复数的四则运算课件

abi
abi
b2i2
乘法与多项 式的乘法是
a2 b2
（2）(a bi)2
类似的.
我们知道多项式 的乘法用乘法公式
a2 2abi b2i2
可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法
a2 b2 2abi 也可大胆运用乘法
公式来展开运算.
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
(1 2i)(3 4i)(2 i) (11 2i)(2 i) 20 15i
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
练习
1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)
解： (2－3i )+(-8－3i) － (3－4i) = (2－8－3)+(-3－3+4)i = -9－2i .
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i
1
2 i
25
55
先写成分式形式
然后分母实数化 即可运算.
化简成代数形式 就得结果.
复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i, 求 z.
解：z 4 3i , 1 2i
(4 3i)(1 2i) 10 5i 2 i, (1 2i)(1 2i) 5
例：⑴已知复数 z 的平方根为 3+4i ,求复数 z ⑵求复数 z=3+4i 的平方根.
(1)由题意，知：z (3 4i)2，
7 24i.
(2)设所求复数为a bi(a R，b R)，
则(a bi)2 3 4i，
a2 2ab
b
2 4
3，
解得：ba
12，或ba
-2 .
-1
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律。 即对任何z1,z2,z3有：
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
练习（：1）(a bi)(a bi) 复数的
a2
即实部等于实部，虚部等于虚部
特别地，a+bi=0 a=b=0 . 注： 两个复数（除实数外）只能说相等或不相 等，而不能比较大小.
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运
算律：
abba
ab ba
(a b) c a (b c)
(ab)c a(bc)
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你
认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算
律仍成立吗？
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
求值：i i2 i3 i2019
解：原式 （i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2013 i2014 i2015 i2016） i2017 i2018 i2019
0 i1 i2 i3 i (1) (i) 1
常用结论
(1 i)2 2i;
在复数范围内解一元二次方程
利用根的判别式判别实系数一元二次方程是否 有根的定理应当修改为
教材练习3
在复数范围内解一元二次方程
在复数范围内解一元二次方程x2+x+1=0。
解：根的判别式Δ=12-4×1×1=-3<0方程无实根，
但在复数范围内-3有两个平方根 3i
由求根公式可得方程的复数解
1 3i 1 3 i
2
22
多知道一点
正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
实数集R中正整数指数幂的运算律在复
数集C中仍成立，即
Z0 = 1
z n
1 zn
(z m )n= z mn z m ·z n= z m+n
(z1 ·z2 )n= z1 n ·z2 n
【探究】 i 的指数变化规律
i1 i , i2 1 , i3 i , i4 1
2、计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
1 i; 1 i i;
i
1i
1 i i.
1 i
课后小结
1.复数的加、减、乘、除和正整数次的幂运算。 2.部分常用结论。
i5 _i_ , i6 __1 , i7 __i , i8 _1_
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 ,
i4n1 i ,
i4n2 1 ,
i4n3 i。
i4n i4n1 i4n2 i4n3 0, (n N )
若a, b, c, d是连续的正整数, 有 ia ib ic id 0
5.3 复数的四则运算
复习回顾
复数a+bi(a,b∈R)
Re(z)= a—实部 Im(z)= b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0)
虚数 (b‡0)
纯虚数bi(a=0) 非纯虚数a+bi(a‡0)
复习回顾
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ，
(4) (a+bi)(a-bi)
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足 （c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作（a+bi）÷ （c+di) 或 a bi
c di
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
ac
bd (bc c2 d2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
计算 (1 2i) (3 4i)
解: (1 2i) (3 4i)
1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)