概率论解题方法

1 0.7 0.2
-1
2
4
（1）求 P{ X 0.5}; （2）求X的分布律. 分析：由分布函数的意义 F ( x ) P X x知
P{ X a} 1 P{ X a} 1 F (,a)
于是
P X a F ( a ) F ( a 0)
P{ X 0.5} 1 F (0.5) 1 0.2 0.8;
则 p1 , p 2 的大小关系是（ A） p = p B）
1 2
p1 < p 2
）
C） p1 >
p2
D）大小不定
均考查正态分布的标准化问题
三、贝努里试验模型设计
n 试验次数 p 事件 A在一次试验中发生的概率； X n次试验中事件 A 发生的次数； 每次试验在相同条件下进行，独立.

p P{ 2} P{ 1} P{ 2}
52 50

3 5
本题是利用连续型随机变量均匀分布的特征来求概率， 若
X 服从 N (1, 2 ), 结果怎样？
2

例9. X , Y独立，X服从N(0,1)，Y服从N(1,1) 则（ ）. 1 1 A） P{ X Y 0} B) P{ X Y 1} 2 2 C） P{ X Y 0}
A B A B;
A AS A ( B B ) AB AB ;
若A, B互逆，则P ( B ) 1 P ( A);
若Leabharlann Baidu, B互不相容，则P ( AB ) 0
若A, B独立，则P ( AB ) P ( A) P ( B ).

例1. A, B 为概率不为零的两事件，且互不相容，则正确 的是（ ） A) P ( AB ) P ( A) P ( B ) B) P ( B ) 1 P ( A)
数学知识系列讲座
概率论解题方法分析举例
主要内容



概率的计算； 概率大小的比较； 贝努里试验模型； 概率分布； 边缘分布； 随机变量函数的分布； 连续与离散两种随机变量相结合。
一、概率的计算
1. 利用事件间的关系与运算规律计算. 如
AB A B A AB ;
A B A B;
1
2
D)
P{ X Y 1}
1 2
分析：独立正态分布的线性组合仍然服从正态分布 X i 服从 N （ i， i 2）,i=1,2, ，则 ,n

i 1
n
ai X~ i
N （ ai i， ai i 2）
i 1 i 1
n
n
正态分布的标准化：
X 服从 N（ ， ）,则

条件概率公式
P(B A) P ( AB ) P ( A) ;
及由此推出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式

例3. 一次掷十颗骰子，已知至少出现一个一点， 问至少出现两个一点的概率是多少？ 分析：设A：至少出现一个一点； B：至少出现两 个一点, 则所求为
P ( B A) P ( AB ) P ( A) P(B) P ( A) 1 P(B) 1 P ( A) ;
（2）由贝叶斯公式有
1 2 P ( B3 ) P ( A B3 ) 3 5 24 P ( B3 A) . 5 P ( A) 75 12
练习. 某工厂生产的产品以100件为一批，现从
每批中任取10件来检查，如果发现有次品，则 认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品 数最多不超过4件，且每次次品数从0到4是等 可能的。求： （1）一批产品通过检查的概率； （2）假设所检查这批产品通过检查，其中确实 没有次品的概率.
故C)对. 本题主要考查事件的几种关系： 差、互逆、互不相容及独立. 要熟练掌握其基本概念.

例2. 已知事件 A, B 满足 P ( AB ) P ( AB ), . 且 P(A)=p,求 P(B)
解： P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 P ( A) P ( B ) P ( AB )
端点处的概率即为上下阶梯之差，X的分布律为
X Pk 1 0.2 2 0.5 4 0.3
例8. 服从U (0, 5)，求方程 4x 2 a x 2 0 有实根的概率. (4 ) 2 16( 2) 0成立时，方程 有 分析：当且仅当 或 2, 1. 实根，解得 因此，该方程有实根的概率为
P{(
1 2
) (
1 2
)} 1 P{
1
1 1

2


, } 2 2
1
1 2
f ( x , y ) dxdy 5 8 .

1 2
1
2
1 2
1 2
dxdy
二、概率大小的比较

1. 2.
任意事件A的概率0 P(A) 1.

任意事件A,B, 若A B, 则P(A) P(B).
C) P ( A B ) P ( A) D)
A, B相容
分析：A)是独立条件；B)与对立（互逆）相关；C)是差事件 的运算；D)是互不相容的问题.显然：A)错；B)不相干； D)中令 B=A,则 A与 B互不相容,故D)错. 又由于
P ( A B ) P ( A) P ( AB ) P ( A)
P{ X Y } P{ X 0, Y 0} P{ X 1, Y 1}
P{ X 0} P{Y 0} P{ X 1} P{Y 1} 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选C).

例7.已知随机变量X的分布函数为
0, 0.2, F ( x) 0.7, 1, x 1; 1 x 2; 2 x 4; x 4.
分析：设A：甲射击一次命中目标；B：乙射击一次命中目标. 则目标被命中为 A B所求概率为 P ( B A B ). ,
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 0.5 0.4 0.5 0.4 0.7;
则X 服从b(n,p) 分布，且
k Pn (k)=P{ X k }=C n p k(1-p)n k ,k=0,1, ,n.
例14. 随机数字序列由多长时才能使0至少出现一次的概率 不小于0.9？ 分析：可看成从0-9是个数字中任取一个放在各位上，每次 独立，在相同条件下进行.
于是
P( B A B) P[ B ( A B )] P( A B) P(B) P( A B) 0.4 0.7 0.57.
例5.三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个 黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球. 求： （1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的 概率是多少？ （2）已知取出的是白球，此球属于第三个箱子的概率 分析：设 A:取出的球为白球；B：此球来自于第i个箱子，i=1,2,3, 则
关键事件：A：产品通过验收； Bi ：每批产 品中有i件次品，i=0,1,2,3,4.
3. 运用随机变量的分布

利用分布函数求概率：
F ( x ) P X x P x1 X x2 F ( x2 ) F ( x1 ).

若X为一维离散型：则 P x1 X x2 若（X，Y)为二维离散型：则
由 P ( AB ) P ( AB ), 有 1-P(A)-P(B)=0,即P(B)=1-P(A)=1-p.
此题关键是掌握德谟根定律及事件的逆以及加法公式.
2.

运用概率计算公式 . 如
加法公式
P( A B) P( A) P( B) P( AB);
P( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC );
选择支中出现了 P ( A) P ( B ), P ( A B ) 联想到加法公式 由 AB C 有 又
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ); P ( AB ) P (C )
0 P( A B) 1
则 P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) 1 故选B)
另可知 AB ，因此 “正好出现一次1点”
P ( B A ) 1 P ( B A) 1 P ( AB ) P ( A) 1
1 C10 59 / 610
1 510 / 610
关键利用了互逆事件及条件概率的性质 .

例4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别 为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是 多少？
x1 xk x2


P{ X xk }.
P ( X , Y ) G

若X为一维连续型：则
( xi , y j ) G
P{ X

x2 x1
xi , Y y j }.
P x1 X x2

f ( x ) dx.
若（X，Y)为二维连续型：则
P ( X , Y ) G

例12. X 服从 N（ ， 2）,则随着 的增大，概率
P{ X < }应（ ）
A）单调增大 C） 保持不变

B）单调减少 D）增减不定
例13. X 服从 N（ ， 4 2）,Y服从 N(， 52 )， 设
p1 =P{ X <4}, p 2 P{ X >5}

且
P ( Bi )
1 3
(i 1, 2, 3);
P ( A B1 )
（1）由全概率公式有
1 4
3
;
P ( A B2 )
3 5
;
P ( A B3 )
2 5
.
1 1 3 2 5 P ( A) P ( A Bi )P ( Bi ) ( ) . 3 4 5 5 12 i 1

3. 利用概率分布特征比较，如密度函数的奇偶性， 正态分布的标准化，正态分布的线性组合特征。

例10. A, B为任意两事件，且 A B , P ( B ) 0 ，则正确的是 （ ） A) P ( A) P ( A B ) B) P ( A) P ( A B ) C) P ( A) P ( A B ) D)
2
X

11 2
服从 N (0,1)分布
1 2
故X+Y~N（1,2），从而，
P{ X Y 1} (
) (0)

例26.
, 的联合概率密度为
1 , 0 x 1, 0 y 2 f ( x, y ) 2 0, 其他.
求 , 中至少一个小于0.5 的概率. 解: 所求概率为
( x , y )G

f ( x, y ) dxdy.

例6. 已知 X , Y 独立，X , Y的分布律为
X Pk 0 1 2 1 1 2 Y Pk 0 1 2 1 1 2
则以下结论正确的是（ ） P{ X Y } 1 A) X Y B) 1 C) P{ X Y } D) 以上常不正确 2 分布列相同的两个随机变量不一定相等，与它们本身的定 义有关，故A)不对；由于
P ( A) P ( A B )
本题利用 A B P ( AB ) P ( A), 0 P ( B ) 1
及条件概率的定义
P( A B) P ( AB ) P(B) ;
即得B)正确.

例11.事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确 的是（ ） P ( C ) P ( A) P ( B ) 1 A) P (C ) P ( A) P ( B ) 1 B) C) P (C ) P ( A B ) D) P (C ) P ( AB )