弹塑性力学试题答案完整版

弹塑性力学2008、2009级试题

一、简述题 1）弹性与塑性

弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。

塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态

应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。

应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25）

球张量：球形应力张量，即σ=0

00000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，其中()13m x y z σσσσ=++

偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx

y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤

-⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦，其中()13

m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法

拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。

采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率；

欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点：

欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即

1102211022110

22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡

⎤

⎛⎫

⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥

⎝⎭⎝⎭

⎢

⎥

⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥

=-- ⎪

⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥

⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭

⎝⎭

⎣⎦

6）应变张量：表示纯变形部分，即

112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y

z y w u w v w

x z y z z

ε⎡⎤

⎛⎫

⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢

⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥

⎝⎭⎝⎭

⎢

⎥

⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥

=++ ⎪

⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥

⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭

⎝⎭⎣⎦

7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得

关系，即应变协调条件。22

222y xy

x y x x y

εγε∂∂∂+=∂∂∂∂。

8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另

一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。 9）屈服函数（P53）：在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是改点6个独立的应力分量的函数，即为()0ij f σ=，()ij f σ即为屈服函数。 10）不可压缩：对金属材料而言，在塑性状态，物体体积变形为零。

11）稳定性假设（P56）：即德鲁克公社，包括：1.在加载过程中，应力增量所做的功D dW 恒为正；2.在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功D dW 恒为非负。

12）弹塑性力学的基本方程（P80）：包括平衡方程、几何方程和本构方程。弹性15个，塑性16个。 13）边界条件（P17)：边界条件可能有三种情况：1.在边界上给定面力称为应力边界条件；2.在边界上给定位移称为位移边界条件；3. 在边界上部分给定面力，部分给定位移称为混合边界条件。

14）标量场的梯度：其大小等于场在法向上的导数，其指向为场值增大的方向并垂直于场的恒值面的一个矢量。

15）矢量的散度：矢量a 在单位体积下通过曲面的通量。

16）无量纲量：在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量

[]3

1

2

123......m

m Q A A A A ∂∂∂∂=，若[

]

Q =1，

则为无量纲量。

17）塑性铰：断面所受弯矩达到极限弯矩后，不增加弯矩，该断面转角仍不断增加，称此断面形成了塑性铰。塑性铰是单向铰，只能沿弯矩增大方向发生有限转动。 18）滑移线：最大剪力线。（P142）

19）极限荷载：荷载逐渐按比例增加时，结构在多处形成塑性铰后，当结构变为机构时，结构丧失承载能力，此时相应的荷载称为极限荷载。

20）里兹法：也称位移变分法：若设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使他们预先满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）并求出待定系数，就同样地能得出实际位移的解答。 21）二阶张量的主值与主方向：

22）小应变张量：（P33）

23）弹性模量：E 的数值随材料而异，是通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力，其量纲为-2-1T ML ，其单位为Pa 。

E 是度量物体受力时形变大小的物理量。指在弹性限度内，应力与应变的比值。

弹性模量又分纵向弹性模量（杨氏模量）和剪切弹性模量。杨氏模量为正应力与线应变之比值；剪切弹性模量为剪应力与剪应变之比值。对同一种材料，在弹性极限内，弹性模量是一常数。 24）相容方程（P38）： 25）变分原理：

二、求010100000⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

的主值和主方向 （P25）

解：

解之得：1λ=0 2λ=1 3λ=-1，即主应力分别为1σ=1 2σ=0 3σ=-1

当1σ=1时，()()

1111

12121313

1112

13101101

0.110.000

001110n n n n n n n n n λλλ---=-=--=解之得：主方向1：

同理可得：主方向2：()()212223001n n n = 主方向3：()()31

3233110n n n =-

三、

（1）依据畸变能屈服条件，采用初等理论的简化假定，讨论受均布荷载作用的矩形截面简支梁的弹塑性弯曲 （P96）

（2）证明应力张量为二阶对称张量 四、论述

1、本构方程遵从的一般原理

（1）决定性原理，与时间历程相关；（2）局部作用 原理；（3）坐标无关性；（4）空间各向同性原理；（5）时间平移的无关性。 2、弹塑性本构关系

塑性本构关系与弹性本构关系不同

其特点是：①应力和应变关系的非线性；②加载时和卸载时应力与应变关系是不同的；③应力不仅与对应的应力状态有关，而且与整个加载过程有关。如当薄壁圆筒承受拉伸和扭转的联合作用时，在弹性阶段不论是先拉后扭或是先扭后拉，所得到的最终变形是相同的。可是在塑性阶段时，先拉伸到屈服而后扭转或先扭转到屈服而后拉伸，所得到的最终变形都不一样。加载过程分为简单加载和复杂加载。在加载过程中，各应力分量与某一参数成比例的增大，称为简单加载。不属于简单加载的是复杂加载。对于

()111213212223

313333 0

..0

0101000

ij j j

ij j ij j ij

ij j n n n n n σλσλδσ

λδσλσσσσλσσσσλ

λλλ

=-=-=--=---=-令那么 即：