集美大学线性代数试题及答案。。
大学线性代数试题及答案
大学线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A是一个n阶方阵，若A的行列式|A|=0，则矩阵AA. 可逆B. 不可逆C. 一定是对角矩阵D. 一定是单位矩阵答案：B2. 向量组α1, α2, ..., αn线性无关的充分必要条件是A. 它们的坐标成比例B. 它们的坐标不成比例C. 它们的线性组合系数不全为零D. 它们的线性组合系数全为零答案：B3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB一定是A. m阶方阵B. n阶方阵C. m阶方阵或n阶方阵D. 零矩阵答案：A4. 若矩阵A满足A^2=A，则称矩阵A为幂等矩阵，那么幂等矩阵A. 一定是对角矩阵B. 一定是单位矩阵C. 一定是对称矩阵D. 以上都不对答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设A是3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=______。
答案：42. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(4, 5, 6)，则向量α与β的点积为______。
答案：223. 设矩阵A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ1, λ2, ..., λn4. 设A是3阶方阵，且A^(-1)存在，则A^(-1)A=______。
答案：E三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述线性方程组有唯一解的条件。
答案：线性方程组有唯一解的条件是系数矩阵的行列式不为零。
2. 解释什么是特征值和特征向量，并给出求特征值和特征向量的方法。
答案：特征值是方阵A的标量λ，使得存在非零向量x，满足Ax=λx。
特征向量是与特征值对应的非零向量x。
求特征值和特征向量的方法是先求矩阵的特征多项式，然后解方程求得特征值，再将特征值代入方程组求得特征向量。
3. 说明什么是矩阵的秩，并简述求矩阵秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关行（列）的最大数目。
求矩阵秩的方法通常是通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后计算非零行的数量。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
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第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案
3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得 分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、 填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已 知 4 阶 行 列 式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元 的 代 数 余 子 式 记 作 Aij ， 则
2 4 1 3
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
集 美 大 学 试 卷 纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
适用 学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷 卷别
考试 方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；
18级理工类线性代数A(B卷-期末卷)
2．设 A 与 B 为 n 阶方阵，则下列结论正确的是（
）.
（1） A 或 B 可逆, 则 AB 可逆；
（2） A 或 B 不可逆, 则 AB 不可逆；
（3） A 与 B 均可逆, 则 A + B 必可逆；
（4） A 与 B 均可逆, 则 A + B 必不可逆．
3．设 A 为 mn 矩阵， Ax = 0 是非齐次线性方程组 Ax = b 所对应的齐次线性方程组，
分
证明： (E − J )−1 = E − 1 J ．
n −1
P5 P6
学院
B卷
闭卷 □√ 开卷 □
总分
题号
一
二
三
四
五
六七
八
九
得分
阅卷人
得
一、填空题（共 18 分，每小题 3 分）
分
a11 a12 a13
4a11 2a12 − 3a11 − a13
1．设 a21 a22 a23 = 1，则 4a21 2a22 − 3a21 − a23 =
.
a31 a32 a33
4a31 2a32 − 3a31 − a33
2
得
六、计算题（共 16 分，每小题 8 分） 3 −5 2 1
分
1 1 0 −5
1.设行列式 D = −1 3
1
3 的 (i, j) 元的代数余子式为 Aij ，
2 − 4 −1 −3
求 A11 + A12 + A13 + A14 .
2 0 1
得 分
五、（12
分）求
A
=
3
1
3
的所有特征值和特征向量.
α2 + α3 = ( 0,1, 2, 3)T ， k 表示任意常数，则线性方程组 Ax = b 的通解为（
线性代数A试卷(集美大学14)
当且仅当 时，有 ，
此即 是导出组 的解.
（6分）
当 ， ，无解；（9分）
当 ， ，有无穷多解，且为
（ 为任意常数）（12分）
八、证明题（共12分，每小题6分）
1.设 为 阶矩阵，且 ，求证： 可逆，且 .
证明因为
所以 可逆，且 .
（6分）
2.若 是非齐次线性方程组 的 个解，问常数 满足什么条件时，
线性组合 是导出组 的解？说明理由.
证明条件是 .（2分）
当 ，解方程组 ，
得基础解系
对应的所有特征向量为 （ 不全为零）（10分）
当 ，解方程组 ，
得基础解系
对应的所有特征向量为 （ 不为零）（12分）
七、（12分）讨论 为何值时，线性方程组
无解？唯一解？无穷多解？在无穷多解情况下，求解.
解对增广矩阵作行的初等变换
（5分）
当 ，即 且 ， ，有唯一解；（7分）
集美大学试卷（参考解答及评分标准）
2015—2016学年第一学期
课程名称
线性代数（经管类）
试卷
卷别
A
适用
学院、专业、年级
2014级物流、工程、管理、商务、金融、国贸、经济、投资、财政等专业
考试
方式
闭卷
开卷□
备注
1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间120分钟。
总分
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
阅卷人
7.若 可由向量组 线性表示，则 1.
8.若3阶可逆矩阵 相似于对角矩阵 ，则 相似于 .
二、（10分）计算n阶行列式 .
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
大学《线性代数》第一学期笔试题及答案(精品)
大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20XX — 20XX 学年 第一学期课程名称：线性代数 （共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分)设三阶矩阵A 的行列式4||=A ，求行列式*1)61A A --（的值，其中 *A 是矩阵A 的伴随矩阵。
解 *1)61A A --（1-146A A -=-12-=A 24123=⨯=分) 设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2113α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4511β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 922β， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=313b β，问：(1) b a ,满足什么条件时矩阵),,(321ααα=A 与),,(321βββ=B 等价？ (2) b a ,取何值时向量组321,,ααα与321,,βββ等价？ 解 (1) 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211112121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000330121，所以，2)(=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3495121a b B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→180510121a b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--→)5)(8(100510121b a b 所以，当1)5)(8(-=-+b a 时，2)(=B R ,矩阵B A ,等价。
(2) 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3421195112121121)|(a b B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----→223330253330121121a b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→470000253330121121b a b 所以，4,7=-=b a 时，向量组321,,ααα与321,,βββ等价.。
分) 设T）（0,1,1=α, V 表示标准内积下与向量α正交的所有三维向量 组成的集合，证明V 是R 3的子空间，并求V 的一组基和维数。
大学线性代数练习试题及标准答案
大学线性代数练习试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，aa a a 13112321=n ，则行列式aa a a a a 111213212223++等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）4A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ ） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1.下列哪一个不是线性空间？A. 实数集RB. 矩阵的集合M(n,R)C. 正实数集R+D. 空集答案：C2.下列关于线性变换的叙述，正确的是（）A. 线性变换保持向量的长度不变B. 线性变换保持向量的方向不变C. 线性变换保持向量的数量积不变D. 线性变换保持向量的线性组合关系不变答案：D3.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）A. 2α1，3α2，4α3 线性相关B. 2α1+3α2，4α3 线性无关C. α1+α2，α2+α3，α3+α1 线性无关D. α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关答案：C4.设A是3阶矩阵，且|A|=5，则|2A|=（）A. 10B. 25C. 50D. 125答案：D5.下列关于线性方程组的叙述，正确的是（）A. 如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组一定有解B. 如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组一定有唯一解C. 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组一定有解D. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组一定无解答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6.若向量组α1，α2，α3线性无关，则其极大线性无关组所含向量的个数为______。
答案：37.设A是3阶矩阵，且|A|=4，则|A的逆矩阵|=______。
答案：1/48.若线性方程组Ax=b有解，则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵B的秩r(B)满足关系______。
答案：r(A)=r(B)9.设A是n阶对称矩阵，则A的转置矩阵A^T______。
答案：等于A10.线性空间V的维数等于______。
答案：V中极大线性无关组所含向量的个数三、计算题（每题10分，共30分）11.已知向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，判断向量组是否线性相关，并说明理由。
答案：线性相关。
因为α3=α1+α2，所以向量组线性相关。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间的基是一组线性无关的向量，下列哪组向量不是基？A. {(1,0), (0,1)}B. {(1,1), (1,0)}C. {(1,2,3), (4,5,6)}D. {(1,2,3), (0,1,0), (0,0,1)}答案：B2. 矩阵A的行列式为0，下列哪个说法是正确的？A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A的所有特征值都是0D. A的秩小于其行数或列数答案：B3. 对于矩阵A，其转置矩阵记作A^T，下列哪个说法是错误的？A. (A^T)^T = AB. (A+B)^T = A^T + B^TC. (AB)^T = B^T A^TD. (AB)^T = A^T B^T答案：D4. 矩阵A的特征值λ满足以下哪个方程？A. det(A - λI) = 0B. det(A + λI) = 0C. det(A - λI) = 1D. det(A + λI) = 1答案：A5. 线性方程组Ax=b有解的条件是？A. A是可逆的B. b是A的列向量的线性组合C. A的秩等于增广矩阵的秩D. A的秩小于增广矩阵的秩答案：C6. 矩阵A的秩是？A. A中非零行的最大数量B. A中非零列的最大数量C. A中线性无关行的最大数量D. A中线性无关列的最大数量答案：D7. 两个向量α和β线性相关，下列哪个说法是正确的？A. α和β共线B. α和β垂直C. α和β正交D. α和β不共线答案：A8. 矩阵A的迹是？A. A的对角线元素之和B. A的非对角线元素之和C. A的转置的对角线元素之和D. A的转置的非对角线元素之和答案：A9. 矩阵A的逆矩阵记作A^(-1)，下列哪个说法是错误的？A. AA^(-1) = A^(-1)A = IB. (A^(-1))^(-1) = AC. (A^T)^(-1) = (A^(-1))^TD. (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)答案：D10. 向量空间的维数是？A. 空间中所有向量的个数B. 空间中线性无关向量的最大个数C. 空间中向量的坐标个数D. 空间中向量的长度答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果矩阵A的行列式为2，那么矩阵2A的行列式是______。
大学线性代数期末考试试卷答案
大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在线性代数中，矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C2. 如果一个矩阵A是可逆的，那么它的行列式值：A. 等于0B. 等于1C. 非零D. 无法确定答案：C3. 对于一个n阶方阵A，下列说法正确的是：A. 特征值一定为实数B. 特征向量一定为零向量C. 特征值可以是复数D. 特征向量可以是零向量答案：C4. 在线性代数中，若一个向量组线性无关，则：A. 该向量组可以由其他向量线性表出B. 该向量组中的向量可以任意组合C. 该向量组中的向量不能由其他向量线性表出D. 该向量组中的向量可以由其他向量线性表出答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式值为0，则矩阵A是________。
答案：奇异矩阵2. 一个向量空间的基是该空间中一组________的向量。
答案：线性无关3. 对于任意矩阵A，其转置矩阵记为________。
答案：A^T4. 若一个矩阵A的逆矩阵存在，则矩阵A称为________矩阵。
答案：可逆三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 &6 & 0 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的行列式值。
答案：首先，我们可以通过展开行列式来计算矩阵A的行列式值。
选择第一行展开，行列式为：\[ \text{det}(A) = 1 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 6 & 0 \end{array}\right) -2 \cdot\text{det}\left(\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & 0\end{array}\right) + 3 \cdot \text{det}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{array}\right) \]\[ = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) \]\[ = 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) \]\[ = -24 + 40 - 15 \]\[ = 1 \]2. 已知矩阵B=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求矩阵B的特征值和特征向量。
2020-2021(1)《线性代数A》B卷参考答案(1)
1.本试卷共 8 ⻚，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
阅卷人
得 分
解若 若
二、(8 分) 计算 阶行列式
元素都是 0. 则 则有
综上，
得
一、 填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1．四阶行列式中含有因子
的项为
2. 已知 阶行列式 的第二行的元素依次为
子式依次为
24 .
8. 已知向量
且 线性相关，则
2,
-2 .
P1 P2
其中对⻆线上元素都是 未写出的 (2 分) (7 分) (8 分)
考
生
信
息
栏
学院
专业
班级
姓名
学号
装
订
线
得
三、（11 分）设
分
(1)证明
可逆，并求
．
(2)求
解 (1) 因为
所以 由于
可逆.
所以 (2)
(3 分)
得
分
四、（10 分）设
，
(1) 求矩阵 的秩. (2) 求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并将其余列向量用该最大无关组线性表示. 解 (1) 对矩阵 施行初等行变换：
考
生
信
息
栏
学院
专业
班级
姓名
学号
装
订
线
集 美 大 学 试 卷 参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
线性代数 A
试卷 卷别
B
适用 学院、专业、
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。
答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。
答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。
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第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A |. 26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--， 并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。
答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·（-2）=-128 26.解 311251342011153351111113100105530------=----- =5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而（A -2E ）-1=2231101211431531641--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 −→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪135011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解（2，1，1）T ，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632 −→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪1210203283000620002171212032830003100000=B . （1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3.（2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。
（A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T .经正交标准化，得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪，因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆，故此线性变换满秩。