行列式的概念与性质
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
行列式大一知识点总结归纳
行列式大一知识点总结归纳行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决方程组、计算矩阵的逆、求解线性方程等方面有着广泛的应用。
在大一的线性代数学习中，行列式是必不可少的一部分。
本文将对大一学习中的行列式知识点进行总结和归纳。
一、行列式的定义行列式是一个实数或复数的方阵所特有的一个标量。
对于一个n阶的方阵A = [a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，行列式的定义如下：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)其中，(-1)^(i+j)是一个符号项，a_ij表示A的第i行第j列的元素，det(A_ij)为去掉第i行和第j列后的(n-1)阶方阵的行列式。
二、行列式的性质1. 行列式的转置等于其本身的行列式：det(A^T) = det(A)2. 互换行列式的两行（列）则行列式变号：若交换行列式A的第i行和第j行（列），则有：det(A) = -det(A')3. 行列式的某一行（列）的公因子可以提出：若A的第i行（列）的所有元素都乘以k，则有：det(A) = k * det(A')4. 行列式有一个相同的行（列）或有一个行（列）全为0，则行列式为0：若A的某一行（列）全为0，或A的某两行（列）相同，则det(A) = 0。
5. 行列式的两行（列）对换后不变：若交换A的某两行（列）位置，行列式不变：det(A) = det(A')三、行列式的计算方法1. 二阶行列式：对于二阶行列式A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式的值为： det(A) = a11 * a22 - a12 * a212. 三阶行列式：对于三阶行列式A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]，其行列式的值为：det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a323. 多阶行列式：对于n阶行列式，可以利用代数余子式与余因子展开法进行计算。
行列式与行列式的性质
行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。
本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。
对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。
二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。
这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。
2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。
3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。
这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。
4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。
5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。
三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。
这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。
3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。
行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。
4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。
行列式的认识
行列式的认识在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它是一个方阵的一个标量量度。
它在许多领域中都有着广泛的应用，包括物理，工程学，统计学和计算机图形学等。
1. 行列式的定义行列式通常表示为$det(A)$或$|A|$。
它是一个方阵的数字值，如果它是正的，则表示该矩阵是“正定”的，否则表示它是“负定”的。
一个矩阵的行列式的计算方式如下：$$ det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_i},$$其中，$n$是矩阵的阶数，$a_{i,j}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素，$S_n$是$n$个元素的置换群，$\sigma$是$S_n$中一个置换。
$\tau(\sigma)$表示置换$\sigma$的逆序数，即该置换可以通过多少次交换相邻的元素变为单位置换。
$(-1)^{\tau(\sigma)}$表示符号，当逆序数是偶数时取值为正，当逆序数是奇数时取值为负。
因此，行列式的值可以通过先列出所有可能的$n!$种置换，然后计算每个置换的贡献来得到。
2. 行列式的性质行列式有许多令人惊讶的性质。
以下是一些重要性质的概述：2.1 行列式的性质1：任意交换矩阵的两行或两列，行列式的值会发生反转。
根据上述公式，当交换两行时，置换的符号改变了，因为逆序数的奇偶性改变了。
当交换两列时，置换的奇偶性也改变了，因此结果符号仍然改变。
例如，对于一个3x3的矩阵A，如果我们交换第1行和第2行，那么行列式的值将由$det(A)$变为$-det(A)$。
2.2 行列式的性质2：如果矩阵的两行或两列成比例，那么该行列式的值为零。
如果两行成比例，那么矩阵的行列式为零，因为对于任何置换$\sigma$，这两行的元素始终被映射到了同一列。
结果是，对于每个乘积$a_{i,\sigma_i}$，该乘积乘以一个相同的因子$a_{j,\sigma_j}=ka_{i,\sigma_j}$，其中$k$是一个常数。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
行列式的认识
行列式的认识行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。
本文将介绍行列式的概念、性质和计算方法，并探讨其在代数学和几何学中的应用。
一、行列式的定义行列式是一个标量，通常用竖线或方括号表示。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、|A|或[A]，定义如下：det(A) = a11*a22*a33...ann - a11*a23*a32...ann-1n +a11*a24*a42...ann-1n-1 - ... - a1n*a2n-1*a3n-2...a(n-1)(n-1)其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
在该定义中，n阶方阵A被展开成n!个乘积的和，这些乘积称为行列式的项。
二、行列式的性质1. 互换行列式的两行（列），其值不变。
2. 行（列）成比例，行列式的值为0。
3. 行列式中某行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，其值不变。
4. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
5. 若矩阵A可逆，则其行列式不为0。
三、行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按行或列展开法。
1. 按第一行（列）展开：根据定义展开第一行（列）的各个元素乘以其代数余子式，并与其对应符号相乘后求和。
2. 代数余子式求和：对于n阶方阵A的元素aij，其代数余子式定义为Aij = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij为A去掉第i行第j列后所形成的(n-1)阶方阵。
行列式的值可以通过对A的一行（列）元素与其代数余子式相乘求和得到。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
若det(A)≠0，则方程组存在唯一解；若det(A)=0，则方程组可能无解或有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性：对于n阶方阵A，若det(A)≠0，则A可逆；若det(A)=0，则A不可逆。
3. 判断向量组的线性相关性：给定一组向量v1，v2，...，vn，将其排列成矩阵A=[v1, v2, ..., vn]。
同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质
同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在同济大学线性代数教材的第六版中，对行列式的定义和性质进行了详细的介绍和讲解。
本文将按照该教材的要求，对行列式的定义和性质进行论述，以便帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、行列式的定义在同济大学线性代数第六版中，行列式的定义如下：给定一个n阶方阵 A = (a[i][j])，其中1≤i, j ≤ n，我们定义A的行列式为Det(A)，记作|A|。
对于一阶方阵来说，其行列式即为该方阵的唯一元素。
对于二阶方阵来说，其行列式的计算公式为：Det(A) = a[1][1]·a[2][2] -a[1][2]·a[2][1]。
对于三阶及以上的方阵，行列式的计算通过递推公式进行。
二、行列式的性质同济大学线性代数第六版还介绍了行列式的一系列性质，我们将逐一进行论述。
性质1：互换行（列）则行列式变号行列式Det(A)中，如果将A中的两行（列）进行互换，则行列式的值会发生变号。
性质2：行/列与常数相乘，则行列式乘以相应的常数行列式Det(A)中，如果将A的某一行（列）的所有元素都乘以一个常数k，则行列式的值也会乘以k。
性质3：行/列成比例，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的某行（列）的元素之间成比例，则行列式的值为0。
性质4：两行（列）相同，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
性质5：行列式的任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合行列式Det(A)中，任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合。
性质6：行列式的行（列）元素交换，行列式变号行列式Det(A)中，如果将A的两行（列）进行交换，则行列式的值会发生变号。
除了以上性质，同济大学线性代数第六版中还介绍了更多关于行列式的性质，这里不再一一列举。
三、行列式的应用行列式在线性代数中具有广泛的应用。
行列式的基本概念
行列式的基本概念===========行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个由矩阵元素构成的数学表达式。
本篇文章将详细介绍行列式的定义、性质、运算、应用、发展历程、相关问题与技巧以及在数学中的地位与价值。
1. 行列式的定义--------行列式是由一个方阵的元素构成的数学表达式。
它可以看作是矩阵的一种性质，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
行列式的定义如下：设A是一个n阶方阵，即A是一个n行n列的矩阵，A的行列式记作det(A)，并且满足以下性质：1. 交换律：det(A)=det(AT)，其中AT为A的转置矩阵。
2. 结合律：对于任意的常数k，det(kA)=k^n * det(A)。
3. 单位元：当A为n阶单位矩阵I时，det(I)=1。
2. 行列式的性质--------行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A中有两行或两列相等，则det(A)=0。
2. 如果矩阵A是一个对称矩阵，那么它的行列式等于它的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。
即det(A)=a11*a22*...*ann - a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。
3. 如果矩阵A是一个埃尔米特矩阵（即AT=A），那么它的行列式等于它的特征值的乘积。
即det(A)=a11*a22*...*ann * a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。
4. 如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么它的行列式不等于零。
即det(A)!=0。
5. 如果矩阵A是一个正定矩阵，那么它的行列式大于零。
即det(A)>0。
6. 如果矩阵A是一个负定矩阵，那么它的行列式小于零。
即det(A)<0。
7. 如果矩阵A是一个半正定矩阵，那么它的行列式大于等于零。
即det(A)>=0。
8. 如果矩阵A是一个半负定矩阵，那么它的行列式小于等于零。
即det(A)<=0。
线性代数行列式的概念和性质
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
线性代数1.行列式定义与性质
ai1
ai 2
ain
a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0, j s.
ak1 ak 2
akn
证 把行列式 D按第 j 行展开，有 an1 an2
例如
2 3 5 1 2 2 624
A23 1 23 M23
2
6
3 2
14
8
于是：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12 A12 a13 A13
0___k___1____1___0
0
00k2 0 0 k2 0
k 2 (k 1)(k2 4)
2k
002k 0 0 2k
所以，D=0的充要条件是 k 1 或 k 2
27
定理
n 阶行列式的任一行（列）各元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a11
a12
a1 n
ai1Ak1 ai2 Ak2 ain Akn 0, i k.
a11
证明： D
as1
at 1
an1
a12
as2
at 2
an2
a1n
a11
a12
asn
rs krt
as1 kat1
as2 kat2
atn
at1
at 2
ann
an1
an 2
a1n asn katn
行列式性质及其计算方法
目录页
Contents Page
1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。
本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。
对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。
（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。
（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。
（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。
二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。
如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。
利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。
2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。
对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。
3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。
矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。
行列式
行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。
一共有n!项，一半带负号，一半带正号。
其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。
我们知道n级排列一共有n!种。
行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。
这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。
通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。
如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。
由性质1知，。
性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。
也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。
性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。
性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。
例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。
【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。
第一章 行列式2
注:
第i行（或列）乘以 ，记作 行 或列）乘以k，
r × k(或 i × k) c i
L a1n L L L kain L L L ann
推论： 行列式中某一行（ 推论： 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到 行列式记号的外面。 行列式记号的外面。 注: 第i行（或列）提出公因子 ，记作 行 或列）提出公因子k，
1 x1
2 Dn = x1 M n x1 −1
1 x2
2 x2 M
L L L
1 xn
2 xn M
n n x2 −1 L xn −1
1 0 =0 M
1 x2 − x1 x2 (x2 − x1) M
1 x3 − x1 x3 (x3 − x1) M
L L
1 xn − x1
L xn (xn − x1) M
n n n 0 x2 −2 (x2 − x1) x3 −2 (x3 − x1) L xn −2 (xn − x1)
2.若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它 若 阶行列式每个元素都表示成两数之和 阶行列式每个元素都表示成两数之和， 可分解成 例：
2 个行列式。 个行列式。
n
a+ x b+ y c+ z d +w = = a b+ y c d +w a b c d + a + x b+ y z d +w y + x b z d + x y
第二节 行列式的性质
一.定义: 定义:
转置行列式: 转置行列式:将D的行与列互换所得新的行列式.
a11 a21 L an1 a12 a22 L a1n L a2n
n阶行列式 阶行列式
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a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
4 6 32 4 8 24 14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
第一节 行列式的概念与性质
一 二阶 行列式 二 三阶 行列式 三 n 阶 行列式 四 行列式的性质
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a31 a32 b3
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
五、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 t p1 p2 pn a1 p1a2 p2 anpn
p1 p2 pn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
三、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1)t a1 p1a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
aa2111xx11
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,