北京四中数学必修四同角三角函数的基本关系式提高版

同角三角函数基本关系

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αα

α

ααtan cos sin ,

1cos sin

22

==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】

要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：2

2

sin cos 1αα+= (2)商数关系：

sin tan cos α

αα

= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；

(2)2

sin α是2

(sin )α的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形：

2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±

2．商数关系式的变形

sin sin cos tan cos tan α

ααααα

=⋅=

，。 【典型例题】

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。

【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos α

αα

=

=-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。

【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。 ① 又sin 2α+cos 2α=1， ②

由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即2

1cos 5

α=

。

当α为第二象限角时，cos α=，代入①得sin α=。

当α为第四象限角时，cos 5α=

，代入①得sin 5

α=-。 解法二：∵tan α=－2＜0，∴α为第二或第四象限角。

又由sin tan cos ααα

=，平方得22

2sin tan cos ααα=。

∴22

22sin 1tan 11cos cos αααα+=+=，即2

2

1cos 1tan αα

=+。

当α为第二象限角时，cos α===。

sin tan cos (2)55ααα⎛⎫=⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭

。

当α为第四象限角时，cos 5

α=

==。

sin tan cos (2)55

ααα=⋅=-⨯

=-。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。 举一反三：

【变式1】已知A 是ABC ∆的一个内角，且5

tan 4

A =-

，求sin ,cos .A A

【思路点拨】根据tan 0A <可得A 的范围：2

A π

π<<再结合同角三角函数的关系式

求解.

【解析】5

tan 0,4A A =-

<∴为钝角，sin 0,cos 0.A A ∴>< 由

sin tan ,

cos A

A A

=平方整理得

221cos ,cos ,411tan A A A =

∴==-+

sin tan cos A A A ∴=⋅=

例2．已知cos α=m （－1≤m ≤1），求sin α的值。

【解析】（1）当m=0时，角α的终边在y 轴上， ①当角α的终边在y 轴的正半轴上时，sin α=1； ②当角α的终边在y 轴的负半轴上时，sin α=－1。 （2）当m=±1时，角α的终边在x 轴上，此时，sin α=0。 （3）当|m|＜1且m ≠0时， ∵sin 2α=1―cos 2α=1―m 2，

∴①当角α为第一象限角或第二象限角时，sin α=

②当角α为第三象限角或第四象限角时，sin α=

【总结升华】 当角α的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。

类型二：利用同角关系求值

【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】 例3．已知：tan cot 2,θθ+=求：

（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值

【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。

【答案】（1）

1

2

（2）3）0（4

【解析】（1）由已知

sin cos 2cos sin θθ

θθ

+= 22sin cos 2sin cos θθ

θθ

+∴

= 1sin cos 2

θθ∴=

（2）

()

2

sin cos 12sin cos 112θθθθ+=+=+=

sin cos θθ∴+=（3）

()

2

sin cos 12sin cos 110θθθθ-=-=-=

sin cos 0θθ∴-=

（4

）由sin cos sin cos 0θθθθ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩

sin cos 2θθ⎧

=⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

或sin cos 2

θθ⎧

=⎪⎪

⎨⎪

=-⎪⎩

【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了2

2

sin cos 1θθ+=这个隐含条件。

举一反三：

【变式1

】已知sin cos αα+=

，求下列各式的值： （1）2

2

1

tan tan αα

+

；（2）sin 3α+cos 3α。 【解析】

因为sin cos αα+=

，

所以2

2

1(sin cos )2αα+==，

所以1sin cos 4

αα⋅=-

。 （1）2

2

22

11sin 2cos 2tan tan 22tan tan sin cos αααααααα+⎛⎫⎛⎫

+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭