大学物理20相对论习题解答

一发射台和东西两侧距离均为 L0 的两个接收站 E 和 W 发射讯号，今有一飞机以匀速 v 沿发射
台与两接收站的联线由西向东飞行，试问在飞机上测得两接收站接收到发射台同一讯号的时间间隔是多 少？哪一个站先收到？ 解：在地面上看接收站 E 和 W 同时接收到信号是异地同时事件，在飞机上看是不同时的，由洛伦兹差 值变换我们有：
远的距离其强度减少一半？ 解：当π介子运动时，其半衰期变为 γT
= 1.77 × 10−8
1 1 − 0.992
，在半衰期内飞行距离为
1.77 × 10−8
20.8
1 1 − 0.992
× 0.99c = 39m ，此时强度减少一半。
π介子的平均寿命是 2.6 × 10−8 s 。如果这种粒子具有速度 0.8c，那么，在实验室测量的平均寿命
= 7.2cm 2 。
设 S′系相对于惯性系 S 以匀速 u 沿 x 轴运动， 一静止在 S 系中的米尺分别(1) 沿 x 轴； (2) 垂直
= 1 − u 2 / c2
。
x' = x / γ = cosθ ⋅ 1 − u 2 / c 2 y ' = y = sin θ
2 2 2 2 2
长度为： x' + y ' = 1 − u cos θ / c 。
v ∆x) = 0 ，即：v=0.6c， γ = 1.25 。 c2 又由： ∆x ' = γ ( ∆x − v∆t ) = 4000000m 。 ∆t ' = γ (∆t −
20.17 假定在地面上相距 3000km 的 A、B 两地各自生下一个婴儿，地上记录 A 地婴儿比 B 地婴儿早
−3
出生 6.0 × 10 s 。现有一宇宙飞船沿从 A 到 B 的方向从上空飞过，已知飞船速度分别为 0.8c ，问飞船中的 宇航员测出哪一个婴儿早出生？早生多长时间？ 解：由洛伦兹时间差变换可得结果： ∆t ' = γ ( ∆t 20.18
为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔中为 5s。求： (1) S’′相对于 S 的运动速度； (2) 乙测得这两个事件发生地之间的距离。 解： （1）同一地点发生的两个事件的时间间隔是本征时间，等于 4s，而膨胀后时间是 5s。由时间膨胀公式 可得
γ = 1.25 ，v=0.6c。
（2）乙测得两事件发生地的距离为：
。
惯性系中的观察者 A 测得与他相对静止的 xoy 平面上一个圆的面积是 12cm2，另一观察者 B 以
u = 0.8c 相对于 A 平行 xoy 一面作匀速直线运动，问 B 测得该图形的面积是多少？ 解：由于长度收缩只发生在运动方向，运动面积为： 12 / γ 20.12 x 轴；(3) 与 x 轴成θ角放置。求 S′系中观察者测得的米尺长度。 解： （1）此时在 S’系看来，发生长度收缩，所以长度为： L' = 1 / γ （2）此方向与运动方向垂直，没有长度收缩，故长度仍为 1。 （3）此时只有在 x 轴方向的投影发生收缩，y 方向投影不变， 即：
一粒子速度 0.9c 沿 K’’系的正 X’’方向运动。K’’相对于 K’系以 0.9c 沿正 X’方向运动。K’相对于
= 12.5s ，火箭飞行的高度为 0.6c × 12.5s ，再以 0.6c × 12.5s 0.3c 的速度落向地面（忽略重力） ，需要的时间为 = 25s ，所以总时间为 37.5s。 0.3c
20.7
解：火箭上记录的 10s 时间在地面上看，为 10γ
π介子静止时的半衰期为 T = 1.77 × 10−8 s ，当它们以速度 v = 0.99c 从加速器中射出时，问经过多
为多少？衰变前飞行多远？ 解： 2.6 × 10−8 s 可以看成是本征时间，在实验室中的平均寿命是膨胀后的时间，所以由时间膨胀公式，
10 × 2.6 × 10−8 s 6 10 飞行距离为： l = v∆t = × 2.6 × 10−8 × 0.8c = 10.4m 。 6 ∆t = γ∆t ' =
= 0.99c ，它的动能是
(A) 3.5MeV；(B) 4.0MeV；(C) 3.1MeV；(D) 2.5Me V。 解：略。 20.3 判断下列叙述是否正确。正确的，在后面的括号画“√” ，错误的画“×” 。
(1) 若子弹飞出枪口的事件为 A，子弹打中靶为事件为 B，则在任何运动着的参照系中测量
mv = γm0 v ，
若等于非相对论动量的两倍，则有：
γm0 v = 2m0 v ，即 γ = 2 ，所以
v = 0.866c 。
(7) 在速度 v= 情况下粒子的动能等于它的静能。 解：在动能等于静能的情况下，有
mc 2 = Ek + m0c 2 = 2m0c 2 所以， γ = 2 ，故有， v = 0.866c 。
《狭义相对论》
习 题 解
20.1 填空 (1) 长度收缩公式 L' =
答
L 1− v2 / c2 ∆t '
成立的条件是
。
解： L' 必须是固有长度（本征长度） 。 (2) 时钟变慢公式 ∆t
=
1− v2 / c2
成立的条件是
。
解： ∆t ' 必须是固有（本征）时间。 (3)实验测得某粒子静止时的平均寿命是 τ ，它以很低的速度 v 运动时的平均飞行距离为 vτ 。但若 v 接 这个实验结果说明 近光速， 实验测得， 绝大多数粒子的飞行距离远大于 vτ ， 解：说明了高速运动中的时间膨胀效应。 (4) 对某观察者来说，发生在同一地点、同一时刻的两个事件，对其他一切观察者来说，它们是 发生的(回答“同时”或“不同时”)。有两事件，在 S 惯性系发生于同一时刻、不同的地点，它们在其 它惯性系 S′中 发生(回答“同时” ， “不一定同时”或“不同时”)。 解：由同时性的相对性应该回答“不一定同时” 。 (5) 从 S′系的坐标原点 O′沿 X′正向发射一光波，已知 S′系相对于 S 系以 0.8c 沿 X 负方向运动，则 S 系 中测得此光波的速度为 。 解：光速不变，仍然是 c。 (6) 在速度 v= 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。 解：当粒子以速度 v 运动时，相对论动量为： 。
20.2 选择正确答案 [ ] (1) 迈克尔逊–莫雷在 1887 年做的实验是最著名的，这个实验： (A) 证明了以太不存在；(B)观察不到地球相对于以太运动； (C)表明了以太过于稀薄，以致观察不出来；(D)证明了狭义相对论是正确的。 （2） （3） 根据相对论力学，动能 0.25MeV 的电子(电子静能为 0.51MeV)，其运动速度约等于 (A) 0.1c；(B) 0.5c；(C) 0.75c；(D) 0.85c。 一电子的运动速度 v
20.9 少时间？ 你测得该米尺为多少？米尺通过你得花 一米尺相对于你以 v = 0.6c 的速度平行于尺长方向运动，
解：由长度收缩公式可得运动米尺长度为： L
= L' / γ = 1 / 1.25 = 0.8m 0.8 0.8m 的运动米尺以 0.6c 的速度通过所需要的时间为： = 0.444 × 10−8 s 0.6c
∆t ' = γ
v 2vL0 ∆x = 2 c c2 1 − v2 / c2
。
由于飞机是由西向东运动，所以是 E 先。 20.16 在 S 惯性系中，相距 ∆x = 5 × 106 m 的两个地方发生两事件，时间间隔 ∆t = 10−2 s ，而在相对于 S 系沿 x 轴正方向匀速运动的 S′系中观测到这两个事件却是同时发生的。试求在 S′系中发生这两事件的地 点间的距离 ∆x′ 是多少？ 解：由洛伦兹差值变换，若 S’系中两事件是同时发生的，则可以得到：
−6
= 100 / γ
，设相对速度为 v，则通过时间
为： 100 /(vγ )
= 2.5 × 10 s ，解之可得：v=3.96×107m/s。
（2）在 A 上的宇航员看来 A 自身的长度仍为 100m，所以 B 上一点从 A 的头部到尾部的时间为 100/v ＝2.525×10-8s。
20.15
20.10 一列车以速度 v 通过站台，在站台上两个相距 1 米的机械手同时在列车车厢上刻上划痕。试求
列车上的观察者测量这两个划痕的距离是多少？ 解：在地面参照系理解，划痕收缩后的距离是 1 米，因而，列车上看到的划痕是没有收缩的，由长度 收缩公式可得： L' = γ 20.11
×1 =
1 1 − v2 / c2
l = 5v = 9 × 108
20.5 在 S 惯性系中观测到相距 ∆x = 9 × 108 m 的两地点相隔 ∆t = 5s 发生两事件，而在相对于 S 系沿 x
方向以匀速运动的 S’′系中发现该两事件发生在同一地点。试求 S’′系中该两事件的时间间隔。 解：在 S’′系中看是发生在同一地点的两事件，其时间间隔是本征时间，所以，
∆t ' = wenku.baidu.comt / γ ∆x 而v = = 0.6c, γ = 1.25 ， ∆t 所以： ∆t ' = 4 s 。
20.6
火箭相对地面以 v = 0.6c 匀速向上飞离地球。在火箭上记录发射 ∆t ′ = 10s 后，该火箭向地面发射
一导弹，其速度相对于地面为 v1 = 0.3c ，问地上记录火箭发射后多长时间导弹到达地球？
−
v ∆x) = 0.0033s ，B 先。 c2
已知光在折射率为 n 的水中传播时，相对于水的光速为 c / n ，设水管中水的流速为 v，问光在管
中的传播速度是多少？ 解：水作为一个参照系，管作为另一个参照系。由速度变换可得
c' =
u+v c/n + v c + nv 。 = = 2 2 1 + uv / c 1 + (c / n )v / c n + v/c
20.13 S′系中的一个观察者在间隔为 L′ = 100 光分的 A′，B′二点的联线中点 c′处。他使灯发出闪光，并 当闪光灯发出的闪光到达 A′，B′时，让置于二处的时钟从零开始走动。S′系向右运动，相对于 S 系的观察 者的速度为 0.6c。当闪光灯发出闪光时，观察者在 A′和 B′连线中点之相应点 C 处(在 S 系中)，同时使他的 时钟指到零点。 (1) 照 S 系的观察者看来，时钟 A′和 B′之间的距离是多少？ (2) 当从闪光灯发出的光脉冲向 A′和 B′传播并到达 A′时，S 系在该处的时钟之读数是多少？ (3) 当闪光到达 B′时，S 系在该处的时钟之读数是多少？ （4）S 系测得 A′处的时钟比 B′处的时钟超前多少？ 解： （1）由长度收缩公式可得： L
一观察者看到两导弹同向飞行，速度分别为 0.9c 和 0.7c ，求两导弹的相对速度。若两导弹反向
20.19
飞行，相对速度又是多少？ 解：由速度变换（x 方向） ，一个导弹作为 S’系，另一个作为研究对象，则
u' =
u−v = ±0.54c ， 1 − uv / c 2
若是反向飞行，则：
u' =
u−v = 0.981c 。 1 − uv / c 2
a、 子弹飞行的距离都小于地面观察者测出的距离， b、 事件 A 总是早于事件 B。 (2) E = mc 这个公式说明物体的质量和能量可以相互转化；
2
[ [ [
] ] ] ]
(3) 某一星作远离地球的相对运动，其光谱线比它相对地球静止时的光谱线要向紫端移动。 [ 解：略。
20.4
观察者甲和乙分别静止在两个惯性系 S 和 S’′中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔
= L' / γ = 100 / 1.25 = 80 光分。
= c∆t 所以 ∆t = 25 = c∆t 所以
（2） 在 S 系看来， 光传播的距离是 40 光分减去 A’的运动距离， 即： 40c − 0.6c∆t 分。此即是该处时钟的度数。
（3）在 S 系看来，光传播的距离是 40 光分加上 B’的运动距离，即： 40c + 0.6c∆t
∆t = 100 分。此即是该处时钟的度数。
（4）75 分。 20.14 两只固有长度均为 100m 的宇宙飞船 A、B 沿相反方向擦过，位于 A 前端的宇航员测得 B 经过他
的时间为 2.50 × 10−6 s ，试问： (1) A、B 间的相对速度是多少？ (2) 在 A 上测量时，B 上一定点从 A 的前端飞到后端的时间是多少？ 解： （1）在 A 上的宇航员看来 B 的长度已经收缩为 L' / γ