从数学的三大危机看数学与哲学

从三次数学危机浅谈数学与哲学的关系

摘要

哲学是人类关于自然、社会、思维的基本规律,数学是一门高度抽象而又逻辑严谨的科学.哲学像是望远镜,指导着数学发展的方向.数学像是显微镜,探索着世界的奥秘.本文将从三次数学危机出发,浅谈哲学与数学的关系.

§1 “万物皆数”观点的破灭与再生--第一次数学危机

毕达哥拉斯学派主张”数”是万物的本原,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比.他们认为：1是最神圣的数字,1生2,2生诸数,数生点,点生线,线生面,面生体,体生万物.有趣的是,正是毕达哥拉斯自己的发现,导致”万物皆数”观点的破灭.毕达哥拉斯（也许是他的门徒希帕索斯）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的,它们的比不能归结为整数或整数之比.这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解从而触发了数学史上的第一次危机.为避开这一障碍 , 数学家们走上了几何学的研究道路, 从而在对无理数的争论过程中诞生了欧几里德几何学.之后,大约在 1 9 世纪2 0 年代左右又诞生了非欧几何.

提出”万物皆数”的观点是一个错误.因为数是概念,不是物.但这个错误背后是一个人类认知上的大进步——认识到数量关系在宇宙中的重要性.而”万数皆数”观念的破灭,同样是一个错误.错误在于,认为数不足以表达万物了.错误又是由于一个大的进步引起的：发现了无理数.人们发现了无理数,又不敢承认它是数,这就是第一次数学危机.

正如数学家克莱因所说,非欧几何真正的诞生是”不需要任何技术性的数学推导而是需要认识到平行公理的正确性仅是基于经验,并非不证自明”：认识到”任何一组假设如果不导致矛盾的话,就一定提供一种可能的几何”；更要认识到”抽象的或数学的空间是不同于感性认识的空间”.而要具备这些观念,首要的是否定”物质世界必然是欧几里德式的”,否定”欧几里德几何是唯一的与必然的”.自从非欧几何诞生之后,人们从传统的形而上学观念中解放出来了,重新开始对数学性质的理解, 以及对数学和现实世界的关系的理解.认识到了区别数学抽象和感性直观的重要性,使人们对空间形式的认识从直观空间上升到抽象空间.

§2 量的鬼魂--第二次数学危机

十七世纪末,牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成功的应用,但是当时的整个微积分是建立在极不严密的无穷小概念之上, 没有一个坚实的基础.贝克莱主教曾猛烈攻击牛顿的微积分观点,他讽刺地挖苦到”无穷小”既不是0,也不是非0的数量,那么它一定是量的鬼魂.虽然贝克莱的哲学观点大都荒谬,但他的这次攻击还是切中要害的.牛顿和当时的数学家在逻辑上无法严格解释,数学家们相信它,只是因为它用起来十分有效,得出的结果总是对的.这就是数学史上的第二次危机.后来法国数学家柯西发展和建立了极限理论,从而解决了第二次危机.

同时从哲学上,这最终地驳斥了芝诺”飞矢不动”的诡论.在一瞬间,尽管物体占据了一个确定的位置,但不等于说静止了.因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来!

§3 罗素悖论引起的轩然大波--第三次数学危机

在历史既将跨入20世纪的时候,数学界出现了研究数学基础的高峰.人们把数学基础理论的无矛盾性,归结为集合论的无矛盾性,集合论已成为整个现代数学的逻辑基础,数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了.然而,事隔不到两年,英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的,并不存在什么绝对的严密性!史称”罗素悖论”.1918年,罗素把这个悖论通俗化,成为理发师悖论.罗素悖论的发现,无异于晴天劈雳,把人们从美梦中惊醒.罗素悖论以及集合论中其它一些悖论,深入到集合论的理论基础之中,从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性.于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波,形成了数学史上的第三次危机.

为了解决第三次数学危机,数学家们作了不同的努力.由于他们解决问题的出发点不同,所遵循的途径不同,所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派,这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派.这三大学派的形成与发展,把数学基础理论研究推向了一个新的阶段. 时至今日,第三次数学危机还不能说已从根本上消除了,因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决.然而,人们正向根本解决的目标逐渐接近.可以预料,在这个过程中还将产生许多新的重要成果.

§4 数学与哲学的关系

§4.1 哲学指导数学的发展

哲学是人类认识世界的先导,关心的首先应当是科学的未知领域.在人类的科学手段、科学方法尚未达到真切认识事物的时候,哲学往往有很强的前瞻作用,这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物,对科学的发展方向能够正确把握.哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前,哲学家谈论元素在化学家谈论元素之前,哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前.希尔伯特曾直言不讳,他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念.罗素从分析哲学的基本立场出发,坚持逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑的壮年时代的观点.

一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论的问题时,哲学才沉默了,它倾听科学的发现,准备提出新的问题.

哲学在某种意义上是望远镜,面对着浩淼的宇宙,面对着人类的种种困难问题,哲学的望远镜不受限制.数学则相反,它最容易进入成熟的科学,获得了足够丰富事实的科学,能够提出规律性假设的科学.它好像是显微镜只有把对象拿在手中,甚至切成薄片,做成标本,才能用显微镜观察它.

哲学从一门学科的退出,意味着这门学科的诞生.数学渗入一门学科,甚至控制一门学科,意味着这门学科达到成熟的阶段.哲学的地盘在缩小,数学的领域在扩大,这是科学发展的结果,人类智慧的胜利.”

§4.2 数学始终影响着哲学

柏拉图有句名言：”没有数学就没有真正的智慧.”智慧是被运用于生活中的哲学,是哲学的生活化、实际化.历史上,很多著名的哲学家同时也是伟大的数学家.比如：古希腊的泰勒斯(公元前624一前547),他是著名的哲学家,同时又是希腊几何学的鼻祖；古希腊的毕达哥拉斯(约公元前580一前497),他是古希腊数学家、天文学家、哲学家,他发现了勾股定理,他的哲学基础是”万物皆数”；古希腊的德谟克利特(公元前460一约前370),他是唯物主义哲学家,”原子论”的创立者,又是几何学家；法国的笛卡尔(1596—1650),他是数学家、哲学家、物理学家,解析几何的奠基人之一;法国的莱布尼茨(1646—1716),他是德国的数学家、哲学家、科学家.他独立创建了微积分,并发明了优越的微积分符号,他在哲学上是客观