几何五大模型-汇总
几何的五大模型课件
特性 平行线永不相交。
欧几里得几何的应用
01
02
03
建筑学
欧几里得几何在建筑设计 中广泛应用，如确定建筑 物的位置、方向和尺寸等。
工程学
在机械工程、航空航天和 交通运输等领域，欧几里 得几何用于指导实际物体 的设计和制造。
日常生活
在日常生活中，人们常常 利用欧几里得几何知识解 决实际问题，如测量距离、 计算角度等。
定义
连续性
等价关系
不变性
拓扑几何是研究图形在 连续变形下保持不变的 性质和不变量的几何分支。
拓扑变换是连续的，不 改变图形的基本性质。
同胚的图形被视为等价， 具有相同的拓扑性质。
某些拓扑性质在连续变 形下保持不变。
拓扑几何的应用
网络分析
拓扑几何用于分析网络结构，如 社交网络、互联网等。
数据可视化
通过拓扑结构表示复杂数据，帮 助理解数据内在关系。
欧几里得几何的局限性
现实世界的复杂性
欧几里得几何在描述现实世界的一些 现象时存在局限性，如弯曲的空间、 微观粒子的运动等。
非绝对性
无法解释某些自然现象
在解释一些自然现象，如地壳运动、 电磁波传播等方面，欧几里得几何显 得力不从心。
欧几里得几何基于一些假设和公理， 其绝对性和客观性存在争议。
CHAPTER
对初学者的挑战
解析几何需要较高的数学基础和思 维能力，对于初学者来说可能存在 学习难度。CHAPTER定来自与特性微分几何模型的定 义
微分几何模型是一种使用微积分和线 性代数工具来研究形状、曲线和曲面 几何特性的数学模型。
微分几何模型的特性
微分几何模型强调局部性质，通过研 究曲线和曲面的切线、法线、曲率等 局部几何量来描述物体的形状和运动 规律。
小学数学五大几何模型
小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
平面几何五种模型
② AO : OC S1 S2 : S4 S3
【上下比】
=
=
=
【上上比】
=
=
=
由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如
面积交叉相乘的乘积相等
=
= S1 S3 S2 S4
梯形蝴蝶定理（ 梯蝴蝶 ）
① S1 : S3 a2 : b2 →上：下 = a2 : b2
② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab →上：下：左：右 = a2 : b2 : ab : ab
+
+
=1
2
③ S 的对应份数为 a b →a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑
4 相似三角形 形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，他们都相似。 1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且 =它们的相似比 2 相似三角形的面积比 =相似比的平方
3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长 =它所对应的底边长的一半 就是三角形任 2 边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！ 出题几率：多产生于 2 条平行线造成的相似三角形
等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是
单独的线段比 ~
记忆上用 夹角 2 边
最好记，这里等于
E
D
A 对顶角
D E
A
B
C
B
C
D 互补角 A
E
D
A
E
B
CB
C
鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何的五大模型
5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间旳关系
6、SΔADE =S2+S3，S ΔBCF =S4+S3 想想？为何，用了什么模型
7、∴正方形ABCD被提成了24份 S阴影=S2+S4=6÷24×12=3cm2
例题：相同模型
例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD旳中点，AF与BE、BD分别交于
例题：二分之一模型
例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB旳长是4厘米，BC旳长是3厘 米，那么图中阴影部分旳面积是多少平方厘米。
分析：阴影部分是一种个三角形，矩形CDEF中阴影 A
B
部分旳三角形底边长度为矩形旳长，高与矩 E
F
形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2
D
C
思索：二分之一模型是什么意思？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
黄色三角形面积21cm2，占长方形面积百分比
黄
50%-15%=35% 所以，长方形面积=21÷35%=60cm2
红
红
绿
例题：等积变换
例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分旳面积是多少平方厘米？
AB
S1 S2
a
b
图1
CD 图2
概念
2、鸟头定理（共角定理）模型
1）两个三角形中有一种角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形
2）共角三角形旳面积比等于相应交（相等或互补角）两夹边旳乘积之比
D
E
A
D
A
A
E D
BC
中考数学几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上（如图2），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”）①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方.五、燕尾定理模型S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0。
几何五大模型-汇总情况
小学平面几何五大模型一、共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 和△ADE 中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，则ADE ABC S S ∆∆=AEAD ACAB ⨯⨯二、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．三、蝶形定理1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．ba S 2S 1DC BA A DO a S 2S 1S 4S 4S 2S 1O DA四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在∆ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OFE DCBA附件1：鸟头模型例题及习题：例8：法1：无敌设高法。
1数学几何五大模型
数 学 几 何 五 大 模 型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S 1S 2S ab图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：（1） 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯（2）()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)（1）2213::S S a b =（2）221324::::::S S S S a b ab ab =；（3）梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型（1）AD AE DE AFAB AC BC AG===； （2）22::ADE ABCS S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何的五大模型
利用燕尾定理，连接FC，BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
解析：
如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= （a+2a）= ，所以，
。所以
阴影部分
= 即 ，梯形 ABCD的面积=
如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
小升初平面几何常考五大模型知识分享
一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2 -c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。
1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。
已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。
又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。
小学数学几何必考五大模型
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
一、等积模型
A
B
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
S1 S2
如右图
a
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
；
反之，如果
，则可知直线 平行于 。
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是△DEF的面积， 根据鸟头定理，则有：
【巩固】
它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
A
D
D E
A E
B
C
图⑴
B
C
图 (2)
如图在 E在AC上)，则
中，D、E分别是AB、AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① S1 : S2 = S4 : S3 或者 S1 ×S3 =S2 × S4 ② AO : OC = (S1 + S2 ) : ( S4 +S3 ) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径． 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形 相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
初中数学几何模型归纳
初中数学几何模型归纳1. 直线模型：直线是最基本的几何图形，可以用直线方程y = kx + b 来表示。
其中，k 是斜率，b 是截距。
2. 点模型：点是几何图形中的基本元素，可以用坐标(x, y) 来表示。
3. 线段模型：线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。
线段可以用起点和终点的坐标来表示。
4. 射线模型：射线是由一个端点和一个方向确定的无限延伸的直线部分。
射线可以用起点和方向向量来表示。
5. 角模型：角是由两条射线的公共端点和这两条射线之间的夹角组成的。
角可以用顶点、始边和终边来表示。
6. 三角形模型：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
三角形可以用三边的长度和三个内角的大小来表示。
7. 四边形模型：四边形是由四条边和四个内角组成的多边形。
四边形可以用四边的长度和四个内角的大小来表示。
8. 圆模型：圆是由一个圆心和一个半径确定的平面上的所有点到圆心的距离都等于半径的图形。
圆可以用圆心和半径来表示。
9. 椭圆模型：椭圆是由两个焦点和一个长轴、短轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数的图形。
椭圆可以用两个焦点和长轴、短轴的长度来表示。
10. 双曲线模型：双曲线是由两个焦点和一个实轴、虚轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之差等于常数的图形。
双曲线可以用两个焦点和实轴、虚轴的长度来表示。
11. 正多边形模型：正多边形是由相等的边和相等的内角组成的多边形。
正多边形可以用边数和内角度数来表示。
12. 梯形模型：梯形是由一对平行边和一对非平行边组成的四边形。
梯形可以用两对边的长度和夹角来表示。
13. 矩形模型：矩形是由四个直角和两对相等的边组成的四边形。
矩形可以用两对边的长度和夹角来表示。
14. 正方形模型：正方形是特殊的矩形，它的四个边都相等且四个角都是直角。
正方形可以用边长来表示。
15. 三角形面积模型：三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为S = (底边长度×高) / 2。
几何五大模型-汇总
③得对应份 数为、小学平面几何五大模型共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形、 共角三角形得面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边得乘积之比、 如图在中，分别就就是上得点如图（1）（或在得延长线上,在上），则 证明:由三角形面积公式S=1/2-a* b*sinC 可推导畑ZBAC=ZDAE 或ZBAC + ZDAE=18Cr , 则=、等积模型①等底等高得两个三角形而积相等；两个三角形高相等,而积比等于它们得底之比； 个三 角形底相等，面积比们得 8高之比.如下 图在一 组平行线之间得等积如右月"图： 反之，如果，则可知直线平行于、④ 等底等高得两个平行四边形面积相等（长方形与正方形可以瞧作特殊得 平行四边形）；⑤ 三角形而积等于与它等底等高得平行四边形而积得一半；⑥ 两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比;两个平行四边形底相等, 面积比等于它们得高之比、 三、蝶形定理1、 任意四边形中得比例关系（“蝶①或者② 速记：上X 下二左X 右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积对 应得对角线得比例关系、2、 梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：①若△ABC 与△ADE 中,C 形定理”）：C C四、相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型①;②、相似三角形,就就就是形状相同，大小不同得三角形（只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关得常用得性质及定理如下：⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例，并且这个比例等于它们得相似比；⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方：⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线、三角形中位线定理:三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半、相似三角形模型，给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具、在小学奥数里，出现最多得情况就就是因为两条平行线而出现得相似三角形、五、共边定理（燕尾模型与风筝模型）在中，，，相交于同一点，那么、上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段，因为与得形状很象燕子得尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理、该定理在许多儿何题U中都有着广泛得运用，它得特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中得三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、附件1:鸟头模型例题及习题:设长方形面积心g=b 三角形fax 衆;J 设AB=a. 8C = -i a滋= lx2〜 =丄，那么QE ・.6 3aa 3a 3aC7? = ix2- —= —J5 3a 5那么M*-竺上5 5那么ss 弓¥44Z □ cac □ 陋S 昨十卜卜卜导取Sw 严曙Sg 法2:反复使用鸟头定理:求出E 点、F 点得特殊性;以图⑴为例证明鸟头模职 证明：如竹图.连接“F °根据等积变形得到:(!).⑴X ⑵得：AD Y AE AB^AC例8： 法1:无敌设高法•1逹接AC,设长为^面积3弟加"，三帘形==1S UM 一達接3D >那么S LSF C ~ Y Q S 皿D ■ ■ sc CF 3 cy• S apc _ EC X CD X S _ 4 X CD * $ 曲3 *• 1 3 CF• • — = —X —10 4 CD那么竺.2, Ep ： CF.^CDCD 5 5所以 S ⑷产（1 -§1亏1 召）S A 2C£>^ 3Q *S*X SCD简述:以上这一题就就足中坏杯决赛题，作为我们讲义得例&我们介绍得法一 “无敌设高法"主耍就就是从 代数得角度死算■这就就足我们以后学习解复杂问題得通用方法，作为五年级得同学可以多多接触一些;法二“鸟头模型”让我们确定特姝点.从而找线段得比例关系。
几何五大模型
、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图S1 : S2=a: b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图$△ ACD反之，如果S AACD =S ABCD,则可知直线AB平行于CD。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；、鸟头定理（共角定理）模型五大模型一S A BCD '两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图，在△ ABC中，D,E分别是AB,AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2）,则S A ABC: S A ADE=（AB "C）：（AD XAE）① S 1 :S 2 =S 4:S 3或者 S 1 XS 3=S 2 xs 4② AO : OC =(S i +S 2 ):(S 4 +S 3 )蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。
梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”）① S 1 : S 3=a 2 : b 2② S 1 : S 3: S 2: S 4=a 2 : b 2 : ab : ab ;2③ 梯形S 的对应份数为(a +b )。
三、蝴蝶定理模型I)/T ---- i任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”：）四、相似模型相似三角形性质:①ADAEDE ABAC BC②SA ADE- S A ABC =AF所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它 们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型(完整资料).doc
1此文档下载后即可编辑一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::SS a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCDS S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；五大模型 1S 2S2⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABCADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::SS S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
4四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DEAF ABACBCAG===；②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
平面几何五种模型
平面几何五种模型等积,鸟头,蝶形,相似,共边1、等积模型等底等高的2个三角形面积相等2个三角形高相等,面积比=底之比2个三角形底相等,面积比=高之比夹在一组平行线之间的等积变形方方模型等积模型是基本应用应是烂熟于心的都是利用面积公式得到的推定比例如下：1等底等高的2个平行四边形面积相等2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半3 2个平行四边形高相等,面积比=底之比；2个平行四边形底相等,面积比=高之比2、鸟头模型共角定理鸟头定理：2个三角形中,有一个角相等或互补,这2个三角形叫做共角三角形;共角三角形的面积比等于对应角相等角或互补角两夹边的乘积之比夹角2边鸟头定理的使用要火眼金睛,经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果;A B C DE如图,浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公用A 角的,等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面,注意,鸟头定理用的是乘积比不是单独的线段比~记忆上用夹角2边 最好记,这里等于鸟头定理的证明,写出来是因为很多题目的解题过程,都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形;证明的途径其实跟我们日常解题途径重合,所以写出来,仔细看;经由媒介的ABE,联系了ADE 和大三角形ABCBE 辅助线很重要鸟头定理是用等高等于是用等积推算而得第二种的证明方式将对顶角压回来ABC 内,对顶角性质是相等的,所以压回来的新跟ADE 是全等,再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理互补角的鸟头定理证明S△ADE=S△AD'E,因为同底等高AD=AD',高相等，所以面积相等D'A B C D E 写了这几个证明,其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线,特别重要3蝴蝶模型任意四边形中的比例关系“蝴蝶定理”任蝴蝶①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 上下比= = = 上上比 = ==由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如面积交叉相乘的乘积相等 == 1324S S S S ⨯=⨯ 梯形蝴蝶定理梯蝴蝶①2213::S S a b =→上：下=22:a b②221324::::::S S S S a b ab ab =→上：下：左：右=22:::a b ab ab ③S 的对应份数为()2a b +→a 2+2ab+b 2=a 2+b 2+ab+ab 有木有↑4 相似三角形形状相同,大小不同的三角形,只要形状不变,无论大小怎么改变,他们都相似;1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且=它们的相似比2 相似三角形的面积比=相似比的平方3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半 出题几率：多产生于2条平行线造成的相似三角形 金字塔模型 沙漏模型 SADE ：SABC=AF 2：AG 2特别注意相似三角形的面积比是等于相似比的平方5 共边定理燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理共边定理说明如图一想知道PAB 和QAB 的面积比 我们就如图二做个高,因为同底就是共用一个边所以面积比=髙之比,再想办法偷懒,延长PQ 、AB 的线相交于M,那么刚学的相似三角形可以派上用场,因为PDM QEM 如图三E D 图三QPA B M所以=共边定理：若直线AB 和PQ 相交于点M 4种情况则有=图一MPQAB图二QMPA B图三燕尾定理（共边定理图3）MQPA B图四MQPA B最常应用到的其实是图一,无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比出线段比;图形不重叠图二的比例图形有重叠,所以线段长度也是重叠比~图三就是“燕尾定理”图形不重叠,所以线段比不重叠;图四是四边形,做比的三角形有重叠,而比值是四边形的顶：延长线段QM切记,唯一对比线段不在图形内的哈共边定理的证明=1,M点是PQ和AB延长后的交点2,取N,使得MN长度=AB3、==PNM和QNM是等高,塞瓦定理燕尾定理模型补充三边比例互乘为1在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D,则得出×× = 1特殊题：参考共边定理2图重叠可得三角形一边上之点到三边线交点O的长度：同边线全长的比值,3边比值相加=1+ + =1。
小学奥数之几何五大模型
小学奥数之几何五大模型
五大模型
一、等积变换模型
在等底等高的情况下，两个三角形的面积相等。
此外，如果两个三角形的高相等，则它们的面积比等于它们的底之比；如果两个三角形的底相等，则它们的面积比等于它们的高之比。
当两个三角形的面积比为a:b时，可以表示为
二、共角定理模型
如果两个三角形中有一个角相等或互补，则这两个三角形是共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互
补角)两夹边的乘积之比。
例如，在△ABC中，如果D在BA
的延长线上，E在AC上，则S△
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：.
四、相似模型
相似三角形的形状相同，但大小不同。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
例如，在金字塔模型和沙漏模型中，有AD/AB=AE/AC=DE/BC，S△.
五、燕尾定理模型
在燕尾定理模型中，S△
通过点G作MN和PQ两条直线，可以得到两个正方形MGQA和PCNG。
设MGQA的面积为S1，PCNG的面积为
S2，则.
在点G处，通过作MN和PQ两条直线，可以构建出两个正方形，分别为MGQA和PCNG。
假设MGQA的面积为S1，PCNG的面积为S2，则.。
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小学平面几何五大模型
一、
共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC
△中，,D E分别是,
AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在
AC上)，则:():()
ABC ADE
S S AB AC AD AE
=⨯⨯
△△
证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出
若△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，
则
ADE
ABC
S
S
∆
∆
=
AE
AD
AC
AB
⨯
⨯
二、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如下图
12
::
S S a b
=
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
ACD BCD
S S=
△△
；
反之，如果
ACD BCD
S S
=
△△
，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
b
a
S2
S1
D
C
B
A
三、蝶形定理
1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面
可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①AD AE DE AF AB
AC
BC
AG
===；
②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在∆ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕
子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
O F
E D C B A
附件1：鸟头模型例题及习题：
例8：
法1：无敌设高法。
法2：反复使用鸟头定理：求出E点、F点的特殊性；
简述：以上这一题是中环杯决赛题，作为我们讲义的例8。
我们介绍的法一“无敌设高法”主要是从代数的角
度死算，这是我们以后学习解复杂问题的通用方法，作为五年级的同学可以多多接触一些；法二“鸟头模型”让我们确定特殊点，从而找线段的比例关系。
让面积比转换成求线段比。