值时，()0f x ≥；
（II ）定理：若函数()g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点
0[,]x a b ∈，使0()0g x =。
试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2[,]m m e m e m ---内有两个实根。
3，（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+， 且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==。
（I ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（II ）试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论。
4，（05全国III ）已知函数247
(),[0,1]2x f x x x
-=
∈-。
（I ）求()f x 的单调区间和值域；
（II ）设1a ≥，函数32()32,[0,1]g x x a x a x =--∈。
若对于任意1[0,1]x ∈，总存在
0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围。
5，（05辽宁）函数()y f x =在区间(0,)+∞内可导，导函数'()f x 是减函数，且'()0f x >。
设0(0,)x ∈+∞，y kx m =+是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程，并设函数
()g x kx m =+。
（I ）用0x ，0()f x ，'0()f x 表示m ； （II ）证明：当(0,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥；
三，简明提示
1，（I ）由1
1,(0,1]()11,(1,)x x
f x x x
⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，1111a
b -=-
，2ab a b =+>
（II ）切线方程为002
1()y y x x x -=-
-，2
001()(2)2A x x =-。
2，（I ）()()(1)1f x f x f m m ≥=-=-极小值，由10m -≥，得1m ≤； （II ）由1m >，()0m m f e m e ---=>，(1)10f m m -=-<，及
2222(21)
()3(11)312302
m m m m m f e m e m m m m --=->+->++
->可证。
3，（I ）2x =是()f x 的对称轴，若()f x 是奇函数，有(5)(23)(23)f f f =+=- =(1)(1)0f f -=-=，与()f x 在[0,7]上只有(1)(3)0f f ==矛盾！同理可知它也不是 偶函数；得()f x 是非奇非偶函数。
（II ）由)14()4()
14()()
4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧+=-+=-()f x ⇒
(10)f x =+，又()f x 在[0,7]上只有(1)(3)0f f ==，知()f x 在[0,10]上只有2个解，
在[0,2005]上只有2022402⨯+=个解，在[2005,0]-上只有400个解，共802个解。
4，（I ）当1
(0,)2x ∈时，()f x 是减函数；当1(,1)2
x ∈时，()f x 是增函数。
()f x 的值域是[4,3]--。
（II ）当(0,1)x ∈时，1a ≥，有()g x 为减函数，2
()[(1),(0)][123,2]g x g g a a a ∈=---， 又1()[4,3]f x ∈--，则2
[123,2][4,3]a a a ---⊇--，得3
12
a ≤≤。
5，（I ）'
000()()m f x x f x =-；
（II ）令()()()h x g x f x =-，得min 0()()()()0h x h x h x h x ≥===极小值；。