第五章--矩阵分解复习过程

e2
x
e1
x1
u e2
y
e1
x1
图（5.2.1 ）
图（5.2.2）
定义5.2.1 设单位列向量 u，C称n 矩阵
HI2uuH
为Householder矩阵，称Householder 矩阵确定的线性变换为Househoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱder 变 换。
为H若ouu不se是h单old位e向r矩量阵，，则对定应义的变H换I称 u为222 uuH Householder变换。
在平面解析几何中，将向量x映射为关 于x轴对称的向量y的变换称为关于x轴的 镜像变换（见图5.2.1）。设x(x1,x2，)T则
y(x 1, x2)T 1 0 0 1 x x 1 2 (I2 e2 e2T )xH
其中 e2 (0,H,1)是T 正交矩阵，且detH=-1
x2
x2
r 11
x1
r12x 2 r22x 2
c1 c2
０ c 3
5.3 奇异值分解
5.3.1 奇异值分解 设A是 n的n非奇异矩阵，由于 AHA
是Hermite矩阵，则由Schur分解定理知 存在酉矩V阵Cn，n 使得VHAHA，VD 其中
D d(i 1 , a ,n ) g i, 0 ( i 1 , ,n )
Householder变换将向量x映为关 于“与u垂直的子空间W{y(y,x) ”0}对称 的向量(见图5.2.3)
u
W
Hx
图 5.2.3
Householder矩阵具有如下的性质： (1) HH （HH是Hermit矩阵） (2) HHH（IH是酉矩阵） (3) H2 I (4) H1（HH是自逆矩阵） (5) deH t()1
定理5.2.1 设 z是C单n 位列向量，则对 C 中n 的任意向量x，都存在Householder 矩阵使得Hxz，其中 ，x且2 为实xH数z 。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder 变换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3 的情形开始讨论 .
QC使m得m
，A其Q中R 是 RCmn
阶梯型矩阵。
例 5.2.4
5.2.3 QR分解的应用
QR分解可用于求解线性方程组 Axb 的最小二乘解.
设 A QR 则 QRx b Q为正交矩阵， 即求Rx QTb的最小二乘解
例如R＝r011 rr1222 cQTbcc12
0
0
c3
要求xi(i，1,2使) 得方程组
H
v v
2 3
l2 0
其中
l2
v v
2 3
令
H2
1 0
由H0矩阵分块乘法可知
l1 v1 w1 l1 v1 w1 H2H1AH20 v2 w20 l2 r2
0 v3 w3 0 0 r3
记
l1 R0
0
v1 l2 0
w1
, r2
r3
Q(H2H1)1
则 AQR
由于H1,H是2 酉矩阵，则 H1和1,HQ21都是 酉矩阵。
如果A(或PA)可分解为AL(或U PALU) 其中L是下三角矩阵，U是非零对角元为1 的阶梯形矩阵 ，则此称分解为A的Crout 分解。
例 5.1.3
定理5.1.2 设A是 n的n正定矩阵，则存 在 n的n下三角阵L使得
ALLT
此分解称为矩阵A的Cholesky分解。
例 5.1.4
5.1.2 LU分解的应用
若 a 1是 Ax的r精1 确解，则
A ( x ˆ a 1 ) A x ˆ A 1 b a r 1 r 1 b
即 xˆ 是a1 A的x精r1确解，从而达到改进解的 目的。当然很可能还存在误差，得到的是 ，
而不是aˆ 1 。此时设a 1
，r 解2 线b 性A 方x ˆ 程a ˆ1
组 ，得到 ，Ax将r2 的解改aˆ 2 进为 Axb。
设
x1 y1 z1 A x2 y2 z2
x
3
y3
z
3
由例5.2.1知存在Householder矩阵H 1 使得
x 1 l 1
H1x2 0
x
3
0
其中
x 1
l1 x 2
x
3
2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2
0
v3
w3
接下来可构造H使得
定理5.1.1 设A是m的n矩阵，则存在置换 矩阵P使得
PALU
其中L是mm 单位下三角阵，U是 m 的阶n梯 形矩阵。
定义5.1.1 设A是 m 的n矩阵，如果A （或A的某个排列PA）可分解为AL(U或 PAL其U)中L是单位下三角阵,U是阶梯形矩 阵，则称此分解为A的Doolittle分解。
定理5.2.2 设 A，C则nn存在酉矩阵Q及上 三角矩阵R，使
AQR
定义5.2.2 设 A，C如nn果存在n阶酉矩阵Q 和n阶上三角矩阵R，使得 A,QR 则称此分解为A的QR分解(或酉三角分解)。 当 AR时nn称为A的正交三角分解。
例 5.2.3
定理5.2.3 设 AC，m则n 存在酉矩阵
xˆ aˆ1 aˆ2
如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ最1终a ˆ2,会收敛到 的解，A通x常b 只需迭代几步就可以得到很精确 的解。
5.2 QR分解
QR分解在解决最小二乘问题，特征值的 计算等方面有十分重要的应用。
5.2.1 Householder变换
第五章--矩阵分解
若在计算过程 作中 行不 变换，则 Ei都 是 下 三 角E阵r ，E1也 是 下 三 角
阵，且ＬE＝ r E1 １也是下三角 . 阵
所 以 Ａ ＝ Ｌ Ｕ ， Ｌ三－角下矩 阵 Ｕ梯－形阶矩 阵
矩阵Ｌ的求法： 只需将做初 换等 对变 应的乘子 在方阵对应的位置 得即 到可 Ｌ。
矩阵的LU分解最常应用于求解线性方 程组 Ax，b首先我们作分解 P，A然L后U求解 方程组 ，求L解U过xP程b分两步进行：
(1)首先解线性方程组 Ly，P可b 得 y L.1Pb
(2) 接着计算原方程组的解 x ，U1即y 求解方程组 Ux。y
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
有些时候，线性方程组的系数矩阵不 变而右端项发生了变化，若此时已经得 到了系数矩阵LU的分解，则当右端项发 生变化时，只需求解两个三角方程组即 可（ Ly,Pb Ux） y，而不必重新进行 Gauss消去，这样就可大大节省计算量。